Пълната производна на комплексен fnp. Теоретичен материал

Помислете за функция на две променливи:

Тъй като променливите $x$ и $y$ са независими, можем да въведем концепцията за частична производна за такава функция:

Частната производна на функцията $f$ в точка $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ по отношение на променливата $x$ е лимитът

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Делта x;((y)_(0)) \right))(\Делта x)\]

По подобен начин можем да дефинираме частичната производна по отношение на променливата $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

С други думи, за да намерите частичната производна на функция от няколко променливи, трябва да фиксирате всички други променливи, с изключение на желаната, и след това да намерите обикновената производна по отношение на тази желана променлива.

От това следва основната техника за изчисляване на такива производни: просто помислете, че всички променливи с изключение на дадената са постоянни и след това разграничете функцията, както бихте разграничили "обикновената" - с една променлива. Например:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ просто ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\край (подравняване)$

Очевидно частните производни по отношение на различни променливи дават различни отговори - това е нормално. Много по-важно е да разберем защо, да речем, в първия случай ние спокойно премахнахме $10y$ под знака на производната, а във втория случай напълно анулирахме първия член. Всичко това се дължи на факта, че всички букви, с изключение на променливата, чрез която се извършва диференциацията, се считат за константи: те могат да бъдат извадени, "изгорени" и т.н.

Какво е "частична производна"?

Днес ще говорим за функции на няколко променливи и техните частни производни. Първо, какво е функция на множество променливи? Досега бяхме свикнали да мислим за функция като $y\left(x \right)$ или $t\left(x \right)$, или всяка променлива и отделна функция от нея. Сега ще имаме една функция и няколко променливи. Когато $y$ и $x$ се променят, стойността на функцията ще се промени. Например, ако $x$ се удвои, стойността на функцията ще се промени, докато ако $x$ се промени и $y$ не се промени, стойността на функцията ще се промени по същия начин.

Разбира се, функция на няколко променливи, точно както функция на една променлива, може да бъде диференцирана. Въпреки това, тъй като има няколко променливи, е възможно да се направи разграничение според различните променливи. В този случай възникват специфични правила, които не съществуват при диференцирането на една променлива.

На първо място, когато разглеждаме производната на функция на която и да е променлива, трябва да посочим коя променлива смятаме за производна - това се нарича частична производна. Например, имаме функция на две променливи и можем да я изчислим както в $x$, така и в $y$ - две частни производни на всяка от променливите.

Второ, щом фиксираме една от променливите и започнем да изчисляваме частната производна по отношение на нея, всички останали, включени в тази функция, се считат за константи. Например, в $z\left(xy \right)$, ако разгледаме частичната производна по отношение на $x$, тогава където и да срещнем $y$, ние го считаме за константа и я третираме точно като константа. По-специално, когато изчисляваме производната на продукт, можем да извадим $y$ от скобата (имаме константа), а когато изчисляваме производната на сумата, ако някъде получим производната на израз, съдържащ $y$ и не съдържа $x$, тогава производната на този израз ще бъде равна на "нула" като производна на константата.

На пръв поглед може да изглежда, че говоря за нещо сложно и много ученици се объркват в началото. Но в частичните производни няма нищо свръхестествено и сега ще видим това на примера на конкретни задачи.

Задачи с радикали и полиноми

Задача №1

За да не губим време напразно, от самото начало ще започнем със сериозни примери.

Нека започна със следната формула:

Това е стандартната стойност на таблицата, която знаем от стандартния курс.

В този случай производната $z$ се изчислява, както следва:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Нека го направим отново, тъй като коренът не е $x$, а някакъв друг израз, в този случай $\frac(y)(x)$, тогава първо ще използваме стандарта таблична стойност, и след това, тъй като коренът не е $x$, а друг израз, трябва да умножим нашата производна по още един от този израз по отношение на същата променлива. Да започнем със следното:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Връщаме се към нашия израз и пишем:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

По принцип това е всичко. Въпреки това е погрешно да го оставим в тази форма: такава конструкция е неудобна за използване за по-нататъшни изчисления, така че нека я трансформираме малко:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Отговорът е намерен. Сега нека се заемем с $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Да напишем отделно:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Сега пишем:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Свършен.

Задача №2

Този пример е едновременно по-прост и по-сложен от предишния. По-трудно, защото има повече действия, но по-лесно, защото няма корен и освен това функцията е симетрична спрямо $x$ и $y$, т.е. ако разменим $x$ и $y$, формулата не се променя. Тази забележка допълнително ще опрости изчисляването на частната производна, т.е. достатъчно е да изчислите един от тях, а във втория просто разменете $x$ и $y$.

Да се ​​залавяме за работа:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Нека преброим:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Много ученици обаче не разбират такъв запис, затова го записваме така:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Така още веднъж се убеждаваме в универсалността на алгоритъма за частични производни: както и да ги разглеждаме, ако всички правила се прилагат правилно, отговорът ще бъде същият.

Сега нека разгледаме още една частична производна от нашата голяма формула:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Заместваме получените изрази в нашата формула и получаваме:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ дясно)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ ляво(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \дясно))^(2)))=\frac(y\ляво(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

$x$ преброени. И за да изчислим $y$ от същия израз, нека не изпълняваме същата последователност от действия, а да използваме симетрията на нашия оригинален израз - ние просто заместваме всички $y$ в нашия оригинален израз с $x$ и обратно:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Поради симетрията изчислихме този израз много по-бързо.

Нюанси на решението

За частичните производни работят всички стандартни формули, които използваме за обикновените, а именно производната на частното. В този случай обаче възникват неговите специфични особености: ако разглеждаме частната производна на $x$, тогава когато я получим от $x$, тогава я разглеждаме като константа и следователно нейната производна ще бъде равна на " нула".

Както при обикновените производни, частното (едно и също) може да се изчисли по няколко различни начини. Например, същата конструкция, която току-що изчислихме, може да бъде пренаписана както следва:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

От друга страна обаче можете да използвате формулата от производната сума. Както знаем, тя е равна на сбора от производните. Например, нека напишем следното:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Сега, знаейки всичко това, нека се опитаме да работим с по-сериозни изрази, тъй като реалните частични производни не се ограничават само до полиноми и корени: ​​има тригонометрия, логаритми и експоненциална функция. Сега нека направим това.

Задачи с тригонометрични функции и логаритми

Задача №1

Пишем следните стандартни формули:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Въоръжени с тези знания, нека се опитаме да решим:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека напишем една променлива отделно:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Обратно към нашия дизайн:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Намерихме всичко за $x$, сега нека направим изчисленията за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Отново помислете за един израз:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

Връщаме се към първоначалния израз и продължаваме решението:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Свършен.

Задача №2

Нека напишем формулата, от която се нуждаем:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Сега нека броим с $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Намерено от $x$. Броене по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Проблема решен.

Нюанси на решението

Така че, независимо от каква функция вземаме частичната производна, правилата остават същите, независимо дали работим с тригонометрия, с корени или с логаритми.

Класическите правила за работа със стандартни производни остават непроменени, а именно производната на сбора и разликата, частното и сложна функция.

Последната формула най-често се среща при решаване на задачи с частни производни. Срещаме ги почти навсякъде. Все още не е имало нито една задача, на която да не сме попаднали там. Но без значение каква формула използваме, ние все още добавяме още едно изискване, а именно функцията за работа с частични производни. Щом коригираме една променлива, всички останали са константи. По-специално, ако разгледаме частичната производна на израза $\cos \frac(x)(y)$ по отношение на $y$, тогава $y$ е променливата и $x$ остава постоянна навсякъде. Същото работи и обратното. Тя може да бъде извадена от знака на производната, а самата производна на константата ще бъде равна на "нула".

Всичко това води до факта, че частичните производни на един и същи израз, но по отношение на различни променливи, могат да изглеждат напълно различно. Например, разгледайте следните изрази:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Задачи с експоненциални функции и логаритми

Задача №1

Нека започнем, като напишем следната формула:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Знаейки този факт, както и производната на сложна функция, нека се опитаме да изчислим. Сега ще реша по два различни начина. Първият и най-очевиден е производното на продукта:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека решим отделно следния израз:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Връщаме се към нашия оригинален дизайн и продължаваме решението:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

Всичко, $x$ се брои.

Обаче, както обещах, сега ще се опитаме да изчислим същата частна производна по различен начин. За да направите това, имайте предвид следното:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Нека го напишем така:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

В резултат на това получихме абсолютно същия отговор, но количеството изчисления се оказа по-малко. За да направите това, беше достатъчно да забележите, че когато продуктът се умножи, експонентите могат да се добавят.

Сега нека броим по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Нека решим един израз отделно:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Нека продължим решението на нашата оригинална конструкция:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Разбира се, същата производна може да се изчисли по втория начин, отговорът ще бъде същият.

Задача №2

Нека броим по $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нека преброим един израз отделно:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Нека продължим решението на оригиналната конструкция: $$

Ето и отговора.

Остава да намерим по аналогия по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Нека преброим един израз отделно както винаги:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Продължаваме решението на основната структура:

Всичко е преброено. Както можете да видите, в зависимост от това коя променлива се взема за диференциране, отговорите са напълно различни.

Нюанси на решението

Ето един ярък пример за това как производната на една и съща функция може да се изчисли по два различни начина. Вижте тук:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ ляво(1+\frac(1)(y)\дясно)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

При избора на различни пътища количеството изчисления може да е различно, но отговорът, ако всичко е направено правилно, ще бъде същият. Това се отнася както за класическите, така и за частичните производни. В същото време напомням още веднъж: в зависимост от коя променлива се взема производната, т.е. диференциация, отговорът може да бъде напълно различен. Виж:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

В заключение, за да консолидираме целия този материал, нека се опитаме да преброим още два примера.

Задачи с тригонометрична функция и функция с три променливи

Задача №1

Нека напишем тези формули:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Нека сега решим нашия израз:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Отделно разгледайте следната конструкция:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ ляво(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Продължаваме да решаваме оригиналния израз:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Това е последният отговор на частната променлива за $x$. Сега нека броим по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Нека решим един израз отделно:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ ляво(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Ние решаваме нашата конструкция до края:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Задача №2

На пръв поглед този пример може да изглежда доста сложен, защото има три променливи. Всъщност това е една от най-лесните задачи в днешния видео урок.

Намерете по $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Сега нека се заемем с $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Намерихме отговора.

Сега остава да намерим по $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Изчислихме третата производна, на която решението на втората задача е напълно завършено.

Нюанси на решението

Както можете да видите, в тези два примера няма нищо сложно. Единственото нещо, което видяхме, е, че производната на сложна функция се използва често и в зависимост от това коя частна производна разглеждаме, получаваме различни отговори.

В последната задача бяхме помолени да се справим с функция на три променливи наведнъж. В това няма нищо лошо, но в самия край се уверихме, че всички те се различават значително един от друг.

Ключови точки

Крайните заключения от днешния видео урок са следните:

1. Частните производни се разглеждат по същия начин като обикновените, докато за да разгледаме частната производна по отношение на една променлива, ние приемаме всички други променливи, включени в тази функция, като константи.
2. Когато работим с частни производни, ние използваме всички същите стандартни формули, както при обикновените производни: сумата, разликата, производната на произведението и частното и, разбира се, производната на сложна функция.

Разбира се, само гледането на този видео урок не е достатъчно, за да разберете напълно тази тема, така че в момента на моя уебсайт за това конкретно видео има набор от задачи, посветени на днешната тема - отидете, изтеглете, решете тези задачи и проверете отговора. И след това няма проблеми с частни производни нито на изпити, нито на самостоятелна работаняма да го направиш. Разбира се, това далеч не е последният урок по висша математика, така че посетете нашия уебсайт, добавете VKontakte, абонирайте се за YouTube, харесвайте и останете с нас!

Пример. Намерете дали, къде.

Решение. Според формула (1) имаме:

Пример. Намерете частната производна и пълната производна, ако .

Решение. .

Въз основа на формула (2) получаваме .

2°. Случаят на няколко независими променливи.

Позволявам z = f(x;y) -функция на две променливи хИ y,всяка от които е функция

независима променлива t: x = x(t), y = y(t).В този случай функцията z=f(x(t);y(t))е

сложна функция на една независима променлива T;променливи x и y са междинни променливи.

Теорема. Ако z == f(х; y) -диференцируеми в точка M(x; y) Dфункция

И x = x(t)И при =y(t) -диференцируеми функции на независимата променлива T,

след това производната на комплексната функция z(t) == f(x(t);y(t))изчислено по формулата

(3)

Специален случай: z = f(x; y),където y = y(x),тези. z= f(x;y(x)) -сложна функция на

независима променлива Х.Този случай се свежда до предишния и ролята на променливата

Tиграе Х.Съгласно формула (3) имаме:

.

Последната формула се нарича формули за общата производна.

Общ случай: z = f(x;y),Където x = x(u;v), y=y(u;v).Тогава z = f(x(u;v);y(u;v)) -комплекс

функция на независими променливи ИИ v.Неговите частични производни могат да бъдат намерени

използвайки формула (3), както следва. Поправяне v,замени в него

съответните частни производни

И така, производната на съставната функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ИИ v)

е равно на сумата от произведенията на частни производни на тази функция (z) по отношение на нейния междинен продукт

променливи (x и y)към техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Във всички разглеждани случаи формулата

(свойство инвариантност на общия диференциал).

Пример. Намерете и ако z= f(x,y), където x=uv, .

1°. Случай на една независима променлива. Ако z=f(x,y) е диференцируема функция на аргументите x и y, които от своя страна са диференцируеми функции на независимата променлива T: , тогава производната на комплексната функция може да се изчисли по формулата

Пример. Намерете дали, къде.

Решение. Според формула (1) имаме:

Пример. Намерете частната производна и пълната производна, ако .

Решение. .

Въз основа на формула (2) получаваме .

2°. Случаят на няколко независими променливи.

Позволявам z=е(х;y) -функция на две променливи хИ y,всяка от които е функция на независимата променлива t : x =х (t), y =y (T).В този случай функцията z=е(х (T);y (T))е сложна функция на една независима променлива T;променливи x и y са междинни променливи.

Теорема. Ако z == f(х; y) -диференцируеми в точка M(x; y)дфункция и x =х (T)И при =y (T) -диференцируеми функции на независимата променлива T,след това производната на комплексната функция z(T) == f(х (T);y (T))изчислено по формулата

Специален случай:z = е(х; y),където y = y(x),тези. z= е(х;y (х)) -сложна функция на една независима променлива Х.Този случай се свежда до предишния и ролята на променливата Tиграе Х.Съгласно формула (3) имаме:

.

Последната формула се нарича формули за общата производна.

Общ случай:z = е(х;y),Където x =х (u ;v),y=y (u ;v ).Тогава z = е(х (u ;v);y (u ;v))-сложна функция на независими променливи ИИ v.Неговите частични производни и могат да бъдат намерени с помощта на формула (3), както следва. Поправяне v,заместваме в него със съответните частни производни

И така, производната на съставната функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ИИ v)е равно на сумата от произведенията на частните производни на тази функция (z) по отношение на нейните междинни променливи (x и y)към техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Във всички разглеждани случаи формулата

(свойство инвариантност на общия диференциал).

Пример. Намерете и ако z = f(x ,y ), където x =uv , .

Решение. Прилагайки формули (4) и (5), получаваме:

Пример. Покажете, че функцията удовлетворява уравнението .

Решение. Функцията зависи от x и y чрез междинен аргумент, така че

Замествайки частичните производни в лявата страна на уравнението, имаме:

Тоест функцията z удовлетворява даденото уравнение.

Производна по дадена посока и градиент на функция

1°. Производна на функция в дадена посока. производнафункции z= f(x,y) в тази посокаНаречен , където и са стойностите на функцията в точките и . Ако функцията z е диференцируема, то формулата

където са ъглите между посоката ли съответните координатни оси. Производната в дадена посока характеризира скоростта на изменение на функцията в тази посока.

Пример. Намерете производната на функцията z \u003d 2x 2 - Zu 2 в точка P (1; 0) в посока, която сключва ъгъл от 120 ° с оста OX.

Решение. Нека намерим частните производни на тази функция и техните стойности в точка P .

Теорема.Позволявам u = f(x, y)е дадено в областта D и нека x = x(t)И y = y(t)определени в района , и когато , тогава x и y принадлежат на областта D. Нека функция u е диференцируема в точка M 0 (х 0 ,г 0 ,z 0), и функции x(T) и при(T) са диференцируеми в съответната точка t 0 , тогава комплексната функция u = f[х(T),г(T)]=F (T)диференцируеми при t 0 и е в сила следното равенство:

.

Доказателство.Тъй като u е условно диференцируем в точката ( х 0 , г 0), тогава общото му увеличение е представено като

Разделяйки това съотношение на, получаваме:

Нека преминем към границата при и получим формулата

.

Забележка 1.Ако u= u(x, y) И х= х, г= г(х), тогава общата производна на функцията uпо променлива х

или .

Последното равенство може да се използва за доказване на правилото за диференциране на функция на една променлива, дадено имплицитно във формата Е(х, г) = 0, където г= г(х) (вижте тема номер 3 и пример 14).

Ние имаме: . Оттук . (6.1)

Да се ​​върнем към пример 14 от тема номер 3:

;

.

Както можете да видите, отговорите са едни и същи.

Забележка 2.Позволявам u = f (x, y), Където х= х(T , v), при= при(T , v). Тогава u в крайна сметка е сложна функция от две променливи TИ v. Ако сега функцията u е диференцируема в точка М 0 (х 0 , г 0) и функциите хИ приса диференцируеми в съответната точка ( T 0 , v 0), тогава можем да говорим за частични производни по отношение на TИ vот сложна функция в точка ( T 0 , v 0). Но ако говорим за частична производна по отношение на t в определена точка, тогава втората променлива v се счита за постоянна и равна на v 0 . Следователно говорим за производна само на сложна функция по отношение на t и следователно можем да използваме получената формула. Така получаваме.

Нека функцията z - f(x, y) е дефинирана в някаква област D на равнината xOy. Нека вземем вътрешна точка (x, y) от областта D и да дадем на x увеличение Ax, така че точката (x + Ax, y) 6 D (фиг. 9). Нека наречем стойността частично увеличение на функцията z по отношение на x. Съставете съотношението. За дадена точка (x, y) това съотношение е функция на Определението. Ако за Ax -* 0 отношението ^ има крайна граница, тогава тази граница се нарича частна производна на функцията z = /(x, y) по отношение на независимата променлива x в точката (x, y) и е означен със символа jfc (или /i(x, jj), или z "x (x, По същия начин, по дефиниция, или, което е същото, Аналогично Ако и е функция на n независими променливи, тогава отбелязвайки че Arz се изчислява с непроменена стойност на променливата y и Atz с непроменена стойност на променливата x, дефинициите на частни производни могат да бъдат формулирани по следния начин: Частични производни Геометричното значение на частичните производни на функция от две променливи Диференцируемост на функция на няколко променливи Необходими условия за диференцируемост на функция Достатъчни условия за диференцируемост на функции на няколко променливи Общ диференциал. ) е обичайната производна на тази функция по отношение на x, изчислена при допускането, че y е константа; частна производна по отношение на y на функцията z - /(x, y) е нейната производна по отношение на y, изчислена при предположението, че x е константа. От това следва, че правилата за изчисляване на частни производни съвпадат с правилата, доказани за функция на една променлива. Пример. Намерете частични производни на функция 4 Имаме замествания*. Съществуването на функция y = /(x, y) в дадена точка от частични производни по отношение на всички аргументи не предполага непрекъснатост на функцията в тази точка. Така че функцията не е непрекъсната в точка 0(0,0). Въпреки това, в този момент определена функцияима частни производни по отношение на x и y. Това следва от факта, че /(x, 0) = 0 и /(0, y) = 0 и следователно геометричният смисъл на частните производни на функция на две променливи. Нека повърхността S в тримерното пространство е дадено от уравнението, където f(x, y) е функция, непрекъсната в някаква област D и имаща частни производни по отношение на x и y там. Нека разберем геометричния смисъл на тези производни в точката Mo(x0, y0) 6 D, на която отговаря точката f(x0)yo) на повърхността z = f(x)y). Когато намираме частичната производна в точка M0, приемаме, че z е само функция на аргумента x, докато аргументът y запазва постоянна стойност y \u003d yo, т.е. функцията fi (x) е геометрично представена от кривата L , по която повърхността S се пресича от равнината y \u003d при около. Поради геометричния смисъл на производната на функция на една променлива, f \ (xo) = tg a, където a е ъгълът, образуван от допирателната към правата L в точката JV0 с оста Ox (фиг. 10) . Но така, че частичната производна ($|) е равна на тангенса на ъгъла a между оста Ox и допирателната в точка N0 към кривата, получена в участъка на повърхността z \u003d / (x, y) от равнината у. По същия начин получаваме, че §6. Диференцируемост на функция на няколко променливи Нека функцията z = /(x, y) е дефинирана в някаква област D на равнината xOy. Нека вземем точка (x, y) € D и дадем на избраните стойности x и y произволни увеличения Ax и Dy, но така че точката. Определение. Функция r = /(x, y) се нарича диференцируема * точка (x, y) € 2E, ако общият прираст на тази функция, съответстващ на приращенията Dx, Dy на аргументите, може да бъде представен като където A и B не зависят от Dx и D y (но като цяло зависят от x и y), докато a(Ax, Dy) и f(Ax, Dy) клонят към нула, както Ax и Dy клонят към нула. . Ако функцията z = /(x, y) е диференцируема в точката (x, y), тогава частта A Dx 4 - VDy от нарастването на функцията, линейна по отношение на Dx и Dy, се нарича пълен диференциал на тази функция в точката (x, y) и се обозначава със символа dz: Tanim way, пример. Нека r = x2 + y2. Във всяка точка (r, y) и за всеки Dx и Dy имаме Тук. следва, че a и /3 клонят към нула, както Ax и Dy клонят към нула. По дефиниция, дадена функция е диференцируем във всяка точка на равнината xOy. Тук отбелязваме, че в нашите разсъждения не сме изключили официално случая, когато увеличенията Dx, Dy поотделно или дори и двете са равни на нула наведнъж. Формула (1) може да бъде написана по-компактно, ако въведем израза (разстоянието между точките (Използвайки го, можем да напишем Означавайки израза в скоби с e, ще имаме, където c зависи от J, Du и клони към нула, ако J 0 и Dy 0, или накратко, ако p 0. Формула (1), която изразява условието функцията z = f(xt y) да бъде диференцируема в точката (x, y), вече може да бъде записана както в пример 6.1 по-горе Теорема 4. Ако функцията r = f(x, y) е диференцируема в дадена точка, тогава тя е непрекъсната в тази точка.4 Ако функцията r = f(x, y) е диференцируема в точката (x, y), тогава общото нарастване на функцията i в тази точка""e, съответстващо на нарастванията j и dy на аргументите, може да бъде представено във формата Теорема b. Ако функцията z = f(x, y) е диференцируем в дадена точка, mo o o u. ) е диференцируем в точка (x, y). Тогава приращението Dx на тази функция, което съответства на приращенията Dx, Ay на аргументите, може да бъде представено във формата (1). Вземайки в равенството (1) Dx Ф 0, Dn = 0, получаваме от където Тъй като от дясната страна на последното равенство стойността A не зависи от, Това означава, че в точката (x, y) има частично производна на функцията r \u003d / (x, y) по отношение на x и чрез подобни разсъждения виждаме, че (x, има частична производна на функцията zу и от теоремата следва, че Подчертаваме, че Теорема 5 твърди съществуването на частични производни само в точката (x, y), но не казва нищо за тяхната непрекъснатост 6.2 Достатъчни условия за диференцируемостта на функциите на няколко променливи Както е добре известно, необходимо и достатъчно условие за диференцируемостта на a функция y = f(x) на една променлива в точката xo е съществуването на крайна производна /"(x) в точката x0. В случай, че функцията зависи от няколко променливи, ситуацията е много по-сложна: няма необходими и достатъчни условия за диференцируемост на функцията z = /(x, y) на две независими променливи x, y; има само отделно необходими условия (вж. по-горе) и отделно - достатъчно. Тези достатъчни условия за диференцируемостта на функции на няколко променливи се изразяват чрез следната теорема. Теорема c. Ако дадена функция има частични производни /£ и f"v в някои околности на тънката линия (xo, y0) и ако тези производни са непрекъснати в самата точка (xo, y0), тогава функцията z = f(x, y ) е диференцируема в точката (x- Пример Да разгледаме функция Частични производни Геометричният смисъл на частните производни на функция на две променливи Диференцируемост на функция на няколко променливи Необходими условия за диференцируемост на функция Достатъчни условия за диференцируемост на функции на няколко променливи Тотален диференциал Частични диференциали Производни на сложна функция Тя е дефинирана навсякъде Въз основа на дефиницията на частични производни, имаме ™ на тази функция в точката 0(0, 0), която намираме, и увеличението на това се изостря. 0 и Du 0. Поставяме D0. Тогава от формула (1) ще имаме Следователно функциите / (x, y) \u003d не се диференцират в точка 0 (0, 0), въпреки че в тази точка произвеждаме fa и f "r Полученият резултат се обяснява с факта, че производните f"z и f"t са прекъснати в точката на §7. пълен диференциал. Частични диференциали Ако функцията r - f(z> y) е диференцируема, тогава нейният последен диференциал dz е равен Отбелязвайки, че A = B = u, записваме формула (1) в следната форма. техните увеличения: След това формулата за общия диференциал на функцията взема примера. Нека i - 1l(x + y2). Тогава по подобен начин, ако u =) е диференцируема функция от n независими променливи, тогава изразът се нарича слаб диференциал на функцията z = f(x, y) по отношение на променливата x; изразът се нарича частичен диференциал на функцията z = /(x, y) на променливата y. От формули (3), (4) и (5) следва, че общият диференциал на функция е сумата от нейните частични диференциали: Обърнете внимание, че общото увеличение Az на функцията z = /(x, y), най-общо казано , не е равно на сумата от частичните увеличения. Ако в точка (x, y) функцията y = /(x, y) е диференцируема и диференциалът dz Φ 0 в тази точка, тогава нейният общ прираст се различава от линейната си част само със сумата на последните членове aAx 4 - /?0 и Ay --> O са безкрайно малки от по-висок порядък от членовете на линейната част. Следователно, когато dz Ф 0, линейната част от нарастването на диференцируема функция се нарича основна част от нарастването на функцията и се използва приблизителна формула, която ще бъде толкова по-точна, колкото по-малка е абсолютната стойност на нарастванията на аргументите. §8. Производни на комплексна функция 1. Нека функцията е дефинирана в някаква област D на равнината xOy и всяка от променливите x, y от своя страна е функция на аргумента t: Ще приемем, че когато t се промени в интервал (съответните точки (x, y) не излизат извън областта D. Ако заместим стойностите във функцията z = / (x, y), тогава получаваме сложна функция на една променлива t. и за съответните стойности функцията / (x, y) е диференцируема, тогава комплексната функция в точката t има производна и M Нека да дадем на t увеличение Dt. Тогава x и y ще получат някои увеличения Ax и Dy. Като резултат, за (J)2 + (Dy)2 ∩ 0, функцията z също ще получи известно увеличение Dt, което поради диференцируемостта на функцията z = f, y) в точката (x, y) може да се представя като където a) клонят към нула, тъй като Ax и Du клонят към нула. Нека дефинираме a и /3 за Ax = Ay = 0, като зададем a Тогава a( ще бъде непрекъснато за J = Dy = 0. Помислете, че връзката е постоянна за дадената, по условие има граници от съществуването на производни ^ и в точката £ следва, че функциите x = y(t) и y = са непрекъснати в тази точка; следователно, в At 0 и J, и Dy клонят към нула, което от своя страна води до a(Ax, Dy) и P (Ax, Ay) клонят към нула. Така дясната страна на равенството (2) при 0 има граница, равна на Следователно, границата на лявата страна на (2) съществува при At 0, т.е. съществува равно Преминавайки в равенство (2) до границата като At -> 0, получаваме търсената формула В частния случай, когато, следователно, z е комплексна функция на x, получаваме y) върху x, при изчисляването на което в изразът f(x, y) аргументът y се приема като константа константа и от своя страна се счита за функция на x: y = tp(x)t и следователно зависимостта на z от x се взема изцяло под внимание. Пример. Намерете и jg if 2. Помислете сега за диференцирането на сложна функция на няколко променливи. Нека където на свой ред, така че Да предположим, че в точката (() има непрекъснати частични производни u, 3? и в съответната точка (x, y), където Функцията /(x, y) е диференцируема. Нека покажем, че при тези условия комплексната функция z = z(() y) в точката t7) има производни и u, и ние намираме изрази за тези производни. Имайте предвид, че този случай не се различава съществено от вече проучения. Наистина, когато z се диференцира по отношение на £, втората независима променлива rj се приема за константа, в резултат на което x и y стават функции на една и съща променлива x" = c), y = c) в тази операция, и въпросът за производната Φ се решава точно по същия начин като въпроса за производната при извеждане на формула (3) Използвайки формула (3) и формално замествайки производните g и ^ в нея с производните u и съответно, получаваме Ако сложна функция е „Определена с формули, така че тогава, ако са изпълнени подходящите условия, имаме В частния случай, когато And = където Частични производни Геометричното значение на частните производни на функция на две променливи Диференцируемост на функция на няколко променливи Необходими условия за диференцируемост на функция Достатъчни условия за диференцируемост на функции на няколко променливи Пълен диференциал Частични диференциали Имаме производните на сложна функция y, d) по x, при изчисляване на k