Съпротивленията са дадени в електрическата верига с постоянен ток. D.C

Методи за изчисляване на постояннотокови вериги

Веригата се състои от клонове, има възли и източници на ток. Следните формули са подходящи за изчисляване на вериги, съдържащи както източници на напрежение, така и източници на ток. Те са валидни и за онези специални случаи: когато във веригата има само източници на напрежение или само източници на ток Приложение на законите на Кирхоф. Обикновено всички източници на ЕМП и източници на ток и всички съпротивления са известни във веригата. В този случай броят на неизвестните токове е равен на . За всеки клон се дава положителната посока на тока.
Броят Y на взаимно независими уравнения, съставени съгласно първия закон на Кирхоф, е равен на броя на възлите без единица. Броят на взаимно независимите уравнения, съставени съгласно втория закон на Кирхоф При съставянето на уравнения съгласно втория закон на Кирхоф трябва да се изберат независими вериги, които не съдържат източници на ток. Общият брой на уравненията, съставени съгласно първия и втория закон на Кирхоф, е равен на броя на неизвестните токове.
Примери са дадени в задачите на раздел Метод на токовия контур (Максвел). Този метод позволява да се намали броят на системните уравнения до числото K, определено по формула (0.1.10). Основава се на факта, че токът във всеки клон на веригата може да бъде представен като алгебрична сума на токовете на веригата, протичащи през този клон. Когато използвате този метод, токовете на веригата се избират и обозначават (поне един избран ток на веригата трябва да преминава през всеки клон). От теорията е известно, че общият брой контурни токове . Препоръчително е да изберете токовете на веригата така, че всеки от тях да преминава през един източник на ток (тези токове на веригата могат да се считат за същите като съответните токове на източниците на ток и те обикновено са дадени условиязадача), а останалите токове на веригата трябва да бъдат избрани като преминаващи през клонове, които не съдържат източници на ток. За да се определят последните токове на веригата съгласно втория закон на Кирхоф за тези вериги, K уравненията се съставят в следната форма:

където е собственото съпротивление на веригата n (сумата от съпротивленията на всички клонове, включени във веригата n); - общото съпротивление на контурите n и l, и ако посоките на токовете на контура в общия клон за контурите n и l са еднакви, тогава положителни, в противен случай отрицателни; - алгебричната сума на ЕМП, включена в клоновете, които образуват веригата n; - общото съпротивление на клона на веригата n с веригата, съдържаща източника на ток.
Примери са дадени в задачите на раздел Метод на възловите напрежения. Този метод ви позволява да намалите броя на уравненията на системата до числото Y, равно на броя на възлите без 1. Същността на метода е, че първо, чрез решаване на системата от уравнения (0.1.13), потенциалите на всички възли на веригата се определят и токовете на клоновете, свързващи възлите, се намират с помощта на закона на Ом.
При съставянето на уравнения, използвайки метода на възловото напрежение, потенциалът на всеки възел първо се приема за равен на нула (той се нарича основен). За да се определят потенциалите на останалите възли, се съставя следната система от уравнения:
Тук е сумата от проводимостта на клоновете, свързани към възел s; - сумата от проводимостта на клоновете, директно свързващи възел s с възел q; - алгебричната сума на продуктите на ЕМП на клоновете, съседни на възела s, върху тяхната проводимост; в този случай със знака "+" се вземат тези ЕМП, които действат в посока на възела s, а със знака "-" - в посока от възела s; - алгебрична сума на токовете на токови източници, свързани към възел s; в този случай със знака "+" се вземат тези токове, които са насочени към възела s, а със знака "-" - в посока от възела s.
Методът на възловите напрежения се препоръчва да се използва в случаите, когато броят на уравненията е по-малък от броя на уравненията, съставени по метода на токовете на веригата.
Ако някои възли във веригата са свързани с идеални източници на ЕМП, тогава броят U на уравненията, съставени съгласно метода на възловото напрежение, намалява: където е броят на клоновете, съдържащи само идеални източници на ЕМП.
Примери са дадени в задачите на раздела.
Специален случай е схема с два възела. За вериги с два възела (възли a и b за определеност), възловото напрежение където е алгебричната сума на продуктите на ЕМП на клоните (ЕМП се считат за положителни, ако са насочени към възел а, и отрицателни, ако са от възел а към възел b) върху проводимостта на тези клонове; - токове на източници на ток (положителни, ако са насочени към възел a, и отрицателни, ако са насочени от възел a към възел b); - сумата от проводимостта на всички клонове, свързващи възли a и b.

Принципът на налагането. Ако дадените стойности в електрическата верига са ЕМП на източниците и токовете на източниците на ток, тогава изчисляването на токовете въз основа на принципа на суперпозиция е както следва. Токът във всеки клон може да се изчисли като алгебрична сума на токовете, причинени в него от ЕМП на всеки източник на ЕМП поотделно и от тока, преминаващ през същия клон от действието на всеки източник на ток. Трябва да се има предвид, че когато се извършва изчисляването на токовете, причинени от всеки един източник на ЕМП или ток, тогава останалите източници на ЕМП във веригата се заменят с късо съединени секции, а клоновете с източници на ток на останалите източници се изключват (отварят се клонове с текущи източници) Еквивалентни трансформации на схема. Във всички случаи на преобразуване, замяната на едни вериги с други, еквивалентни на тях, не трябва да води до промяна в токовете или напреженията в участъците на веригата, които не са претърпели преобразуване.
Замяна на последователно свързани съпротивления с едно еквивалентно. Съпротивленията са свързани последователно, ако през тях тече един и същ ток (например съпротивленията са свързани последователно (вижте Фиг. 0.1.3), съпротивленията също са последователно).
Еквивалентното съпротивление на верига, състояща се от n резистора, свързани последователно, е равно на сумата от тези съпротивления. серийна връзка n съпротивленията на напрежение върху тях се разпределят правопропорционално на тези съпротивления В частния случай на две последователно свързани съпротивления, където U - общо напрежениедействащ върху участък от верига, съдържащ две съпротивления (виж Фиг. 0.1.3).
Замяна на паралелно свързани резистори с едно еквивалентно съпротивление. Резисторите са свързани паралелно, ако са свързани към една и съща двойка възли, например съпротивления (виж Фиг. 0.1.3).
Еквивалентното съпротивление на верига, състояща се от n резистори, свързани паралелно (фиг. 0.1.4),

В частния случай на паралелно свързване на две съпротивления, еквивалентното съпротивление Когато n съпротивления са свързани паралелно (фиг. 0.1.4, а), токовете в тях се разпределят обратно пропорционално на техните съпротивления или право пропорционално на техните проводимости. Токът във всеки от тях се изчислява чрез тока I в неразклонената част на веригата В частния случай на два успоредни клона (фиг. 0.1.4, b) Замяна на смесена връзка на съпротивления с един еквивалент. Смесената връзка е комбинация от последователни и паралелни връзки на съпротивления. Например, съпротивленията (фиг. 0.1.4, b) са смесени. Тяхната еквивалентна устойчивост.

където G е проводимостта на съответния клон.
Формули (0.1.22) могат да бъдат записани по отношение на съпротивленията.Примерът е даден в раздела.

Метод на еквивалентен източник (активен метод с два извода или метод на отворена верига и метод на късо съединение). Прилагането на метода е целесъобразно за определяне на тока във всеки един клон на сложна електрическа верига. Разгледайте два варианта: а) методът на еквивалентен източник на ЕМП и б) методът на еквивалентен източник на ток.
С метода на еквивалентен източник на ЕМП, за да намерите тока I в произволен клон ab, чието съпротивление е R (фиг. 0.1.6, a, буквата A означава активна двутерминална мрежа), този клон трябва да бъде отворен (Фиг. 0.1.6, б), а част от веригата, свързана към този клон, заменете с еквивалентен източник с ЕМП и вътрешно съпротивление (фиг. 0.1.6, в).
ЕМП на този източник е равна на напрежението на клемите на отворения клон (напрежение на празен ход): Изчисляването на веригите в режим на празен ход (виж фиг. 0.1.6, b) се извършва по всеки известен метод за определяне.
Вътрешното съпротивление на еквивалентния източник на ЕМП е равно на входното съпротивление пасивна веригапо отношение на клеми a и b на оригиналната верига, от която са изключени всички източници [източниците на ЕМП се заменят с късо съединени секции и клоновете с източници на ток са изключени (фиг. 0.1.6, d); буквата P показва пасивния характер на веригата], с отворен клон ab. Съпротивлението може да се изчисли директно от диаграмата на фиг. 0.1.6, град
Токът в желания клон на веригата (фиг. 0.1.6, д), който има съпротивление R, се определя съгласно закона на Ом.

Завършване на домашното #1 (първа част)

Предмет « Изчисляване на сложна постояннотокова верига»

Насоки

Цел на работата: овладяване на методите за анализ на линейни електрически вериги на постоянен ток.

1. Упражнение:

1) Начертайте диаграма според варианта.

2) Определете броя на клоновете, възлите и контурите.

3) Съставете уравнения според първия и втория закон на Кирхоф.

4) Определете токовете на всички клонове по метода на възловите потенциали и метода на токовете на веригата.

6) Определете тока в клона (номерът на клона в таблицата съответства на номера на резистора във веригата), като използвате метода на еквивалентния генератор.

7) Определете показанията на инструментите.

8) Изградете потенциална диаграма.

9) Направете заключения.

2. Инструкции за проектиране на селищна и графична работа

1) Начертайте диаграма в съответствие с номера на опцията (Схема Приложение 1, Таблица Приложение 2). Номерът на варианта съответства на номера в учебния дневник.

2) Домашните се правят на листи А4 от едната страна на листа, препоръчително е да се използва компютърни програми.

3) Направете чертеж на веригата и нейните елементи в съответствие с GOST.

4) Примерен дизайн заглавна страницапредставени в Приложение 3.

5) Всеки елемент от задачата трябва да има заглавие. Формулите, изчисленията, диаграмите трябва да бъдат придружени от необходимите обяснения и заключения. Получените стойности на съпротивления, токове, напрежения и мощности трябва да завършват с мерни единици в съответствие със системата SI.

6) Графиките (диаграмите) се изпълняват на mm хартия със задължително градуиране по осите и посочване на скали за ток и напрежение.

7) Ако ученик е направил грешки при писане на домашна работа, тогава корекцията се извършва отделни листовесъс заглавие „Работа по грешките“.

8) Срок за домашна работа 5-та седмица от семестъра.

3. Теоретично въведение

3.1 Топологични компоненти на електрически вериги

Брой клонове - Р

б) възел– р кръстовището на три или повече клона, възлите са потенциални или геометрични фиг. 1

Четири геометрични възела (abcd) и три потенциални възела (abc), тъй като потенциалите на възлите c и d са равни: φ c = φ д

V) Верига- затворен път, преминаващ през няколко клона и възли на обширна електрическа верига - abcd, фиг. 1. Независима верига с поне едно ново разклонение.

3.2. Силов баланс

Правим уравнения за определяне на мощността на приемника:

Σ Р pr = Σ аз²· Р

Съставяме уравнения за определяне на мощността на източника:

Σ П ist =Σ д· аз

Балансът се сближава при условие, че уравненията на мощността на източника и приемника са равни, т.е.: Σ Р pr = Σ Пист

Балансът се счита за конвергентен, ако грешката на неконвергенцията е не повече от 2%.

3.3. Еквивалентни трансформации на пасивни участъци от електрическа верига

Връзките са: последователни, успоредни и смесени, звезда, триъгълник, мост.

1. серийна връзка когато токът във всеки елемент е еднакъв.

Рекв \u003d R 1 + R 2 + R 3 I=E/R екв U \u003d U 1 + U 2 + U 3 \u003d = R1· I+R2· I+R3· Аз=Р екв · аз

Свойства на серийната връзка:

а) Токът и напрежението на веригата зависят от съпротивлението на някой от елементите;

б) напрежението на всеки от последователно свързаните елементи е по-малко от входното;

Uаз < U

c) Серийното свързване е делител на напрежение.

2. Паралелна връзка

Връзка, при която всички секции на веригата са свързани към една и съща двойка възли, които са под въздействието на едно и също напрежение.

Свойства на паралелна връзка :

1) Еквивалентното съпротивление винаги е по-малко от най-малкото съпротивление на клона;

2) Токът във всеки клон винаги е по-малък от тока на източника. Паралелната верига е делител на ток;

3) Всеки клон е под едно и също напрежение на източника.

3.смесена връзка

Това е комбинация от серийни и паралелни връзки.

Метод на еквивалентните преобразувания

Решаване на всеки проблем с едно захранване, използвайки законите на Ом, Кирхоф и умения за сгъване на верига.

3.4 Методи за изчисляване на електрически вериги с множество захранвания

3.4.1 Метод, използващ законите на Кирхоф.

Най-точният метод, но може да се използва за определяне на параметрите на верига с малък брой вериги (1-3).

Алгоритъм :

1. Определете броя на възлите р, клонове стри независими вериги;

2. Задайте произволно посоките на токовете и байпасите на веригата;

3. Задайте броя на независимите уравнения според първия закон на Кирхоф ( р- 1) и ги съставете, където q е броят на възлите;

4. Определете броя на уравненията според втория закон на Кирхоф ( стр – р+ 1) и ги съставете;

5. Решавайки заедно уравненията, определяме липсващите параметри на веригата;

6. Според получените данни изчисленията се проверяват чрез заместване на стойностите в уравненията съгласно 1-ви и 2-ри закон на Кирхоф или чрез съставяне и изчисляване на енергийния баланс.

Пример:

Записваме тези уравнения според правилата:

за възел "а" аз 1 - аз 2 - аз 4 = 0

за възел "b" аз 4 - аз 5 - аз 3 = 0

за верига 1 Р 1 аз 1 +Р 2 аз 2 = Е 1 - Е 2

за верига 2 Р 4 аз 4 +Р 5 аз 5 -Р 2 аз 2 = Е 2

за верига 3 Р 3 аз 3 -Р 5 аз 5 =Е 3

Правило: ако EMF и токът имат същата посока с посоката на заобикаляне на веригата, тогава те се вземат от "+", ако не, тогава от "-".

Нека съставим уравненията за баланс на мощността:

Пи т.н = R 1 аз 1²+ Р 2 аз 2²+ Р 3 аз 3² + Р 4 аз 4²+ Р 5 аз 5²

Пист = Е 1 · аз 1 + Е 3 · аз 3 - Е 2 · аз 2

3.4.2 Метод на контурен ток

С помощта на този метод се намалява броят на уравненията, а именно се изключват уравненията съгласно първия закон на Кирхоф. Въвежда се концепцията за контурен ток (такива токове не съществуват в природата - това е виртуална концепция), уравненията се съставят според втория закон на Кирхоф.

Разгледайте нашия пример на фиг. 2

Маркирани са контурните токове азм, азн, азл, техните посоки са дадени, както е показано на фиг. 2

Алгоритъм за решение :

1. Да напишем реалните токове през контура: по външните клонове аз 1 = азм,

аз 3 = азл, аз 4 = азни на съседните клони аз 2 = азм - азн, аз 5 = азн - азл

2. Съставяме уравнения според втория закон на Кирхоф, тъй като има три контура, следователно ще има три уравнения:

за първата верига азм·( Р 1 + Р 2) - азн· Р 2 = д 1 - д 2 , знак "-" преди азне зададен, защото този ток е насочен срещу азм

за втората верига - азм· Р 2 + (Р 2 + Р 4 + Р 5) · азн - азл· Р 5 = д 2

за третата верига - азн· Р 5 + (Р 3 + Р 5) · азл = д 3

3. Решавайки получената система от уравнения, намираме токовете на веригата

4. Познавайки токовете на веригата, ние определяме действителните токове на веригата (вижте параграф 1.)

3.4.3 Метод на нодалния потенциал

Предложеният метод е най-ефективният от предложените методи.

Токът във всеки клон на веригата може да се намери с помощта на обобщения закон на Ом. За да направите това, е необходимо да се определят потенциалите на възлите на веригата.

Ако веригата съдържа n възли, тогава уравненията ще бъдат (n-1):

1. Заземете всеки възел на веригата φ = 0;
2. Необходимо е да се определят (n-1) потенциала;
3. Уравненията се съставят съгласно първия закон на Кирхоф от вида:

φ 1 G 11+φ 2 G 12 +...+φ (n-1)G 1,(n-1) = I 11

φ 1 G 21 + φ 2 G 22 +...+φ (n-1) G 2, (n-1) = аз 22

…………………………………………………

…………………………………………………

φ 1 G (n-1), 1 +φ 2 G (n-1),2 +…+φ (n-1) G (n-1), (n-1) = I (n-1), (n-1)

Където аз 11 … аз(n -1), (n -1) възлови токове в клонове с ЕМП, свързани към този възел, G kkе присъщата проводимост (сумата от проводимостта на клоновете във възел k), G км– взаимна проводимост (сумата от проводимостта на клоните, свързващи възлите кИ м)взети със знака "-".

1. Токовете във веригата се определят от обобщения закон на Ом.

Пример:

φ А( + + ) - φ b = д 1 + д 2

φ b (++) - φ а= - Е 3

идентифициране на потенциали φ а и φ b, намерете токовете на веригата. Съставянето на формули за изчисляване на токове се извършва в съответствие с правилата за знаци на ЕМП и напрежения, когато се изчислява съгласно обобщения закон на Ом (вижте лекция 1).

Правилността на изчисляването на токовете се проверява с помощта на законите на Кирхоф и баланса на мощността.

3.4.4 Метод с два възела

Методът с два възела е специален случайметод на възлови потенциали. Използва се, когато веригата съдържа само два възела (паралелно свързване).

Алгоритъм:

1. Положителните посоки на токовете и напрежението между два възела се задават произволно;
2. Уравнение за определяне на междувъзловото напрежение

,

Където Же проводимостта на клона, Дж– източници на ток;

1. правило: ЖдИ Джсе вземат със знак "+", ако дИ Джнасочени към възел с голям потенциал;
2. Токовете на веригата се определят от обобщения закон на Ом

Пример:

Съставянето на формули за изчисляване на токове се извършва в съответствие с правилата за знаци на ЕМП и напрежения, когато се изчислява съгласно обобщения закон на Ом (вижте лекция 1).

3.4.5 Активен двутерминален метод

Този методсе използва, когато е необходимо да се изчислят параметрите на един клон в сложна верига. Методът се основава на теоремата за активната двутерминална мрежа: „Всяка активна двутерминална мрежа може да бъде заменена от еквивалентна двутерминална мрежа с параметри E equiv и R equiv или J equiv и G equiv, режимът на работа на веригата няма да се промени.”

Алгоритъм:

1. Отворете клона, в който искате да дефинирате параметри.

2. Определете напрежението на отворените клеми на клона, т.е. на празен ход декв = Uxxлюбим метод.

3. Сменете активната двутерминална мрежа, т.е. верига без изследван клон, пасивна (изключете всички източници на захранване, оставяйки техните вътрешни съпротивления, като не забравяте, че идеалната ЕМП Рвътр= 0, и за идеален източник на ток Рвътр= ∞). Определете еквивалентното съпротивление на получената верига Рекв.

4. Намерете тока в клона по формулата аз = декв/(Р+Рекв) за пасивния клон и

аз = д ± декв/(Р+Рекв) за активния клон.

3.5 Изграждане на потенциална диаграма

Разпределението на потенциалите в електрическа верига може да бъде представено с помощта на потенциална диаграма.

Потенциалната диаграма е зависимост φ(Р) под формата на графика, на която вертикалната ос показва потенциалните стойности на последователна поредица от точки на избраната верига, а хоризонталната ос показва сумата от стойностите на съпротивлението на последователно преминатите участъци от верига на тази верига. Изграждането на потенциална диаграма започва от произволно избрана точка от контура, чийто потенциал се приема за нула φ 1 = 0. Последователно заобикаляне на избрания контур. Ако изграждането на диаграмата е започнало в точка 1, то трябва да завърши в същата точка 1. Потенциалните скокове на графиката съответстват на източниците на напрежение, включени във веригата.

1.1. Определяне на показанията на инструмента

Волтметърът измерва напрежението (потенциалната разлика) между две точки в електрическа верига. За да се определи показанието на волтметъра, е необходимо да се състави уравнение съгласно втория закон на Кирхоф по веригата, което включва измереното напрежение.

Ватметърът показва мощността на част от електрическата верига, която се определя от закона на Джаул-Ленц.

4. Пример:

дадени : Р 1 = Р 5 \u003d 10 ома, Р 4 = Р 6 = 5 ома, Р 3 = 25 ома, Р 2 = 20 ома, д 1 =100 V, д 2 = 80 V, д 3 =50V

Определете токовете в клоните по различни методи, съставете и изчислете баланса на мощността.

Решение :

1) Метод на контурен ток

Тъй като има три вериги, ще има три верижни тока аз 11 , аз 22 , аз 33 . Избираме посоките на тези токове по часовниковата стрелка Фиг. 3. Нека напишем реалните токове през контурните:

аз 1 = аз 11 - аз 33 , аз 2 = - аз 22 , аз 3 = - аз 33 , аз 4 = аз 11 , аз 5 = аз 11 -аз 22

Нека напишем уравненията според втория закон на Кирхоф за контурни уравнения в съответствие с правилата.

правило: ако EMF и токът имат същата посока с посоката на заобикаляне на веригата, тогава те се вземат с "+", ако не, тогава с "-".

Ние решаваме системата от уравнения по математическия метод на Гаус или Крамер.

След като решихме системата, получаваме стойностите на токовете на веригата:

аз 11 \u003d 2,48 A, аз 22 \u003d - 1,84 A, аз 33 = - 0,72 A

Нека дефинираме реалните токове: аз 1 = 3, 2 A, аз 2 = 1,84 A, аз 3 \u003d 0,72 A, аз 4 = 2,48 A, аз 5 = 4.32 А

Нека проверим правилността на изчисляването на токовете, като ги заместим в уравненията според законите на Кирхоф.

Нека съставим уравнения за изчисляване на енергийния баланс:

От изчислението се вижда, че балансът на мощността се е сближил. Грешката е под 1%.

2) Метод на възловите потенциали

Ние решаваме същата задача, използвайки метода на възловите потенциали

Нека съставим уравнения:

Токът във всеки клон на веригата може да се намери с помощта на обобщения закон на Ом. За да направите това, е необходимо да се определят потенциалите на възлите на веригата. Заземете всеки възел на веригата φ c = 0.

Решавайки системата от уравнения, ние определяме потенциалите на възлите φ а и φ b

φ a = 68V φ b = 43,2 V

Съгласно обобщения закон на Ом определяме токовете в клоновете. Правило: ЕМП и напрежението се приемат със знак "+", ако посоките им съвпадат с посоката на тока, и със знак "-", ако не съвпадат.

3) Изграждане на потенциална диаграма на външния контур

Нека определим стойността на потенциалите на възлите и точките на веригата.

правило : заобикаляйте веригата обратно на часовниковата стрелка, ако ЕМП съвпада с текущия байпас, тогава ЕМП се обръсва с "+" ( φ д). Ако токът е прескочен, тогава спадът на напрежението през резистора, т.е. "-" ( φ б).

φ c = 0

Диаграма на потенциала:

1. Списък на препоръчителната литература

1. Бесонов Л.А. Теоретични основи на електротехниката. В 2 тома. Москва: Висше училище, 1978 г.
2. Електротехника и електроника. Учебник за средните училища. / Под редакцията на VG Герасимов. - М.: Енергоатомиздат, 1997.
3. Сборник задачи по електротехника и основи на електрониката. / Под редакцията на V.G. Герасимов. Урокза университети - М .: Висше училище, 1987.
4. Борисов Ю.М., Липатов Д.Н., Зорин Ю.Н. Електроинженерство. Учебник за университети - М .: Енергоатомиздат, 1985 г.
5. Липатов Д.Н. Въпроси и задачи по електротехника за програмирано обучение. Учебник за студенти. – М.: Енергоатомиздат, 1984.
6. Волински Б.А., Зейн Е.Н., Шатерников В.Е. Електротехника, - М .: Енергоатомиздат, 1987.

1. Контролни въпроси

1. Свойства на последователна верига
2. Свойства на паралелни вериги
3. Правила за баланс на мощността
4. Правила за съставяне на уравнения по първия закон на Кирхоф
5. Как се определя източникът на захранване?
6. Независима верига. Напишете уравнение според втория закон на Кирхоф за всяка верига от вашата верига.
7. Правила за съставяне на уравнения по 2-ри закон на Кирхоф
8. Как се определя мощността на приемника?
9. Как да определим броя на уравненията според първия закон на Кирхоф?
10. Алгоритъм на метода на еквивалентния генератор
11. Как се свързва волтметър към верига?
12. Как се свързва амперметър към верига?
13. Как да определим броя на уравненията според 2-рия закон на Кирхоф?
14. С помощта на какъв закон определяме тока в клона, по метода на еквивалентния генератор?
15. Какъв е смисълът на метода на еквивалентните трансформации?

Приложение 1

Схема 1 и данни за групата CM3 - 41

д 1=50 V, д 2 = 100 V, д 3 = 80 V, Р 1= 40 ома, Р 2 = 30 ома, Р 3 = 20 ома, Р 4 = 30 ома, Р 5 = 20 ома, Р 6 = 30 ома, д= 60 V

Схема 1 и данни за групата CM3 - 42

д 1=100 V, д 2 = E4 = 50 V, д 3 = 80 V, Р 1= 80 ома, Р 2 = 50 ома, Р 3 = 40 ома, Р 4 = 30 ома, Р 5= Р 7= 20 ома, Р 6 \u003d 30 ома, д=40 V

Приложение 2

За група CM3 - 41

		Сменете

За група CM3 - 42

		Сменете

Правене на домашна работа номер 1 втора част

по курс "Електротехника и електроника"

тема "Изчисляване на линейни вериги на синусоидален ток"

Насоки

Целта на работата: овладяване на анализа на електрически вериги на еднофазен синусоидален ток с помощта на символния метод.

1. Упражнение

1) Проучете теоретичното въведение и насокиза писане на домашни.

2) Начертайте схема с елементи според варианта.

3) Определете броя на възлите, разклоненията и независимите вериги.

4) Определете броя на уравненията според първия и втория закон на Кирхоф.

5) Съставете уравнения според първия и втория закон на Кирхоф.

7) Определете токовете в клоновете по метода на еквивалентните трансформации.

Запишете токовете в алгебрична, експоненциална и временна форма.

10) Определете показанията на инструментите.

11) Начертайте еквивалентна верига въз основа на естеството на веригата. Въведете в еквивалентна схема допълнителен елемент, осигуряващ резонанс на напрежението във веригата. Изчислете напрежение и ток, изградете векторна диаграма.

12) Въведете допълнителен елемент в еквивалентната верига, който осигурява токов резонанс във веригата. Изчисляване на напрежение и ток, изграждане на векторна диаграма.

13) Изградете оригиналната верига в околната среда МУЛТИСИМ

1. Инструкции за проектиране на селищна и графична работа

9) Запишете параметрите на съпротивлението на клоновете на веригата в съответствие с номера на опцията (таблично приложение 1). Номерът на варианта съответства на номера в учебния дневник.

10) Домашната работа се прави на листи А4 от едната страна на листа, препоръчително е използването на компютърни програми.

11) Направете чертеж на веригата и нейните елементи в съответствие с GOST. Схемата е представена в Приложение 2.

12) Образец на дизайна на заглавната страница е представен в Приложение 2.

13) Всеки елемент от задачата трябва да има заглавие. Формулите, изчисленията, диаграмите трябва да бъдат придружени от необходимите обяснения и заключения. Получените стойности на съпротивления, токове, напрежения и мощности трябва да завършват с мерни единици в съответствие със системата SI.

14) Графиките (векторните диаграми) се изпълняват на милиметрова хартия със задължително градуиране по осите и посочване на скали за ток и напрежение.

15) При работа с програмата МУЛТИСИМнеобходимо е да се сглоби верига в работното поле, да се свържат амперметри към клоните. Преобразувайте изображение с резултати в Слово. Отстранете амперметрите от клоните. Свържете волтметър и ватметър и измерете напрежението и мощността. Преобразувайте изображение с резултати в Слово. Резултати, включени в доклада.

16) Ако ученик е направил грешки при писане на домашна работа, тогава корекцията се извършва на отделни листове със заглавие „Работа върху грешки“.

17) Крайният срок за изпълнение на домашните работи е 10-та седмица от семестъра.

1. Теоретично въведение

3.1 Временна форма на представяне на електрически величини със синусоидални влияния

Аналитичният израз на моментните стойности на тока, емф и напрежението се определя от тригонометричната функция:

то) = аз m sin(ω T+ ψ аз )

u(t) = U m sin(ω T +ψ u )

e(t) = д m sin(ω T+ ψ д ),

Където азм, Uм, д m - амплитудни стойности на тока, напрежението и ЕМП.

(ω T+ ψ) е аргументът синус, който определя фазовия ъгъл на синусоидалната функция в този моментвреме T.

ψ - началната фаза на синусоидата, с T = 0.

аз(T), u(t) временни форми на ток и напрежение.

Според GOST ƒ \u003d 50 Hz, следователно, ω \u003d 2πƒ = 314 rad / s.

Времевата функция може да бъде представена като времева диаграма, която напълно описва хармоничната функция, т.е. дава представа за началната фаза, амплитудата и периода (честотата).

3.2 Основни параметри на електрическите величини

Когато разглеждат няколко функции на електрически величини с еднаква честота, те се интересуват от фазовите отношения, т.нар фазов ъгъл.

Фазов ъгъл φ две функции се определят като разликата между началните им фази.Ако началните фази са еднакви, тогава φ = 0 , след това функциите са във фаза,Ако φ = ± π , след това функциите противоположни по фаза.

От особен интерес е фазовият ъгъл между напрежението и тока: φ = u - ψ i

На практика не се използват моментни стойности на електрическите величини, а ефективни стойности. Ефективната стойност се нарича средноквадратична стойност на променлива електрическа величина за период.

За синусоидални стойности ефективните стойности са √2 пъти по-малки от амплитудните, т.е.

Електро измервателни уредиса калибрирани в ефективни стойности.

3.3 Приложение на комплексни числа

Изчисляване на електрически вериги с помощта тригонометрични функциие много сложен и тромав, поради което при изчисляване на електрически вериги на синусоидален ток се използва математическият апарат на комплексните числа. Комплексните ефективни стойности се записват като:

Синусоидалните електрически величини, представени в сложна форма, могат да бъдат представени графично. На комплексната равнина в координатна система с оси +1 и + й, които означават положителните реални и имагинерни полуоси, се построяват комплексни вектори. Дължината на всеки вектор е пропорционална на модула на ефективните стойности. Ъгловата позиция на вектора се определя от аргумента комплексно число. В този случай положителният ъгъл се измерва обратно на часовниковата стрелка от положителната реална полуос.

Пример: изграждане на вектор на напрежение върху комплексната равнина Фигура 1.

Напрежението в алгебрична форма се записва:

Дължина на вектора на напрежението:

3.4 Законите на Ом и Кирхоф в комплексна форма

Законът на Ом в сложна форма:

Комплексното съпротивление се изразява чрез комплексните ефективни стойности на напрежението и тока в съответствие със закона на Ом:

Анализът на вериги със синусоидален ток се извършва при условие, че всички елементи на веригата Р , Л , ° С идеален (таблица 1).

Електрическото състояние на веригите със синусоидален ток се описва от същите закони и се изчислява по същите методи, както при веригите с постоянен ток.

Първият закон на Кирхоф в сложна форма:

Вторият закон на Кирхоф в сложна форма:

осева таблицаидеални елементи и техните свойства.

маса 1

	Съпротива	Фазов ъгъл	Закон на Ом	Мощност	векторна диаграма
	З = Р			С =P
	З = - jX° С			С = - jQ
	З = jXЛ			С = jQ

3.5 Баланс на мощността във вериги със синусоидален ток

За приемниците изчисляваме отделно активната мощност

и реактивна мощност

При извършване на реални изчисления мощността на източниците и приемниците може леко да се различава. Тези грешки се дължат на грешки в метода, закръглящ резултатите от изчислението.

Точността на извършеното изчисление на веригата се оценява с помощта на относителната грешка при изчисляване на баланса на активната мощност

δ P % =

и реактивна мощност

δ Q % =

При извършване на изчисления грешките не трябва да надвишават 2%.

3.6 Определяне на фактора на мощността

Електрическото оборудване е енергийно изгодно за работа, ако извършва максимална работа. Работата в електрическата верига се определя от активната мощност R.

Факторът на мощността показва колко ефективно се използва генератор или електрическо оборудване.

λ = П/ С = cos φ ≤ 1

Мощността е максимална, когато P = С , т.е. в случай на резистивна верига.

3.7 Резонанси във вериги със синусоидален ток

3.7.1 Резонанс на напрежението

Режим на работа RLCверижен модел 2 или LC- верига, при равенство на реактивните съпротивления X C = х L, когато общото напрежение на веригата е във фаза с нейния ток, се нарича резонанс на напрежението.

х ° С= х Л– състояние на резонанс

Признаци на резонанс на напрежението:

1. Входното напрежение е във фаза с тока, т.е. фазово изместване между азИ Uφ = 0, cos φ = 1

2. Токът във веригата ще бъде най-голям и в резултат на това Пмакс= аз 2макс Рмощността също е максимална, а реактивната мощност е нула.

3. резонансна честота

Резонанс може да се постигне чрез промяна Л, ° Сили w.

Векторни диаграми при резонанс на напрежение

LCверига RLCверига

3.7.2. Токов резонанс

Режимът, при който във верига, съдържаща паралелни клонове с индуктивни и капацитивни елементи, токът на неразклонения участък на веригата е във фаза с напрежението ( φ=0 ), са наречени токов резонанс.

Текущо състояние на резонанс: разликата на реактивната проводимост на успоредните клонове е равна на 0

IN 1 - реактивна проводимост на първия клон,

IN 2 - реактивна проводимост на втория клон

Признаци на токов резонанс:

RLC - верига векторна диаграма

LC - верига векторна диаграма

1. Насоки

4.1 Начертайте диаграма с елементи според варианта.

Схемата на фигура 1 се преобразува според опцията ( З 1 – RC, З 2 – Р, З 3 – RL).

Фигура 1 Първоначална верига

4.2 Разгледайте диаграмата на фигура 2 и запишете уравненията според законите на Кирхоф.

Веригата съдържа два възела, две независими вериги и три клона.

Фигура 2 Схема с елементи

Нека напишем първия закон на Кирхоф за възел a:

Нека напишем втория закон на Кирхоф за първата верига:

Нека напишем втория закон на Кирхоф за втората верига:

4.3 Определете еквивалентното съпротивление на веригата.

Нека обърнем диаграмата на фиг.2.

Чрез еквивалентно съпротивление се определя естеството на веригата и се изчертава еквивалентна верига.

Фигура 3 свита диаграма

4.4 Определяме токовете в клоновете на веригата на фигура 2 по метода на еквивалентните трансформации: знаейки еквивалентното съпротивление, определяме тока на първия клон.

Изчисляваме тока в сложна форма съгласно закона на Ом в съответствие с диаграмата на фигура 3:

За да определите токовете в останалите клонове, трябва да намерите напрежението между възлите "ab" Фигура 2:

Ние определяме токовете:

4.5 Нека напишем уравненията за баланс на мощността:

Където аз 1 , аз 2 , аз 3 - ефективни стойности на токовете.

Определяне на фактора на мощността

Изчисляването на фактора на мощността се извършва чрез определяне на активната и привидната мощност: П/ С = cos φ . Ние използваме изчислените мощности, които са намерени при изчисляване на баланса.

Модул с пълна мощност.

4.6 Изчислете напреженията върху елементите, като използвате диаграмата на фигура 2:

4.7 Изграждане на векторна диаграма

Изграждането на векторна диаграма се извършва след пълно изчисление на цялата верига, определяне на всички токове и напрежения. Започваме конструкцията, като зададем осите на комплексната равнина [+1; + й]. Избират се удобни скали за токове и напрежения. Първо изграждаме текущите вектори на комплексната равнина (Фигура 4), в съответствие с първия закон на Кирхоф за верига 2. Добавянето на вектори се извършва съгласно правилото на успоредника.

Фигура 4 векторна диаграма на токовете

След това изграждаме върху комплексната равнина на вектора на изчислените напрежения проверка съгласно таблица 1, фигура 5.

Фигура 5 Векторна диаграма на напрежения и токове

4.8 Определяне на показанията на уреда

Амперметърът измерва тока, преминаващ през неговата намотка. Той показва ефективната стойност на тока в клона, в който е включен. Във веригата (фиг. 1) амперметърът показва ефективната стойност (модул) на тока. Волтметърът показва ефективната стойност на напрежението между двете точки на електрическата верига, към която е свързан. В разглеждания пример (фиг. 1) волтметърът е свързан към точките АИ b.

Изчисляваме напрежението в сложна форма:

Ватметърът измерва активната мощност, която се консумира в секцията на веригата, затворена между точките, към които е свързана намотката на напрежението на ватметъра, в нашия пример (фиг. 1) между точките АИ b.

Активната мощност, измерена с ватметър, може да се изчисли по формулата

,

където е ъгълът между векторите и .

В този израз ефективната стойност на напрежението, към което е свързана намотката на напрежението на ватметъра, и ефективната стойност на тока, преминаващ през текущата намотка на ватметъра.

Или изчисляваме общата комплексна мощност

ватметърът ще покаже активна мощност Р.

4.9 Изчисляване на резонансни вериги

4.9.1 Добавете елемент към еквивалентната схема, за да получите резонанс на напрежението. Например, еквивалентната схема представлява RLверига. След това трябва да добавите последователно свързан кондензатор СЪС- елемент. Оказва се последователно RLCверига.

4.9.2 Добавете елемент към еквивалентната верига, за да получите токов резонанс. Например, еквивалентната схема представлява RLверига. След това трябва да добавите паралелно свързан кондензатор СЪС- елемент.

5. Изградете веригата в околната среда МУЛТИСИМ. Поставете устройства и измервайте токове, напрежение и мощност.

Изградете схемата в средата Мултисим 10.1. На фигура 6 работният прозорец в средата Мултисим. Таблото с инструменти е разположено отдясно.

Фигура 6 работен прозорец в средата Мултисим

Поставете върху работното поле елементите, необходими за схемата. За да направите това, щракнете върху бутона в горната лента с инструменти вляво « място Основен» (Вижте Фигура 7). Избор на резистор: прозорецът “ Изберете а Компонент“, където от списъка „ семейство" избирам " резистор". Под чертата " Компонент„Ще се появят номинални стойности на съпротивлението, изберете желаната, като натиснете левия бутон на мишката или директно влезете в колоната“ Компонент» на желаната стойност. IN Мултисимизползват се стандартни префикси на системата SI (виж таблица 1)

маса 1

Multisim нотация (международен)	Руско обозначение	руски префикс

Фигура 7

В полето " символ» изберете елемент. След като изберете, натиснете бутона Добре» и поставете елемента в полето на схемата, като натиснете левия бутон на мишката. След това можете да продължите да поставяте необходимите елементи или да щракнете върху " близо"да затворя прозореца" Изберете а Компонент". Всички елементи могат да се въртят за по-удобно и визуално разположение на работното поле. За да направите това, преместете курсора върху елемента и натиснете левия бутон на мишката. Ще се появи меню, в което трябва да изберете опцията " 90 по часовниковата стрелка» за завъртане на 90° по часовниковата стрелка или « 90 CounterCW» за завъртане на 90° обратно на часовниковата стрелка. Елементите, поставени на полето, трябва да бъдат свързани с жици. За да направите това, преместете курсора върху терминала на един от елементите, натиснете левия бутон на мишката. Появява се проводник, обозначен с пунктирана линия, привеждаме го към клемата на втория елемент и отново натискаме левия бутон на мишката. На жицата могат да се дадат и междинни завои, като се маркират с щракване на мишката (вижте Фигура 8). Веригата трябва да бъде заземена.

Свързваме устройства към веригата. За да свържете волтметър, в лентата с инструменти изберете " място индикатор“, в списъка семействоВолтметър_ V”, превключете инструментите в режим на измерване променлив ток(КАТО).

Текущо измерване

Свързвайки всички поставени елементи, получаваме разработения схематичен чертеж.

В лентата с инструменти изберете " място Източник". В списъка " семейство» в прозореца, който се отваря, изберете типа елемент « Пower източници', в списъка' Компонент"- елемент" DGND».

Измерване на напрежение

Измерване на мощността

6. Контролни въпроси

1. Формулирайте законите на Кирхоф и обяснете правилата за съставяне на система от уравнения според законите на Кирхоф.

2. Метод на еквивалентните преобразувания. Обяснете последователността на изчисленията.

3. Уравнение за баланс на мощността за верига със синусоидален ток. Обяснете правилата за съставяне на уравнението на енергийния баланс.

4. Обяснете процедурата за изчисляване и конструиране на векторна диаграма за вашата верига.

5. Резонанс на напрежението: определение, състояние, признаци, векторна диаграма.

6. Резонанс на токовете: определение, състояние, характеристики, векторна диаграма.

8. Формулирайте понятията за моментни, амплитудни, средни и ефективни стойности на синусоидален ток.

9. Напишете израз за моментната стойност на тока във верига, състояща се от последователно свързани елементи РИ Лако се приложи напрежение към клемите на веригата .

10. Какви стойности определят стойността на фазовия ъгъл между напрежението и тока на входа на верига със серийна връзка Р , Л , ° С ?

11. Как да се определи от експериментални данни при последователно свързване на съпротивления Р , хЗемя х C стойности З , Р , х , ЗДА СЕ, РДА СЕ, Л , х° С , ° С,cosφ , cosφ К?

12. В сериал RLCверигата е настроена на режим на резонанс на напрежението. Резонансът ще продължи, ако:

а) свържете активно съпротивление паралелно на кондензатора;

б) свържете активно съпротивление паралелно на индуктора;

в) включете активното съпротивление последователно?

13. Как трябва да се промени токът азв неразклонената част на веригата с паралелно свързване на потребителя и банката от кондензатори в случай на увеличаване на капацитета от СЪС= 0 до СЪС= ∞ ако потребителят е:

а) активен

б) капацитивен,

в) активно-индуктивен,

г) активно-капацитивен товар?

6. Литература

1. Бесонов Л.А. Теоретични основи на електротехниката - М .: Висше училище, 2012 г.

2. Беневоленски С.Б., Марченко А.Л. Основи на електротехниката. Учебник за ВУЗ - М., Физматлит, 2007 г.

3. Касаткин А.С., Немцов М.В. Електроинженерство. Учебник за университети - М .: V. sh, 2000.

4. Електротехника и електроника. Учебник за ВУЗ, книга 1. / Под редакцията на

В. Г. Герасимов. - М.: Енергоатомиздат, 1996.

4. Волински B.A., Zein E.N., Шатерников V.E. Електротехника, -М.:

Енергоатомиздат, 1987г

Приложение 1

Схема група 1

Схема група 2

Приложение 2

	З 1	Z2	Z3	Z4	U

Решаването на всеки проблем за изчисляване на електрическа верига трябва да започне с избора на метода, по който ще се извършват изчисленията. По правило един и същ проблем може да бъде решен по няколко метода. Резултатът във всеки случай ще бъде същият и сложността на изчисленията може да се различава значително. За правилния избор на метода за изчисление първо трябва да определите към кой клас принадлежи дадена електрическа верига: прости електрически вериги или сложни.

ДА СЕ простовключват електрически вериги, които съдържат или един източник на електрическа енергия, или няколко, разположени в същия клон на електрическата верига. По-долу има две диаграми на прости електрически вериги. Първата верига съдържа единичен източник на напрежение, в който случай електрическата верига очевидно е проста верига. Вторият съдържа вече два източника, но те са в един и същи клон, следователно също е проста електрическа верига.

Изчисляването на прости електрически вериги обикновено се извършва в следната последователност:

Описаната техника е приложима за изчисляване на всякакви прости електрически вериги, типични примери са дадени в пример № 4 и в пример № 5. Понякога изчисленията по този метод могат да бъдат доста обемни и дълги. Следователно, след намиране на решение, ще бъде полезно да проверите правилността на ръчните изчисления с помощта на специализирани програми или съставяне на енергиен баланс. Изчисляването на проста електрическа верига в комбинация с изготвянето на баланс на мощността е показано в пример № 6.

Сложни електрически вериги

ДА СЕ сложни електрически веригивключват вериги, съдържащи няколко източника на електрическа енергия, включени в различни клонове. Фигурата по-долу показва примери за такива вериги.


За сложни електрически вериги методът за изчисляване на прости електрически вериги не е приложим. Опростяването на схемите е невъзможно, т.к невъзможно е да се избере част от веригата с последователно или паралелно свързване на един и същи тип елементи на диаграмата. Понякога трансформацията на веригата с последващото й изчисление все още е възможна, но това е по-скоро изключение от общото правило.

За пълното изчисляване на сложни електрически вериги обикновено се използват следните методи:

1. Приложение на законите на Кирхоф (универсален метод, комплексни изчисления на система от линейни уравнения).
2. Метод на тока на веригата (универсален метод, изчисленията са малко по-прости, отколкото в параграф 1)
3. Метод на възловото напрежение (универсален метод, изчисленията са малко по-прости, отколкото в параграф 1)
4. Принцип на суперпозиция (универсален метод, прости изчисления)
5. Метод на еквивалентен източник (полезен, когато е необходимо да се направи не пълно изчисление на електрическата верига, а да се намери токът в един от клоновете).
6. Метод на еквивалентна трансформация на верига (рядко приложим, прости изчисления).

Характеристиките на прилагането на всеки метод за изчисляване на сложни електрически вериги са описани по-подробно в съответните подраздели.

3.1. Модел на DC верига

Ако в електрическа верига действат постоянни напрежения и протичат постоянни токове, тогава моделите на реактивни елементи L и C са значително опростени.

Моделът на съпротивлението остава същият и връзката между напрежението и тока се дава от закона на Ом като

В идеална индуктивност моментните стойности на напрежението и тока са свързани с връзката

По същия начин, в капацитет връзката между моментните стойности на напрежението и тока се определя като

Така в модела на постоянен ток има само съпротивления (резисторни модели) и източници на сигнали, а реактивни елементи (индуктивности и капацитет) отсъстват.

3.2. Изчисление на веригата на базата на закона на Ом

Този метод е удобен за относително изчисляване прости схеми с един източник на сигнал. Това включва изчисляване на съпротивлението на секциите на веригата, за които стойността на тока (или напрежението) е известна, последвано от определяне на неизвестното напрежение (или ток). Помислете за пример за изчисляване на веригата, чиято схема е показана на фиг. 3.1, с идеален източник на ток A и съпротивления Ohm, Ohm, Ohm. Необходимо е да се определят разклонителните токове и , както и напреженията на съпротивленията и .

Токът на източника е известен, тогава е възможно да се изчисли съпротивлението на веригата спрямо клемите на източника на ток (паралелно свързване на съпротивлението и последователно свързване

Ориз. 3.1. съпротивления и ),

Тогава напрежението при източника на ток (при съпротивлението) е равно на

След това можете да намерите клоновите токове

Получените резултати могат да бъдат проверени с помощта на първия закон на Кирхоф във формата . Замествайки изчислените стойности, получаваме A, което съвпада с големината на тока на източника.

Познавайки токовете на клоните, не е трудно да се намери напрежението на съпротивленията (стойността вече е намерена)

По втория закон на Кирхоф. Събирайки получените резултати, се убеждаваме в нейното изпълнение.

3.3. Общ метод за изчисляване на веригата, базиран на законите на Ом

и Кирхоф

Общият метод за изчисляване на токове и напрежения в електрическа верига, базиран на законите на Ом и Кирхоф, е подходящ за изчисляване на сложни вериги с множество източници на сигнал.

Изчислението започва със задаване на обозначенията и положителните посоки на токовете и напреженията за всеки елемент (съпротивление) на веригата.

Системата от уравнения включва подсистема от компонентни уравнения, които според закона на Ом свързват токовете и напреженията във всеки елемент (съпротивление) и подсистемата

топологични уравнения, изградени на основата на първия и втория закон на Кирхоф.

Помислете за изчислението на проста верига от предишния пример, показан на фиг. 3.1, със същите изходни данни.

Подсистемата от компонентни уравнения има формата

Веригата има два възела () и два клона, които не съдържат идеални източници на ток (). Следователно е необходимо да се напише едно уравнение () според първия закон на Кирхоф,

и едно уравнение на втория закон на Кирхоф (),

които образуват подсистема от топологични уравнения.

Уравнения (3.4)-(3.6) са пълната система от верижни уравнения. Замествайки (3.4) в (3.6), получаваме

и чрез комбиниране на (3.5) и (3.7) получаваме две уравнения с два неизвестни разклонителни тока,

Изразявайки тока от първото уравнение (3.8) и замествайки го във второто, намираме стойността на тока,

и след това намерете A. Въз основа на изчислените разклонителни токове от компонентните уравнения (3.4), ние определяме напреженията. Резултатите от изчислението съвпадат с получените по-рано в подраздел 3.2.

Помислете повече сложен примеризчисляване на веригата в схемата, показана на фиг. 3.2, с параметри ом, ом, ом, ом, ом, ом,

Веригата съдържа възел (техните номера са посочени в кръгове) и клонове, които не съдържат идеални източници на ток. Системата от компонентни уравнения на веригата има формата

Според първия закон на Кирхоф е необходимо да се запишат уравненията (възел 0 не се използва),

Съгласно втория закон на Кирхоф уравненията се съставят за три независими контура, отбелязани на диаграмата с кръгове със стрелки (вътре са посочени номера на вериги),

Замествайки (3.11) в (3.13), заедно с (3.12), получаваме система от шест уравнения от вида

От второто и третото уравнение изразяваме

и от първия, след това замествайки и, получаваме. Замествайки токовете и в уравненията на втория закон на Кирхоф, записваме система от три уравнения

които след редукция на подобни записваме във формата

Обозначете

и от третото уравнение на системата (3.15) записваме

Замествайки получената стойност в първите две уравнения (3.15), получаваме система от две уравнения от вида

От второто уравнение (3.18) получаваме

тогава от първото уравнение намираме тока

Изчислявайки , от (3.19) намираме , от (3.17) изчисляваме , а след това от уравненията за заместване намираме токовете , , .

Както се вижда, аналитичните изчисления са доста тромави и за числени изчисления е по-целесъобразно да се използват съвременни софтуерни пакети, например MathCAD2001. Примерна програма е показана на фиг. 3.3.

Матрица - колоната съдържа стойностите на токовете A, A, A. Останалите

токове се изчисляват съгласно уравнения (3.14) и са равни на

A, A, A. Изчислените стойности на токовете съвпадат с тези, получени по горните формули.

Общият метод за изчисляване на верига с помощта на уравненията на Кирхоф води до необходимостта от решаване на линейни алгебрични уравнения. При голям брой клонове възникват математически и изчислителни трудности. Това означава, че е препоръчително да се търси изчислителни методи, изискващи съставянето и решаването на по-малък брой уравнения.

3.4. Метод на контурен ток

Метод на контурен токвъз основа на уравненията Вторият закон на Кирхофи води до необходимостта от решаване на уравнения, е броят на всички клонове, включително тези, съдържащи идеални източници на ток.

Във веригата се избират независими вериги и за всяка от тях се въвежда ток на пръстена (затворена) верига (двойното индексиране позволява да се разграничат кон-

токове от разклонени токове). Чрез токовете на веригата можете да изразите всички токове на разклонения и да запишете уравненията на втория закон на Кирхоф за всяка независима верига. Системата от уравнения съдържа уравнения, от които се определят всички токове на веригата. Въз основа на намерените контурни токове се намират токовете или напреженията на клоновете (елементите).

Разгледайте примерната схема на фиг. 3.1. Фигура 3.4 показва диаграма, показваща обозначенията и положителните посоки на двата контурни тока и ( , , ).

Ориз. 3.4 Чрез протео-

протича само контурният ток и посоката му съвпада с , така че токът на разклонението е равен на

Два контурни тока протичат в клона, токът съвпада по посока с и токът има противоположна посока, следователно

за контури, не съдържа идеални източници на ток, ние съставяме уравненията на втория закон на Кирхоф, използвайки закона на Ом, в този примере написано едно уравнение

Ако във веригата е включен идеален източник на ток, тогава за него

Уравнението на втория закон на Кирхоф не е компилиран, и неговия ток на веригата равен на токаизточник, отчитайки положителните им насоки, в разглеждания случай

Тогава системата от уравнения приема формата

В резултат на заместването на второто уравнение в първото получаваме

тогава токът е

и ток A. От (3.21) A, и от (3.22), съответно, A, което напълно съвпада с резултатите, получени по-рано. Ако е необходимо, според намерените стойности на токовете на клоните, съгласно закона на Ом, е възможно да се изчислят напреженията на елементите на веригата.

Помислете за по-сложен пример на веригата на фиг. 3.2, чиято верига с дадени контурни токове е показана на фиг. 3.5. В този случай броят на клоновете, броят на възлите, след това броят на независимите вериги и уравненията според метода на токовете на веригата е равен на. За разклонени токове можем да запишем

Първите три вериги не съдържат идеални източници на ток, тогава, като вземем предвид (3.28) и използваме закона на Ом, можем да напишем уравненията на втория закон на Кирхоф за тях,

В четвъртата верига има идеален източник на ток, следователно уравнението на втория закон на Кирхоф не е съставено за него и токът на веригата е равен на тока на източника (те съвпадат по посока),

Замествайки (3.30) в система (3.29), след трансформация получаваме три уравнения за контурни токове във формата

Системата от уравнения (3.31) може да бъде решена аналитично (например чрез метода на заместване - направи го), като получим формули за токовете на контура и след това от (3.28) определим токовете на клоновете. За числени изчисления е удобно да използвате софтуерния пакет MathCAD; пример за програмата е показан на фиг. 3.6. Резултатите от изчисленията съвпадат с изчисленията, показани на фиг. 3.3. Както може да се види, методът на тока на веригата изисква съставянето и решаването на по-малък брой уравнения в сравнение с общия метод на изчисление, използващ уравненията на Кирхоф.

3.5. Метод на възловото напрежение

Метод на възловото напрежениесе основава на първия закон на Кирхоф, докато броят на уравненията е .

Всички възли във веригата са избрани и един от тях е избран като основен, на който е приписан нулев потенциал. Потенциалите (напреженията) ... на останалите възли се броят от базовия възел, положителните им посоки обикновено се избират със стрелката към основния възел. Чрез възловите напрежения, използвайки закона на Ом и втория закон на Кирхоф, се изразяват токовете на всички клонове

а за възлите са написани уравненията на първия закон на Кирхоф.

Разгледайте примера на схемата, показана на фиг. 3.1, за метода на възловото напрежение, неговата диаграма е показана на фиг. 3.7. Долният възел се обозначава като основен (за това се използва символът "земя" - точката на нулев потенциал), напрежението на горния възел спрямо основното обозначение

Ориз. 3.7 означава . Експрес чрез

разклонителни токове

Съгласно първия закон на Кирхоф, като се вземе предвид (3.32), ние пишем единственото уравнение на метода на възловото напрежение (),

Решавайки уравнението, получаваме

и от (3.32) определяме разклонителните токове

Получените резултати съвпадат с тези, получени по разгледаните по-рано методи.

Помислете за по-сложен пример на схемата, показана на фиг. 3.2 със същите начални данни, схемата му е показана на фиг. 3.8. Във верижния възел долният е избран като основен, а останалите три са обозначени с числа в кръгове. Въведено

положителен 3.8

табло и обозначение

възлови напрежения и .

Съгласно закона на Ом, използвайки втория закон на Кирхоф, ние определяме клоновите токове,

Според първия закон на Кирхоф за възли с номера 1, 2 и 3 трябва да се съставят три уравнения,

Замествайки (3.36) в (3.37), получаваме системата от уравнения на метода на възловото напрежение,

След трансформация и редукция на подобни получаваме

Програмата за изчисляване на възловите напрежения и токове на клоновете е показана на фиг. 3.9. Както се вижда, получените резултати съвпадат с тези, получени по-рано с други изчислителни методи.

Извършете аналитично изчисляване на възловите напрежения, получете формули за разклонителни токове и изчислете техните стойности.

3.6. метод на наслагване

метод на наслагванее както следва.

Изчислението се извършва по следния начин. Във верига, съдържаща няколко източника, всеки от тях се избира на свой ред, а останалите се изключват. В този случай се формират вериги с един източник, чийто брой е равен на броя на източниците в първоначалната верига. Във всеки от тях се изчислява търсеният сигнал, като резултантният сигнал се определя от тяхната сума. Като пример, разгледайте изчисляването на тока във веригата, показана на фиг. 3.2, неговата схема е показана на фиг. 3.10а.

Когато идеален източник на ток е изключен (веригата му е прекъсната), веригата, показана на фиг. 3.9б, в който токът се определя по някой от разгледаните методи. Тогава идеалният източник на напрежение се изключва (заменя се с късо съединение) и получаваме показаната верига

на фиг. 3.9а, в който се намира тока. Желаният ток е

Извършвайте сами аналитични и числени изчисления, сравнете с получените по-рано резултати, например (3.20).

3.7. Сравнителен анализ на изчислителните методи

Методът за изчисление, базиран на закона на Ом, е подходящ за относително прости вериги с един източник. Не може да се използва за анализиране на схеми със сложна структура, например тип мост като фиг. 3.9.

Общият метод за изчисляване на верига, базиран на уравненията на законите на Ом и Кирхоф, е универсален, но изисква съставянето и решаването на система от уравнения, която лесно се превръща в система от уравнения. При голям брой клонове изчислителните разходи нарастват рязко, особено когато са необходими аналитични изчисления.

Методите на контурните токове и възловите напрежения са по-ефективни, тъй като водят до системи с по-малък брой уравнения, равни на и съответно. Като се има предвид това

методът на контурния ток е по-ефективен, в противен случай е препоръчително да се използва методът на възловото напрежение.

Методът на наслагване е удобен, когато веригата е драстично опростена, когато източниците са изключени.

Задача 3.5.Чрез общия метод на изчисление, чрез методите на контурните токове и възловите напрежения, определете във веригата фиг. 3.14 напрежение при mA kOhm, kOhm, kOhm, kOhm, kOhm. Харча сравнителен анализ

методи за изчисление. Ориз. 3.14

4. ХАРМОНИЧНИ ТОКОВЕ И НАПРЕЖЕНИЯ

Електрически веригипостоянен ток и методи за тяхното изчисляване

1.1. Електрическа верига и нейните елементи

В електротехниката се разглеждат устройството и принципът на действие на основните електрически устройства, използвани в бита и индустрията. За да работи едно електрическо устройство, трябва да се създаде електрическа верига, чиято задача е да прехвърли електрическа енергия към това устройство и да му осигури необходимия режим на работа.

Електрическа верига е набор от устройства и обекти, които образуват път за електрически ток, електромагнитни процеси, в които могат да бъдат описани с помощта на концепциите за електрически ток, EMF (електродвижеща сила) и електрическо напрежение.

За анализ и изчисление електрическата верига се представя графично под формата на електрическа верига, съдържаща символите на нейните елементи и начина на тяхното свързване. Електрическата верига на най-простата електрическа верига, която осигурява работата на осветителното оборудване, е показана на фиг. 1.1.

Всички устройства и обекти, които съставляват електрическата верига, могат да бъдат разделени на три групи:

1) Източници на електрическа енергия (мощност).

Общо свойство на всички източници на енергия е преобразуването на някаква форма на енергия в електрическа енергия. Източниците, в които неелектрическата енергия се преобразува в електрическа, се наричат ​​първични източници. Вторични източници са тези източници, които имат електрическа енергия както на входа, така и на изхода (например токоизправителни устройства).

2) Консуматори на електрическа енергия.

Общо свойство на всички потребители е преобразуването на електроенергия в други видове енергия (например отоплително устройство). Понякога потребителите наричат ​​товара.

3) Помощни елементи на веригата: свързващи проводници, комутационна апаратура, защитно оборудване, измервателни уреди и др., Без които реалната верига не работи.

Всички елементи на веригата са обхванати от един електромагнитен процес.

IN електрическа схемана фиг. 1.1 електрическа енергия от източника на EMF E, който има вътрешно съпротивление r 0, се предава през контролния реостат R към потребителите (товар): електрически крушки EL 1 и EL 2 с помощта на спомагателни елементи на веригата.

1.2. Основни понятия и определения за електрическа верига

За изчисляване и анализ реална електрическа верига се представя графично под формата на изчислена електрическа верига (еквивалентна схема). На тази диаграма са изобразени реалните елементи на веригата символи, а елементите на спомагателната верига обикновено не са показани и ако съпротивлението на свързващите проводници е много по-малко от съпротивлението на други елементи на веригата, то не се взема предвид. Захранването е показано като източник на EMF E с вътрешно съпротивление r 0 , реалните консуматори на DC електрическа енергия се заменят с техните електрически параметри: активни съпротивления R 1 , R 2 , …, R n . С помощта на съпротивлението R се взема предвид способността на елемент от реалната верига необратимо да преобразува електричеството в други форми, например топлинна или лъчиста.

При тези условия веригата на фиг. 1.1 може да бъде представен под формата на изчислена електрическа верига (фиг. 1.2), в която има източник на захранване с EMF E и вътрешно съпротивление r 0 и консуматори на електрическа енергия: регулиращ реостат R, ел.крушки EL 1 и EL 2 се заменят с активни съпротивления R, R 1 и R 2 .

Източникът на ЕМП в електрическата верига (фиг. 1.2) може да бъде заменен с източник на напрежение U, а условната положителна посока на напрежението U на източника е зададена противоположно на посоката на ЕМП.

При изчисляване в схемата на електрическата верига се разграничават няколко основни елемента.

Клон на електрическа верига (верига) е участък от верига със същия ток. Едно разклонение може да се състои от един или повече последователно свързани елементи. Схемата на фиг. 1.2 има три клона: клонът bma, който включва елементите r 0 , E, R и в който възниква токът I; клон ab с елемент R 1 и ток I 1 ; клон anb с елемент R 2 и ток I 2 .

Възел на електрическа верига (верига) е кръстовище на три или повече клона. В диаграмата на фиг. 1.2 - два възела a и b. Клоновете, прикрепени към една и съща двойка възли, се наричат ​​паралелни. Съпротивленията R 1 и R 2 (фиг. 1.2) са в успоредни клонове.

Контур е всеки затворен път, който минава през няколко клона. В диаграмата на фиг. 1.2 могат да се разграничат три контура: I - bmab; II - анба; III - manbm, на диаграмата стрелката показва посоката на заобикаляне на контура.

За правилното записване на уравненията, описващи процесите в електрическата верига или нейните елементи, трябва да бъдат зададени условните положителни посоки на ЕМП на източници на енергия, токове във всички клонове, напрежения между възлите и на клемите на елементите на веригата. На диаграмата (фиг. 1.2) стрелките показват положителните посоки на ЕМП, напрежения и токове:

а) за източници на ЕМП - произволно, но трябва да се има предвид, че полюсът (клемата на източника), към който е насочена стрелката, има по-висок потенциал по отношение на другия полюс;

б) за токове в клонове, съдържащи източници на ЕМП - съвпадащи с посоката на ЕМП; във всички останали клонове произволно;

в) за напрежения - съвпадащи с посоката на тока в клона или елемента на веригата.

Всички електрически вериги са разделени на линейни и нелинейни.

Елемент на електрическа верига, чиито параметри (съпротивление и т.н.) не зависят от тока в нея, се нарича линеен, например електрическа пещ.

Нелинеен елемент, като например лампа с нажежаема жичка, има съпротивление, чиято стойност нараства с увеличаване на напрежението, а оттам и тока, подаван към електрическата крушка.

Следователно в линейна електрическа верига всички елементи са линейни и електрическа верига, съдържаща поне един нелинеен елемент, се нарича нелинейна.

1.3. Основни закони на DC вериги

Изчисляването и анализът на електрически вериги се извършва с помощта на закона на Ом, първия и втория закон на Кирхоф. Въз основа на тези закони се установява връзка между стойностите на токовете, напреженията, ЕМП на цялата електрическа верига и нейните отделни секции и параметрите на елементите, които съставляват тази верига.

Закон на Ом за участък от верига

Връзката между тока I, напрежението UR и съпротивлението R на секцията ab на електрическата верига (фиг. 1.3) се изразява чрез закона на Ом

Ориз. 1.3 В този случай законът на Ом за секцията на веригата ще бъде записан като:

Закон на Ом за цялата верига

Този закон определя връзката между EMF E на източник на захранване с вътрешно съпротивление r 0 (фиг. 1.3), тока I на електрическата верига и общото еквивалентно съпротивление R E \u003d r 0 + R на цялата верига:

.

Една сложна електрическа верига по правило съдържа няколко клона, в които могат да бъдат включени техните източници на енергия и режимът на нейната работа не може да се опише само със закона на Ом. Но това може да се направи въз основа на първия и втория закон на Кирхоф, които са следствие от закона за запазване на енергията.

Първият закон на Кирхоф

Във всеки възел на електрическата верига алгебричната сума на токовете е нула

,

където m е броят на клоновете, свързани към възела.

При писане на уравнения според първия закон на Кирхоф токовете, насочени към възела, се вземат със знак плюс, а токовете, насочени от възела, се вземат със знак минус. Например, за възел a (виж фиг. 1.2) I - I 1 - I 2 = 0.

Вторият закон на Кирхоф

Във всяка затворена верига на електрическа верига алгебричната сума на ЕМП е равна на алгебричната сума на паданията на напрежението във всичките й секции

,

където n е броят на източниците на ЕМП във веригата;
m е броят на елементите със съпротивление R до във веригата;
U до \u003d R до I до - напрежение или спад на напрежението k-ти елементконтур.

За веригата (фиг. 1.2) записваме уравнението съгласно втория закон на Кирхоф:

Ако в електрическата верига са включени източници на напрежение, тогава вторият закон на Кирхоф е формулиран в следната форма: алгебричната сума на напреженията на всички елементи на брояча, включително източниците на ЕМП, е нула

.

При писане на уравнения според втория закон на Кирхоф е необходимо:

1) задайте условни положителни посоки на ЕМП, токове и напрежения;

2) изберете посоката на заобикаляне на контура, за който е написано уравнението;

3) запишете уравнението, като използвате една от формулировките на втория закон на Кирхоф, а членовете, включени в уравнението, се вземат със знак плюс, ако техните условни положителни посоки съвпадат с байпаса на контура и със знак минус, ако са противоположни.