Privata derivat. Partiella derivator partiella differentialer derivator av en komplex funktion av två variabler Funktioner av flera derivator

Beviset för formeln för derivatan av en komplex funktion ges. Fall där en komplex funktion beror på en eller två variabler övervägs i detalj. En generalisering görs till fallet med ett godtyckligt antal variabler.

Innehåll

Se även: Exempel på tillämpning av formeln för derivatan av en komplex funktion

Grundläggande formler

Här presenterar vi härledningen av följande formler för derivatan av en komplex funktion.
Om då
.
Om då
.
Om då
.

Derivat av en komplex funktion av en variabel

Låt en funktion av en variabel x representeras som en komplex funktion i följande formulär:
,
var och det finns några funktioner. Funktionen är differentierbar för något värde av variabeln x . Funktionen är differentierbar för variabelns värde.
Då är den komplexa (sammansatta) funktionen differentierbar i punkten x och dess derivata bestäms av formeln:
(1) .

Formel (1) kan också skrivas på följande sätt:
;
.

Bevis

Låt oss introducera följande notation.
;
.
Här finns en funktion av variabler och , det finns en funktion av variabler och . Men vi kommer att utelämna argumenten för dessa funktioner för att inte störa beräkningarna.

Eftersom funktionerna och är differentierbara vid punkterna x respektive , finns det vid dessa punkter derivator av dessa funktioner, som är följande gränser:
;
.

Tänk på följande funktion:
.
För ett fast värde på variabeln u , är en funktion av . Det är uppenbart
.
Sedan
.

Eftersom funktionen är en differentierbar funktion vid punkten är den kontinuerlig vid den punkten. Det är därför
.
Sedan
.

Nu hittar vi derivatan.

.

Formeln har bevisats.

Följd

Om en funktion av variabel x kan representeras som en komplex funktion av en komplex funktion
,
då bestäms dess derivata av formeln
.
Här och det finns några differentierbara funktioner.

För att bevisa denna formel, beräknar vi sekventiellt derivatan enligt differentieringsregeln för en komplex funktion.
Tänk på en komplex funktion
.
Dess derivat
.
Tänk på den ursprungliga funktionen
.
Dess derivat
.

Derivat av en komplex funktion i två variabler

Låt nu en komplex funktion bero på flera variabler. Överväg först fallet med en komplex funktion av två variabler.

Låt funktionen beroende på variabeln x representeras som en komplex funktion av två variabler i följande form:
,
Var
och det finns differentierbara funktioner för något värde av variabeln x ;
är en funktion av två variabler, differentierbara vid punkten , . Sedan definieras den komplexa funktionen i något område av punkten och har en derivata, som bestäms av formeln:
(2) .

Bevis

Eftersom funktionerna och är differentierbara vid punkten definieras de i någon omgivning av denna punkt, är kontinuerliga vid punkten och deras derivator vid punkten finns, vilket är följande gränser:
;
.
Här
;
.
På grund av kontinuiteten i dessa funktioner vid ett tillfälle har vi:
;
.

Eftersom funktionen är differentierbar vid punkten definieras den i någon omgivning av denna punkt, är kontinuerlig vid denna punkt och dess ökning kan skrivas i följande form:
(3) .
Här

- funktionsökning när dess argument inkrementeras med värdena och ;
;

- partiella derivator av funktionen med avseende på variablerna och .
För fasta värden på och , och det finns funktioner för variablerna och . De tenderar att nollställas som och:
;
.
Sedan och , då
;
.

Funktionsökning:

. :
.
Ersättare (3):



.

Formeln har bevisats.

Derivat av en komplex funktion av flera variabler

Ovanstående härledning är lätt att generalisera till fallet när antalet variabler i en komplex funktion är fler än två.

Till exempel, om f är funktion av tre variabler, Den där
,
Var
, och det finns differentierbara funktioner för något värde av variabeln x ;
är en differentierbar funktion, i tre variabler, vid punkten , , .
Sedan, från definitionen av differentiabilitet av funktionen, har vi:
(4)
.
Eftersom, på grund av kontinuiteten,
; ; ,
Den där
;
;
.

Om vi ​​dividerar (4) med och övergår till gränsen får vi:
.

Och slutligen, överväg det mest allmänna fallet.
Låt en funktion av en variabel x representeras som en komplex funktion av n variabler i följande form:
,
Var
det finns differentierbara funktioner för något värde av variabeln x ;
- differentierbar funktion av n variabler i en punkt
, , ... , .
Sedan
.

Se även:

Låt funktionen z - f(x, y) definieras i någon domän D på xOy-planet. Låt oss ta en inre punkt (x, y) från området D och ge x ett inkrement Ax så att punkten (x + Ax, y) 6 D (fig. 9). Låt oss kalla värdet för en partiell ökning av funktionen z med avseende på x. Komponera förhållandet För en given punkt (x, y) är detta förhållande en funktion av definition. Om relationen ^ för Ax -* 0 har en ändlig gräns, kallas denna gräns för partialderivatan av funktionen z = /(x, y) med avseende på den oberoende variabeln x i punkten (x, y) och är betecknas med symbolen jfc (eller /i(x, jj ), eller z "x (x, På samma sätt, per definition, eller, som är samma, Analogt om och är en funktion av n oberoende variabler, då att Arz beräknas med värdet av variabeln y oförändrat, och Atz med värdet av variabeln x oförändrat, definitioner av partiella derivator kan formuleras på följande sätt: Partiella derivator Den geometriska betydelsen av partiella derivator av en funktion av två variabler Differentiability of en funktion av flera variabler Nödvändiga villkor för differentiabiliteten av en funktion Tillräckliga villkor för differentiabiliteten av funktioner för flera variabler Total differential. ) är den vanliga derivatan av denna funktion med avseende på x, beräknad under antagandet att y är en konstant; partiell derivata med avseende på y av funktionen z - /(x, y) är dess derivata med avseende på y, beräknad under antagandet att x är en konstant. Härav följer att reglerna för beräkning av partiella derivator sammanfaller med reglerna som bevisats för en funktion av en variabel. Exempel. Hitta partiella derivator av en funktion 4 Vi har Substitutioner*. Förekomsten av en funktion y = /(x, y) vid en given punkt av partiella derivator med avseende på alla argument innebär inte kontinuiteten för funktionen vid denna punkt. Så funktionen är inte kontinuerlig vid punkten 0(0,0). Men vid denna tidpunkt specificerad funktion har partiella derivator med avseende på x och y. Detta följer av det faktum att /(x, 0) = 0 och /(0, y) = 0, och därför den geometriska betydelsen av partialderivatorna av en funktion av två variabler Låt ytan S i tredimensionellt rum vara ges av ekvationen där f(x, y) är en funktion, kontinuerlig i någon domän D och med partiella derivator med avseende på x och y där. Låt oss ta reda på den geometriska betydelsen av dessa derivator i punkten Mo(x0, y0) 6 D, till vilken punkten f(x0)yo) motsvarar på ytan z = f(x)y). När vi hittar den partiella derivatan i punkten M0 antar vi att z endast är en funktion av argumentet x, medan argumentet y behåller ett konstant värde y \u003d yo, dvs funktionen fi (x) representeras geometriskt av kurvan L , längs vilken ytan S skärs av planet y \u003d ungefär. På grund av den geometriska betydelsen av derivatan av en funktion av en variabel, f \ (xo) = tg a, där a är vinkeln som bildas av tangenten till linjen L i punkten JV0 med Ox-axeln (fig. 10) . Men så Således är den partiella derivatan ($|) lika med tangenten för vinkeln a mellan Ox-axeln och tangenten vid punkten N0 till kurvan som erhålls i sektionen av ytan z \u003d / (x, y) av y-planet. På samma sätt får vi att §6. Differentiering av en funktion av flera variabler Låt funktionen z = /(x, y) definieras i någon domän D på xOy-planet. Låt oss ta en punkt (x, y) € D och ge de valda värdena x och y eventuella inkrement Ax och Dy, men så att punkten. Definition. En funktion r = /(x, y) kallas en differentierbar * punkt (x, y) € 2E om den totala ökningen av denna funktion, motsvarande ökningarna Dx, Dy för argumenten, kan representeras som där A och B är inte beroende av Dx och D y ( men i allmänhet beror de på x och y), medan a(Ax, Dy) och f(Ax, Dy) tenderar mot noll som Ax och Dy tenderar mot noll. . Om funktionen z = /(x, y) är differentierbar i punkten (x, y), så kallas delen A Dx 4 - VDy av funktionens inkrement, linjär med avseende på Dx och Dy, den totala differentialen av denna funktion vid punkten (x, y) och betecknas med symbolen dz: Tanim way, exempel. Låt r = x2 + y2. När som helst (r, y) och för alla Dx och Dy vi har här. det följer att a och /3 tenderar mot noll eftersom Axe och Dy tenderar mot noll. Per definition är denna funktion differentierbar vid vilken punkt som helst i xOy-planet. Här noterar vi att vi i vårt resonemang inte formellt utesluter fallet när inkrementen Dx, Dy separat eller till och med båda är lika med noll på en gång. Formel (1) kan skrivas mer kompakt om vi introducerar uttrycket (avståndet mellan punkterna (Med det kan vi skriva Beteckna uttrycket inom parentes med e, kommer vi att ha där c beror på J, Du och tenderar till noll om J 0 och Dy 0, eller kort sagt om p 0. Formel (1), som uttrycker villkoret för differentiabilitet för funktionen z = f(xt y) i punkten (x, y), kan nu skrivas på formen So, i exemplet ovan 6.1. Nödvändiga villkor för differentiabilitet av en funktion Sats 4. Om en funktion r = f(x, y) är differentierbar någon gång, så är den kontinuerlig vid den punkten. 4 Om i punkten (x, y) funktionen r = /(x, y) är differentierbar, så kan den totala ökningen av funktionen i vid denna punkt""e, motsvarande ökningarna J och Dy för argumenten, representeras i formen (värdena A, B för denna punkt är konstanta, varav det följer att det senare betyder att funktionen r/(x, y) är kontinuerlig i punkten (x, y). Vid denna punkt , partialderivatorna $g och u. Låt funktionen z = f(x, y) vara differentierbar i punkten (x, y) (1) Om vi ​​tar in likhet (1) Dx Φ 0, Dn = 0, får vi varav Eftersom på höger sida om den sista likheten värdet A inte beror på, Detta betyder att det i punkten (x, y) finns en partiell derivata av funktionen r = /(x, y) med avseende på x, och Genom liknande resonemang kan vi se att (x, det finns en partiell derivata av funktionen zу, och det följer av satsen att vi betonar att sats 5 hävdar att det finns partiella derivator endast vid punkten (x, y), men ingenting talar om deras kontinuitet vid denna punkt, såväl som deras beteende i närheten av punkten (x, y). 6.2. Tillräckliga villkor för differentierbarheten av funktioner hos flera variabler Som bekant är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för differentierbarheten av en funktion y = f(x) för en variabel i punkten xo förekomsten av en finit derivata /"(x) ) vid punkten x0. I det fall då funktionen beror på flera variabler är situationen mycket mer komplicerad: det finns inga nödvändiga och tillräckliga villkor för differentiabilitet för funktionen z = /(x, y) för två oberoende variabler x, y, det finns bara separata nödvändiga villkor (se ovan) och separat tillräckliga villkor. flera variabler uttrycks av följande sats. , y) är differentierbar vid en punkt (x- Exempel. Betrakta en funktion Partiella derivator Den geometriska betydelsen av partiella derivator av en funktion av två variabler Differentiering av en funktion av flera variabler Nödvändiga villkor för differentiabiliteten av en funktion Tillräckliga villkor för differentiabiliteten av funktioner för flera variabler Full differential. Partiella differentialer Derivater av en komplex funktion Den definieras överallt. Utgående från definitionen av partiella derivator har vi. För en extremt differentierbar ™ av denna funktion vid punkten 0(0,0), finner vi och ökningen av denna skärper e(Ax, Dy) var ganska liten för Ax 0 och Dy 0. Vi sätter D0. Sedan från formel (1) kommer vi att ha. Därför är funktionerna / (x, y) \u003d inte differentierbara vid punkten 0 (0, 0), även om det vid denna tidpunkt har producerat fa och f "r Resultatet som erhålls förklaras av att derivatorna f "z och f "t är diskontinuerliga vid punkten § 7. Fullständig differential. Partiella differentialer Om funktionen r - f (z> y) är differentierbar, så är dess differential dz lika. A \u003d B \u003d w, vi skriver formel (1) i följande form konceptet med differentialen för en funktion på oberoende variabler, och sätter differentialerna för oberoende variabler lika med deras inkrement: kallas den magra differentialen för funktionen z = f(x, y) med avseende på variabeln x, och uttrycket kallas partiell differential för funktionen z = f(x, y) för variabeln y. Det följer av formlerna (3), (4) och (5) att den totala differentialfunktionen är summan av dess partiella skillnader: Observera att det totala ökningen Az för funktionen z = /(x, y), generellt sett, inte är lika med summan av partiella inkrement. Om i en punkt (x, y) funktionen y = /(x, y) är differentierbar och differentialen dz Φ 0 vid denna punkt, så skiljer sig dess totala ökning från sin linjära del endast med summan av de sista termerna aAx 4 - /? 0 och Ay --> O är infinitesimaler av högre ordning än termerna för den linjära delen. Därför, när dz Ф 0, kallas den linjära delen av ökningen av den differentierbara funktionen huvuddelen av ökningen av funktionen och en ungefärlig formel används som kommer att vara mer exakt, ju mindre det absoluta värdet av inkrementen av argumenten. §8. Derivator av en komplex funktion 1. Låt funktionen definieras i någon domän D på xOy-planet, och var och en av variablerna x, y är i sin tur en funktion av argumentet t: Vi kommer att anta att när t ändras i intervall (motsvarande punkter (x, y) går inte ut utanför regionen D. Om vi ​​ersätter värdena i funktionen z = / (x, y), får vi en komplex funktion av en variabel t. och för motsvarande värden är funktionen / (x, y) differentierbar, då har den komplexa funktionen i punkten t en derivata och M Låt oss ge t ett inkrement Дt. Då kommer x och y att få några steg Ah och Du. Som ett resultat av detta, för (J)2 + (Dy)2 Φ 0, kommer funktionen z också att få ett visst inkrement Δz, vilket, på grund av differentiabiliteten av funktionen z = /(x, y) i punkten ( x, y), kan representeras som där a ) tenderar mot noll som Ax och Du tenderar mot noll. Låt oss definiera a och /3 för Ax = Ay = 0 genom att sätta a. Då kommer a( att vara kontinuerlig för J = Dy = 0. Betrakta relationen är konstant för den givna, av villkoret finns det gränser från existensen av derivator ^ och vid punkten £ följer att funktionerna x = y(t) och y = är kontinuerliga vid denna punkt; därför, vid 0 tenderar både J och Dy till noll, vilket i sin tur medför a(Ax, Dy) och P (Axe, Ay) tenderar till noll. Således har den högra sidan av likheten (2) vid 0 en gräns lika med. Därför finns gränsen för den vänstra sidan av (2) vid At 0, dvs. lika Genom att passera in likhet (2) till gränsen som At -» 0 erhåller vi den erforderliga formeln. I det speciella fallet när, följaktligen, z är en komplex funktion av x, får vi y) över x, vid beräkningen av vilken i uttrycket f(x, y) argumentet y tas som en konstant konstant, och anses i sin tur vara en funktion av x: y = tp(x)t, och därför tas beroendet av z på x helt i åtanke. Exempel. Hitta och jg om 2. Betrakta nu differentieringen av en komplex funktion av flera variabler. Låt var i sin tur så att Antag att det i punkten (() finns kontinuerliga partiella derivator u, 3? och i motsvarande punkt (x, y), där funktionen /(x, y) är differentierbar. Låt oss visa att under dessa förhållanden har den komplexa funkionen z = z(() y) i punkten t7) derivator och u, och vi finner uttryck för dessa derivator. Observera att detta fall inte skiljer sig nämnvärt från det som redan studerats. Faktum är att när z differentieras med avseende på £, tas den andra oberoende variabeln rj som en konstant, som ett resultat av vilket x och y blir funktioner av samma variabel x" = c), y = c) i denna operation, och frågan om derivatan Φ löses på exakt samma sätt som frågan om derivatan när man härleder formel (3) Genom att använda formel (3) och formellt ersätta derivatorna g och ^ i den med derivatorna u respektive, får vi If en komplex funktion är "Specificerad av formler så att, om de lämpliga villkoren är uppfyllda, vi har I det speciella fallet när AND \u003d där partiella derivator Geometrisk betydelse av partiella derivator av en funktion av två variabler Differentiering av en funktion av flera variabler Nödvändig villkor för differentiabiliteten av en funktion Tillräckliga förutsättningar för differentiabiliteten av funktioner för flera variabler Full differential. Partiella differentialer Derivater av en komplex funktion har d, y, d) i x, vid beräkning av k

Differentiering av komplexa funktioner

Låt för funktionen n- Variabelargument är också funktioner av variabler:

Följande sats om differentiering av en sammansatt funktion är giltig.

Sats 8. Om funktionerna är differentierbara vid punkten, och funktionen är differentierbar vid motsvarande punkt, där , . Då är den komplexa funktionen differentierbar vid punkten, och partiella derivator bestäms av formlerna

där de partiella derivaten beräknas vid punkten och beräknas vid punkten .

Låt oss bevisa detta teorem för en funktion av två variabler. Låt , en .

Låt och vara godtyckliga ökningar av argumenten och vid punkten. De motsvarar inkrement av funktioner och vid punkten. Inkrementen och motsvarar ökningen av funktionen vid punkten. Eftersom det är differentierbart vid punkten kan dess inkrement skrivas som

var och beräknas vid punkten , vid och . På grund av funktionernas differentierbarhet och vid punkten får vi

där beräknas vid punkten ; .

Vi ersätter (14) med (13) och ordnar om termerna

Observera att som , sedan och tenderar till noll som . Detta följer av det faktum att infinitesimal vid och . Men funktionerna och är differentierbara och därför kontinuerliga vid punkten . Därför, om och , då . Sedan och kl.

Eftersom de partiella derivatorna beräknas vid punkten , får vi

Beteckna

och detta betyder att det är differentierbart med avseende på variablerna och , och

Följd. Om , och , , dvs. , sedan derivatan med avseende på variabeln t beräknas med formeln

Om då

Det sista uttrycket kallas total derivatformel för en funktion av många variabler.

Exempel. 1) Hitta den totala derivatan av funktionen , där , .

Lösning.

2) Hitta den totala derivatan av funktionen om , .

Lösning.

Genom att använda reglerna för differentiering av en komplex funktion får vi en viktig egenskap hos differentialen för en funktion av många variabler.

Om de oberoende variablerna är funktioner, är differentialen per definition lika med:

Låt nu argumenten vara differentierbara funktioner vid någon punkt i funktionen med avseende på variablerna, och låt funktionen vara differentierbar med avseende på variablerna, . Då kan det betraktas som en komplex funktion av variabler, . Enligt föregående sats är den differentierbar och relationen gäller

där bestäms av formlerna (12). Vi ersätter (12) med (17) och samlar in koefficienterna vid , vi får

Eftersom koefficienten för derivatan är lika med differentialen för funktionen, erhölls formeln (16) igen för differentialen för den komplexa funktionen.

Den första differentialformeln beror alltså inte på om dess argument är funktioner eller om de är oberoende. Denna egenskap kallas invarians av den första differentialens form.

Taylor formel (29) kan också skrivas som

Beviset kommer att utföras för en funktion av två variabler eller .

Låt oss först betrakta en funktion av en variabel. Låt tiderna vara differentierbara i ett område av punkten. Taylorformeln för en funktion av en variabel med en restterm i Lagrangeformeln har

Eftersom är en oberoende variabel, alltså . Per definition av differentialen för en funktion av en variabel

Om vi ​​betecknar , då kan (31) skrivas som

Betrakta något område av en punkt och en godtycklig punkt i den och koppla ihop punkterna och ett rakt linjesegment. Det är tydligt att koordinaterna och punkterna för denna linje är linjära funktioner av parametern.

På det raka linjesegmentet är funktionen en komplex funktion av parametern , eftersom . Dessutom är det tider differentierbart med avseende på och Taylor-formel (32) är giltig för, där , dvs.

Differentialerna i formel (32) är differentialerna för den komplexa funktionen , där , , , d.v.s.

Genom att ersätta (33) med (32) och ta hänsyn till det får vi

Den sista termen i (34) kallas resten av Taylor-formeln i Lagrange form

Vi noterar utan bevis att om, under satsens antaganden, funktionen är differentierbar vid en punkt m gånger, då kan resten av termen skrivas som Peano form:

Kapitel 7

7.1. Plats Rn. Ställer in i linjärt utrymme.

En uppsättning vars element alla är beställda uppsättningar från n reella tal, betecknade och anropade n-dimensionellt aritmetiskt utrymme och numret n kallad rummets dimension. Elementet i uppsättningen kallas en punkt i rymden eller en vektor, och siffrorna koordinater denna punkt. Punkten =(0, 0, …0) anropas noll eller ursprung.

Space är mängden av reella tal, dvs. - nummer linje; och är det tvådimensionella koordinatgeometriska planet respektive det tredimensionella koordinatgeometriska rummet. Vektorerna , …, kallas enda grund.

För två element i en mängd definieras begreppen summan av element och produkten av ett element med ett reellt tal:

Uppenbarligen, i kraft av denna definition och egenskaperna hos reella tal, är likheterna sanna:

Enligt dessa egenskaper kallas utrymmet också linjär (vektor) Plats.

I linjärt utrymme definieras skalär produkt element och som ett reellt tal beräknat enligt följande regel:

Numret är uppringt vektor längd eller normen. Vektorer och kallas ortogonal, Om . Värde

, )= │ - │ =

kallad avståndet mellan elementen Och .

Om och är vektorer som inte är noll, alltså hörn mellan dem kallas en vinkel sådan att

Det är lätt att se att för alla element och ett reellt tal utförs den skalära produkten:

Ett linjärt utrymme med en skalär produkt definierad i formeln (1) kallas euklidiska rymden.

Låt peka och . Uppsättningen av alla punkter som ojämlikheterna gäller

kallad n -mätkub med en kant och centrerad vid punkten . Till exempel är en tvådimensionell kub en kvadrat med en sida centrerad på .

Den uppsättning punkter som uppfyller ojämlikheten kallas n-boll radie centrerad vid , som också kallas

- punktens grannskap in och beteckna,

Således är en endimensionell boll ett längdintervall. 2D boll

det finns en cirkel för vilken ojämlikheten

Definition 1. Uppsättningen heter begränsad, om det finns
när en boll som innehåller denna uppsättning.

Definition 2. Funktion definierad på en uppsättning naturliga tal och att ta värderingar som tillhör kallas sekvens i rymden och betecknas med , där .

Definition 3. Punkten kallas sekvensgräns, om det för ett godtyckligt positivt tal finns ett naturligt tal så att olikheten gäller för vilket tal som helst.

Symboliskt är denna definition skriven på följande sätt:

Beteckning:

Av definition 3 följer att , för . En sådan sekvens kallas konvergerande Till .

Om sekvensen inte konvergerar till någon punkt, anropas den avvikande.

Sats 1. För att sekvensen ska konvergera till en punkt är det nödvändigt och tillräckligt att för vilket nummer som helst , dvs. att sekvensera i- x-koordinater för punkterna konvergerade till i punktens koordinat.

□ Beviset följer av ojämlikheterna

Sekvensen kallas begränsad, om uppsättningen av dess värden är begränsad, dvs.

Liksom en talsekvens är en konvergent sekvens av punkter avgränsad och har en enda gräns.

Definition 4. Sekvensen kallas grundläggande(Cauchy sekvens), om man för något positivt tal kan ange ett naturligt tal så att för godtyckliga naturliga tal och större än , , d.v.s.

Sats 2(Cauchy kriterium). För att en sekvens ska konvergera är det nödvändigt och tillräckligt att den är grundläggande.

□ Nödvändighet. Låt konvergera till en punkt. Då får vi en sekvens som konvergerar till . . . , …, X kallas område V . Om X - område, då kallas dess stängning stängt område.

Uppsättningar X Och Y kallad separerbar, om ingen av dem innehåller kontaktpunkter för den andra.

Ett gäng X kallad relaterad om det inte kan representeras som en förening av två separerbara uppsättningar.

Ett gäng X kallad konvex , om två av dess punkter kan kopplas samman med ett segment som helt och hållet tillhör denna uppsättning.

Exempel. Utifrån definitionerna ovan kan man hävda att

– ansluten, linjärt ansluten, öppen, icke-konvex mängd, är en region.

– ansluten, linjärt ansluten, icke-öppen, icke-konvex uppsättning, är inte en domän.

– oansluten, inte linjärt ansluten, öppen, icke-konvex uppsättning, är inte en region.

– oansluten, inte linjärt ansluten, öppen uppsättning, inte en domän.

– ansluten, linjärt ansluten, öppen uppsättning, är en domän.

1°

1°. Fall av en oberoende variabel. Om z=f(x,y) är en differentierbar funktion av argumenten x och y, som i sin tur är differentierbara funktioner av den oberoende variabeln t: , sedan derivatan av den komplexa funktionen kan beräknas med formeln

Exempel. Hitta om, var.

Lösning. Enligt formel (1) har vi:

Exempel. Hitta den partiella derivatan och den totala derivatan if .

Lösning. .

Baserat på formel (2) får vi .

2°. Fallet med flera oberoende variabler.

Låta z=f(x;y) - funktion av två variabler X Och y, var och en är en funktion av den oberoende variabeln t: x =x (t), y =y (t). I det här fallet funktionen z=f(x (t);y (t))är en komplex funktion av en oberoende variabel t; variabler x och y är mellanvariabler.

Sats. Om z == f(x; y) - differentierbar vid en punkt M(x; y)D funktion och x =x (t) Och på =y (t) - differentierbara funktioner för den oberoende variabeln t, sedan derivatan av den komplexa funktionen z(t) == f(x (t);y (t)) beräknas med formeln

Specialfall:z = f(x; y), där y = y(x), de där. z= f(x;y (x)) - komplex funktion av en oberoende variabel X. Detta fall reduceras till det föregående, och variabelns roll t pjäser X. Enligt formel (3) har vi:

.

Den sista formeln kallas formler för totalderivatan.

Allmänt fall:z = f(x;y ), Var x =x (u ;v ),y=y (u ;v). Sedan z = f(x (u ;v);y (u ;v))- komplex funktion av oberoende variabler Och Och v. Dess partiella derivat och kan hittas med formel (3) enligt följande. Fixering v, vi ersätter i den med motsvarande partiella derivator

Så derivatan av den sammansatta funktionen (z) med avseende på varje oberoende variabel (Och Och v)är lika med summan av produkter av partiella derivator av denna funktion (z) med avseende på dess mellanvariabler (x och y) till deras derivat med avseende på motsvarande oberoende variabel (u och v).

I alla övervägda fall, formeln

(egenskapen för invarians för den totala differentialen).

Exempel. Hitta och om z = f(x ,y ), där x =uv , .

Lösning. Genom att tillämpa formlerna (4) och (5) får vi:

Exempel. Visa att funktionen uppfyller ekvationen .

Lösning. Funktionen beror på x och y via ett mellanargument, alltså

Genom att ersätta de partiella derivatorna i den vänstra sidan av ekvationen har vi:

Det vill säga att funktionen z uppfyller den givna ekvationen.

Derivata i en given riktning och gradient av en funktion

1°. Derivata av en funktion i en given riktning. derivat funktioner z= f(x,y) i denna riktning kallad , var och är värdena för funktionen vid punkterna och . Om funktionen z är differentierbar, då formeln

var är vinklarna mellan riktningen l och motsvarande koordinataxlar. Derivatan i en given riktning kännetecknar förändringshastigheten för funktionen i denna riktning.

Exempel. Hitta derivatan av funktionen z \u003d 2x 2 - Zu 2 i punkten P (1; 0) i den riktning som gör en vinkel på 120 ° med OX-axeln.

Lösning. Låt oss hitta de partiella derivatorna av denna funktion och deras värden vid punkten P .

Betrakta en funktion av två variabler:

Eftersom variablerna $x$ och $y$ är oberoende, kan vi introducera konceptet med en partiell derivata för en sådan funktion:

Den partiella derivatan av funktionen $f$ i punkten $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ med avseende på variabeln $x$ är gränsen

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\till 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

På liknande sätt kan vi definiera den partiella derivatan med avseende på variabeln $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Med andra ord, för att hitta den partiella derivatan av en funktion av flera variabler, måste du fixa alla andra variabler utom den önskade, och sedan hitta den vanliga derivatan med avseende på denna önskade variabel.

Av detta följer huvudtekniken för att beräkna sådana derivator: tänk helt enkelt på att alla variabler utom den givna är konstanta, och differentiera sedan funktionen som du skulle differentiera den "vanliga" - med en variabel. Till exempel:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Uppenbarligen ger partiella derivator med avseende på olika variabler olika svar - detta är normalt. Det är mycket viktigare att förstå varför, säg, i det första fallet tog vi lugnt bort $10y$ från derivatans tecken, och i det andra fallet annullerade vi den första termen helt. Allt detta beror på det faktum att alla bokstäver, förutom variabeln genom vilken differentiering utförs, betraktas som konstanter: de kan tas ut, "brännas" etc.

Vad är en "partiell derivata"?

Idag kommer vi att prata om funktioner för flera variabler och deras partiella derivator. För det första, vad är en funktion av flera variabler? Hittills har vi varit vana vid att tänka på en funktion som $y\left(x \right)$ eller $t\left(x \right)$, eller vilken variabel som helst och en enda funktion från den. Nu kommer vi att ha en funktion och flera variabler. När $y$ och $x$ ändras kommer värdet på funktionen att ändras. Till exempel, om $x$ fördubblas kommer värdet på funktionen att ändras, medan om $x$ ändras och $y$ inte ändras kommer värdet på funktionen att ändras på samma sätt.

Naturligtvis kan en funktion av flera variabler, precis som en funktion av en variabel, differentieras. Men eftersom det finns flera variabler är det möjligt att differentiera efter olika variabler. I det här fallet uppstår specifika regler som inte fanns vid differentiering av en variabel.

Först och främst, när vi betraktar derivatan av en funktion av vilken variabel som helst, måste vi ange vilken variabel vi betraktar som derivatan av - detta kallas den partiella derivatan. Till exempel har vi en funktion av två variabler, och vi kan beräkna den både i $x$ och i $y$ - två partiella derivator av var och en av variablerna.

För det andra, så snart vi har fixat en av variablerna och börjar beräkna den partiella derivatan med avseende på den, betraktas alla andra som ingår i denna funktion som konstanter. Till exempel, i $z\left(xy \right)$, om vi betraktar den partiella derivatan med avseende på $x$, då varhelst vi stöter på $y$, betraktar vi den som en konstant och behandlar den exakt som en konstant. I synnerhet när vi beräknar derivatan av en produkt kan vi ta $y$ ur parentesen (vi har en konstant), och när vi beräknar derivatan av summan, om vi någonstans får derivatan av ett uttryck som innehåller $y$ och inte innehåller $x$, så kommer derivatan av detta uttryck att vara lika med "noll" som derivatan av konstanten.

Vid en första anblick kan det verka som att jag pratar om något komplext, och många elever blir förvirrade till en början. Det finns dock inget övernaturligt i partiella derivator, och nu kommer vi att se detta på exemplet med specifika problem.

Problem med radikaler och polynom

Uppgift 1

För att inte slösa tid förgäves kommer vi från början att börja med allvarliga exempel.

Låt mig börja med följande formel:

Detta är standardtabellvärdet som vi känner till från standardkursen.

I det här fallet beräknas derivatan $z$ enligt följande:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Låt oss göra det igen, eftersom roten inte är $x$, utan något annat uttryck, i det här fallet $\frac(y)(x)$, så använder vi först standarden tabellvärde, och sedan, eftersom roten inte är $x$, utan ett annat uttryck, måste vi multiplicera vår derivata med ytterligare en av detta uttryck med avseende på samma variabel. Låt oss börja med följande:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vi återgår till vårt uttryck och skriver:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \höger)\]

I grund och botten är det allt. Det är dock fel att lämna det i denna form: en sådan konstruktion är obekväm att använda för ytterligare beräkningar, så låt oss omvandla det lite:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2))))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Svar hittat. Låt oss nu ta itu med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Låt oss skriva separat:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Nu skriver vi:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Gjort.

Uppgift #2

Detta exempel är både enklare och mer komplext än det föregående. Svårare, eftersom det finns fler åtgärder, men lättare, eftersom det inte finns någon rot och dessutom är funktionen symmetrisk med avseende på $x$ och $y$, d.v.s. om vi byter $x$ och $y$ ändras formeln inte. Denna anmärkning kommer ytterligare att förenkla beräkningen av den partiella derivatan, dvs. det räcker med att beräkna en av dem, och i den andra byter du bara $x$ och $y$.

Låt oss komma till saken:

\[(((z)")_(x))=((\vänster(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \höger ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \höger)-xy((\vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(\prime ) )_(x))(((\vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(2)))\]

Låt oss räkna:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Men många elever förstår inte en sådan post, så vi skriver det så här:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Således är vi återigen övertygade om universaliteten hos den partiella derivativa algoritmen: oavsett hur vi anser dem, om alla regler tillämpas korrekt, kommer svaret att vara detsamma.

Låt oss nu ta itu med ytterligare en partiell derivata från vår stora formel:

\[((\vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(\prime ))_(x)=((\vänster((( x)^(2)) \höger))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Vi ersätter de resulterande uttrycken i vår formel och får:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+(y)^(2))+1 \ höger)-xy((\vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(\prime ))_(x))(((\vänster) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(2)))=\]

\[=\frac(y\vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \höger))(((\ vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \höger))(((\vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(2) )))\]

$x$ räknat. Och för att beräkna $y$ från samma uttryck, låt oss inte utföra samma sekvens av åtgärder, utan använder symmetrin i vårt ursprungliga uttryck - vi ersätter helt enkelt alla $y$ i vårt ursprungliga uttryck med $x$ och vice versa:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \höger))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(2)))\]

På grund av symmetrin beräknade vi detta uttryck mycket snabbare.

Nyanser av lösningen

För partiella derivator fungerar alla standardformler som vi använder för vanliga, nämligen derivatan av det privata. I det här fallet uppstår dock dess egna specifika egenskaper: om vi betraktar den partiella derivatan av $x$, då när vi får den från $x$, då betraktar vi den som en konstant, och därför kommer dess derivata att vara lika med " noll".

Liksom i fallet med vanliga derivat kan kvoten (en och samma) beräknas av flera olika sätt. Till exempel kan samma konstruktion som vi just beräknade skrivas om enligt följande:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2))))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Däremot kan du å andra sidan använda formeln från derivatsumman. Som vi vet är det lika med summan av derivator. Låt oss till exempel skriva följande:

\[((\vänster(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \höger))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Nu när vi vet allt detta, låt oss försöka arbeta med mer seriösa uttryck, eftersom verkliga partiella derivator inte är begränsade till polynom och rötter enbart: det finns trigonometri och logaritmer och en exponentiell funktion. Låt oss nu göra det här.

Problem med trigonometriska funktioner och logaritmer

Uppgift 1

Vi skriver följande standardformler:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Beväpnade med denna kunskap, låt oss försöka lösa:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Låt oss skriva en variabel separat:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Tillbaka till vår design:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vi har hittat allt för $x$, låt oss nu göra beräkningarna för $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Återigen, överväg ett uttryck:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \höger)\]

Vi återgår till det ursprungliga uttrycket och fortsätter lösningen:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Gjort.

Uppgift #2

Låt oss skriva formeln vi behöver:

\[((\vänster(\ln x \höger))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Låt oss nu räkna med $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\vänster(x+\ln y \höger))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Hittat av $x$. Räknar med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problemet löst.

Nyanser av lösningen

Så oavsett vilken funktion vi tar partialderivatan av, så förblir reglerna desamma, oavsett om vi arbetar med trigonometri, med rötter eller med logaritmer.

De klassiska reglerna för att arbeta med standardderivata förblir oförändrade, nämligen derivatan av summan och skillnaden, kvoten och den komplexa funktionen.

Den sista formeln finns oftast för att lösa problem med partiella derivator. Vi träffar dem nästan överallt. Det har ännu inte funnits en enda uppgift som vi inte har stött på där. Men oavsett vilken formel vi använder lägger vi fortfarande till ytterligare ett krav, nämligen funktionen att arbeta med partiella derivator. Så fort vi fixar en variabel är alla andra konstanter. I synnerhet, om vi betraktar den partiella derivatan av uttrycket $\cos \frac(x)(y)$ med avseende på $y$, så är det $y$ som är variabeln, och $x$ förblir konstant överallt. Samma fungerar vice versa. Det kan tas ut ur derivatans tecken, och derivatan av konstanten i sig kommer att vara lika med "noll".

Allt detta leder till att partiella derivator av samma uttryck, men med avseende på olika variabler, kan se helt olika ut. Tänk till exempel på följande uttryck:

\[((\vänster(x+\ln y \höger))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problem med exponentialfunktioner och logaritmer

Uppgift 1

Låt oss börja med att skriva följande formel:

\[((\vänster(((e)^(x)) \höger))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Att känna till detta faktum, såväl som derivatan av en komplex funktion, låt oss försöka beräkna. Jag ska nu lösa på två olika sätt. Den första och mest uppenbara är derivatan av produkten:

\[(((z)")_(x))=((\vänster(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \höger) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Låt oss lösa följande uttryck separat:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)((y)^(2))) =\frac(y)((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vi återgår till vår ursprungliga design och fortsätter lösningen:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1) +\frac(1)(y)\right)\]

Allt, $x$ räknat.

Men som jag lovade kommer vi nu att försöka beräkna samma partiella derivata på ett annat sätt. För att göra detta, notera följande:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y))))\]

Låt oss skriva det så här:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\vänster(((e)^(x+\frac(x)(y))) \höger))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\vänster(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Som ett resultat fick vi exakt samma svar, men antalet beräkningar visade sig vara mindre. För att göra detta räckte det att märka att när produkten multipliceras kan exponenterna läggas till.

Låt oss nu räkna med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\vänster(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \höger) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Låt oss lösa ett uttryck separat:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)((y)^(2))) =-\frac(1)((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2))))\]

Låt oss fortsätta med lösningen av vår ursprungliga konstruktion:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Naturligtvis skulle samma derivata kunna beräknas på det andra sättet, svaret skulle vara detsamma.

Uppgift #2

Låt oss räkna med $x$:

\[(((z)")_(x))=((\vänster(x \höger))_(x))\cdot \ln \vänster(((x)^(2))+y \höger )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Låt oss räkna ett uttryck separat:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\vänster(((x)^(2))+y \höger))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Låt oss fortsätta lösningen av den ursprungliga konstruktionen: $$

Här är svaret.

Det återstår att hitta analogt med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\vänster(x \höger))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Låt oss räkna ett uttryck separat som alltid:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Vi fortsätter lösningen av huvudstrukturen:

Allt är räknat. Som du kan se, beroende på vilken variabel som tas för differentiering, är svaren helt olika.

Nyanser av lösningen

Här är ett levande exempel på hur derivatan av samma funktion kan beräknas på två olika sätt. Titta här:

\[(((z)")_(x))=\vänster(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \höger)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ vänster(1+\frac(1)(y)\höger)\]

\[(((z)")_(x))=((\vänster(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \höger)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \höger))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\vänster(x+\frac(x)(y) \höger))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

När du väljer olika vägar kan mängden beräkningar vara olika, men svaret, om allt görs korrekt, blir detsamma. Detta gäller både klassiska och partiella derivator. Samtidigt påminner jag ännu en gång: beroende på vilken variabel derivatan är hämtad från, d.v.s. differentiering kan svaret vara helt annorlunda. Se:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\vänster(((x)^(2))+y \höger))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\vänster(((x)^(2))+y \höger))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Sammanfattningsvis, för att konsolidera allt detta material, låt oss försöka räkna ytterligare två exempel.

Problem med en trigonometrisk funktion och en funktion med tre variabler

Uppgift 1

Låt oss skriva dessa formler:

\[((\vänster(((a)^(x)) \höger))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\vänster(((e)^(x)) \höger))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Låt oss nu lösa vårt uttryck:

\[(((z)")_(x))=((\vänster(((3)^(x\sin y)) \höger))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Tänk på följande konstruktion separat:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ vänster(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Vi fortsätter att lösa det ursprungliga uttrycket:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Detta är det sista privata variabelsvaret för $x$. Låt oss nu räkna med $y$:

\[(((z)")_(y))=((\vänster(((3)^(x\sin y)) \höger))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Låt oss lösa ett uttryck separat:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ vänster(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Vi löser vår konstruktion till slutet:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Uppgift #2

Vid första anblicken kan det här exemplet verka ganska komplicerat, eftersom det finns tre variabler. Detta är faktiskt en av de enklaste uppgifterna i dagens videohandledning.

Hitta av $x$:

\[(((t)")_(x))=((\vänster(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \höger))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \höger))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Låt oss nu ta itu med $y$:

\[(((t)")_(y))=((\vänster(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \höger))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \höger))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\vänster(((e)^(y)) \höger))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\vänster) (y \höger))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Vi har hittat svaret.

Nu återstår att hitta med $z$:

\[(((t)")_(z))=((\vänster(x\cdot ((e)^(y)))+((y)^(z)) \höger))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left((((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Vi har beräknat den tredje derivatan, på vilken lösningen av det andra problemet är fullständigt klar.

Nyanser av lösningen

Som du kan se är det inget komplicerat i dessa två exempel. Det enda vi har sett är att derivatan av en komplex funktion ofta används, och beroende på vilken partiell derivata vi betraktar får vi olika svar.

I den sista uppgiften fick vi ta itu med en funktion av tre variabler samtidigt. Det är inget fel med detta, men i slutet såg vi till att de alla skiljer sig markant från varandra.

Nyckelord

De slutliga slutsatserna från dagens videohandledning är följande:

1. Partiella derivator betraktas på samma sätt som vanliga, medan för att beräkna den partiella derivatan med avseende på en variabel, alla andra variabler som ingår i denna funktion, tar vi som konstanter.
2. När vi arbetar med partiella derivator använder vi samma standardformler som med vanliga derivator: summan, differensen, derivatan av produkten och kvoten, och, naturligtvis, derivatan av en komplex funktion.

Naturligtvis räcker det inte enbart att titta på denna videohandledning för att helt förstå detta ämne, så just nu på min webbplats för just den här videon finns en uppsättning uppgifter dedikerade till dagens ämne - gå, ladda ner, lös dessa uppgifter och kontrollera svaret. Och efter det, inga problem med partiella derivator vare sig i tentor eller på självständigt arbete det gör du inte. Naturligtvis är detta långt ifrån den sista lektionen i högre matematik, så besök vår hemsida, lägg till VKontakte, prenumerera på YouTube, lägg likes och stanna hos oss!