Naturlig logaritm och tal e. Funktion: definitionsdomän och funktionsområde
Läs också
sannolikhetär ett tal från 0 till 1 som återspeglar chanserna att en slumpmässig händelse inträffar, där 0 är den fullständiga frånvaron av sannolikheten för att händelsen inträffar, och 1 betyder att händelsen i fråga definitivt kommer att inträffa.
Sannolikheten för en händelse E är ett tal mellan och 1.
Summan av sannolikheterna för ömsesidigt uteslutande händelser är 1.
empirisk sannolikhet- sannolikhet, som beräknas som den relativa frekvensen av händelsen i det förflutna, extraherad från analysen av historiska data.
Sannolikheten för mycket sällsynta händelser kan inte beräknas empiriskt.
subjektiv sannolikhet- sannolikheten baserad på en personlig subjektiv bedömning av händelsen, oavsett historiska data. Investerare som fattar beslut om att köpa och sälja aktier agerar ofta utifrån subjektiv sannolikhet.
tidigare sannolikhet -
Chans 1 av... (odds) att en händelse inträffar genom sannolikhetsbegreppet. Chansen att en händelse inträffar uttrycks i termer av sannolikhet enligt följande: P/(1-P).
Till exempel, om sannolikheten för en händelse är 0,5, så är chansen för en händelse 1 av 2, eftersom 0,5/(1-0,5).
Chansen att händelsen inte inträffar beräknas med formeln (1-P)/P
Inkonsekvent sannolikhet- Till exempel, i aktiekursen i företag A, beaktas 85 % av den eventuella händelsen E, och i priset på aktier i företag B, endast 50 %. Detta kallas den felaktiga sannolikheten. Enligt den holländska Betting Theorem skapar felmatchad sannolikhet möjligheter till vinst.
Ovillkorlig sannolikhetär svaret på frågan "Vad är sannolikheten att händelsen inträffar?"
Villkorlig sannolikhetär svaret på frågan: "Vad är sannolikheten för händelse A om händelse B inträffade." Den villkorade sannolikheten betecknas som P(A|B).
Gemensam sannolikhetär sannolikheten att händelser A och B inträffar samtidigt. Betecknas som P(AB).
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Sannolikhetssummeringsregel:
Sannolikheten att antingen händelse A eller händelse B inträffar är
P(A eller B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Om händelserna A och B utesluter varandra, då
P(A eller B) = P(A) + P(B)
Oberoende evenemang- händelser A och B är oberoende om
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
Det vill säga, det är en följd av utfall där sannolikhetsvärdet är konstant från en händelse till nästa.
En myntkastning är ett exempel på en sådan händelse - resultatet av varje nästa kast beror inte på resultatet av det föregående.
Beroende händelser Detta är händelser där sannolikheten för att en inträffar beror på sannolikheten för att den andra inträffar.
Regel för att multiplicera sannolikheterna för oberoende händelser:
Om händelserna A och B är oberoende, då
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Total sannolikhetsregel:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)
S och S" är ömsesidigt uteslutande evenemang
förväntat värde slumpvariabel är medelvärdet av slumpvariabelns möjliga utfall. För händelsen X betecknas förväntan som E(X).
Anta att vi har 5 värden av ömsesidigt uteslutande händelser med en viss sannolikhet (till exempel uppgick företagets inkomst till ett sådant och ett sådant belopp med en sådan sannolikhet). Förväntningen är summan av alla utfall multiplicerat med deras sannolikhet:
Variansen för en slumpvariabel är det förväntade värdet av kvadratavvikelser för en slumpvariabel från dess förväntade värde:
s 2 = E( 2 ) (6)
Villkorligt förväntat värde - förväntan på en slumpvariabel X, förutsatt att händelsen S redan har inträffat.
(listad i ordning efter ökande noggrannhet)
Metoder för att bestämma
siffra e kan definieras på flera sätt.
- Genom gränsen: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(den andra anmärkningsvärda gränsen). e = lim n → ∞ n n ! n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n}}} !}(detta följer av Moivre-Stirling-formeln).
- Som summan av serien: e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\summa _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !} eller 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n ! (\displaystyle (\frac (1)(e))=\summa _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n)))(n}} !}.
- som ett enda nummer a (\displaystyle a), för vilka ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)
- som den enda positiva siffran a (\displaystyle a), för vilket är sant d d x a x = a x . (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)
Egenskaper
| Bevis på irrationalitet |
|---|
| Låt oss låtsas som det e (\displaystyle e) rationellt. Sedan e = p / q (\displaystyle e=p/q), Var p (\displaystyle p)- hela, och q (\displaystyle q)- naturligt. Därav p = eq (\displaystyle p=eq)Multiplicera båda sidor av ekvationen med (q − 1) ! (\displaystyle(q-1) !}, vi får p (q − 1) ! = e q! =q! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! n! = ∑ n = 0 q q ! n! + (\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\summa _(n=0)^(\infty )(1 \över n=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !}Vi överför ∑ n = 0 q q ! n! (\displaystyle \sum _(n=0)^(q)(q! \över n} !} till vänster: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n! = p (q − 1) ! − ∑ n = 0 q q ! n! (\displaystyle \sum _(n=q+1)^(\infty )(q! \över n=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !}Alla termer på höger sida är heltal, så summan på vänster sida är också ett heltal. Men denna summa är också positiv, så den är inte mindre än 1. På andra sidan, ∑ n = q + 1 ∞ q ! n! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . . . (q+m)< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}När vi summerar den geometriska utvecklingen på höger sida får vi: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n!< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}Eftersom den q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1), ∑ n = q + 1 ∞ q ! n!< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}Vi får en motsägelse. |
- siffra e (\displaystyle e) transcendent. Detta bevisades första gången 1873 av Charles Hermite. Transcendens av antal e (\displaystyle e) följer av Lindemanns sats.
- Det antas att e (\displaystyle e)- normalt nummer, det vill säga frekvensen av förekomsten av olika siffror i dess post är densamma. För närvarande (2017) har denna hypotes inte bevisats.
- siffra eär ett beräkningsbart (och därför aritmetiskt) tal.
- e i x = cos (x) + i ⋅ sin (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), se särskilt Eulers formel
- Formel relaterade siffror e (\displaystyle e) Och π (\displaystyle \pi ), så kallade Poisson-integral eller Gauss-integral ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi )))
- För alla komplexa tal z följande likheter är sanna: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n . (\displaystyle e^(z)=\summa _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
- siffra e expanderar till en oändlig fortsatt bråkdel enligt följande (ett enkelt bevis på denna expansion, relaterat till Padé approximants, ges i ): e = [2; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] (\displaystyle e=), det är e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 +. .. (\displaystyle e=2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1) )( 4+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(6+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+( \cfrac (1)(8+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(10+(\cfrac (1)(1+\ldots )))) )) )))))))))))))))))))))))))
- Eller motsvarande: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 … (\displaystyle e=2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(2+(\cfrac (2)( 3+(\cfrac (3)(4+(\cfrac (4)(\ldots ))))))))))))
- För att snabbt beräkna ett stort antal tecken är det bekvämare att använda en annan expansion: e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 … (\displaystyle (\frac (e+1)(e-1))=2+(\cfrac (1)(6+( \cfrac (1)(10+(\cfrac (1)(14+(\cfrac (1)(\ldots )))))))))
- e = lim n → ∞ n n ! n. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n}}.} !}
- Representation av katalanska: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ ⋅ 202 ⋅ 6 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6) \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 23\cdot 21\cdot cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
- Representation genom arbetet: e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ höger)^(k-(\frac (1)(2))))(\left(2k+1\right)^(2k))))
- Genom Bell nummer
E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\summa _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k}} !}
Berättelse
Detta nummer kallas ibland icke-Perov för att hedra den skotske vetenskapsmannen Napier, författare till verket "Description of the amazing table of logarithms" (1614). Detta namn är dock inte helt korrekt, eftersom det har talets logaritm x (\displaystyle x) var lika 10 7 ⋅ log 1 / e (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \höger)).
För första gången är konstanten tyst närvarande i bilagan till översättningen till engelska av det tidigare nämnda verket av Napier, publicerat 1618. Bakom kulisserna, eftersom den endast innehåller en tabell med naturliga logaritmer bestämt från kinematiska överväganden, är konstanten själv inte närvarande.
Samma konstant beräknades först av den schweiziske matematikern Jacob Bernoulli i samband med att lösa problemet med ränteintäkternas gränsvärde. Han fann att om den ursprungliga summan $1 (\displaystyle\$1) och periodiseras per år en gång i slutet av året, blir det totala beloppet $2 (\displaystyle\$2). Men om samma ränta tas ut två gånger om året, då $1 (\displaystyle\$1) multiplicerat med 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5) två gånger, får $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25). Ränteackumulering kvartalsvis resultat i $ 1 , 00 ⋅ 1 , 25 4 = $ 2,441 40625 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)25^(4)=\$2(,)44140625), och så vidare. Bernoulli visade att om ränteberäkningsfrekvensen ökas oändligt, så har ränteinkomsten vid sammansatt ränta en gräns: lim n → ∞ (1 + 1 n) n . (\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).) och denna gräns är lika med antalet e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\approx 2(,)71828)).
$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613 035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12)=\$2(,)613035...)
$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 365) 365 = $ 2,714 568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365)=\$2(,)714568...)
Konstanten alltså e (\displaystyle e) innebär högsta möjliga årsvinst på 100 % (\displaystyle 100\%) per år och den maximala frekvensen av ränteaktivering.
Den första kända användningen av denna konstant, där den betecknades med bokstaven b (\displaystyle b), förekommer i Leibniz brev till Huygens, -1691.
brev e (\displaystyle e) började använda Euler 1727, det förekommer först i ett brev från Euler till den tyske matematikern Goldbach daterat den 25 november 1731, och den första publikationen med detta brev var hans verk Mechanics, or the Science of Motion, Stated Analytically, 1736. Respektive, e (\displaystyle e) vanligen kallad Euler nummer. Även om senare vissa forskare använde brevet c (\displaystyle c), brev e (\displaystyle e) används oftare och är nu standardbeteckningen.
DEFINITION
siffraär en irrationell och transcendental matematisk konstant som kallas Euler nummer eller Napier nummer, som är basen för den naturliga logaritmen.
Bakom kulisserna en konstant finns i verket "Description of the amazing table of logarithms" av den skotske matematikern John Napier (1550-1617) (närmare bestämt i bilagan till översättningen av detta verk, som publicerades 1618). Det första omnämnandet av denna konstant finns i breven från den sachsiske filosofen, logikern, matematikern, mekanikern, fysikern, advokaten, historikern, diplomaten, uppfinnaren och lingvisten Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) till den holländska mekanikern, fysikern, matematikern, astronomen och uppfinnaren Christian Huyngens van Seulichem (1629-1695) 1690-91. Där betecknades det med bokstaven . Traditionell beteckning 1727 började den schweiziske, tyske, ryske matematikern och mekanikern Leonhard Euler (1707-1783) använda den; han använde det först i sitt brev till den tyske matematikern Christian Goldbach (1690-1764) 1731. Den första publikationen med detta brev var ett verk av L. Euler "Mechanics, or the Science of Motion, Presented Analytically" (1736). Samma konstant beräknades först av den schweiziske matematikern Jacob Bernoulli (1655-1705) i samband med att lösa problemet med marginalränteinkomsterna:
Talet spelar en stor roll inom olika grenar av matematiken, och särskilt i differential- och integralkalkyl. Eulertalets transcendens bevisades av den franske matematikern Charles Hermite (1822-1901) först 1873.
Nummertilldelningar e
1) Genom gränsen:
Exponenten betecknas som , eller .
e-nummer
Basen för exponentens grad är e-nummer. Detta är ett irrationellt tal. Det är ungefär lika
e ≈ 2,718281828459045...
Antalet e bestäms genom sekvensens gräns. Detta sk andra underbara gränsen:
.
Dessutom kan siffran e representeras som en serie:
.
Utställardiagram
Exponentdiagram, y = e x .Grafen visar exponenten, e till omfattningen X.
y (x) = e x
Grafen visar att exponenten ökar monotont.
Formler
Grundformlerna är desamma som för exponentialfunktionen med basen e.
;
;
;
Uttryck av en exponentiell funktion med en godtycklig bas av grad a genom exponenten:
.
Privata värderingar
Låt y (x) = e x. Sedan
.
Exponentegenskaper
Exponenten har egenskaperna hos en exponentialfunktion med en gradbas e > 1 .
Definitionsdomän, uppsättning värden
Exponent y (x) = e x definieras för alla x .
Dess omfattning är:
- ∞ < x + ∞
.
Dess uppsättning betydelser:
0
< y < + ∞
.
Extremer, öka, minska
Exponenten är en monotont ökande funktion, så den har inga extrema. Dess huvudsakliga egenskaper presenteras i tabellen.
Omvänd funktion
Exponentens reciproka är den naturliga logaritmen.
;
.
Derivat av exponenten
Derivat e till omfattningen Xär lika med e till omfattningen X
:
.
Derivat av n:e ordningen:
.
Härledning av formler > > >
Väsentlig
Komplexa tal
Operationer med komplexa tal utförs med hjälp av Eulers formler:
,
var är den imaginära enheten:
.
Uttryck i termer av hyperboliska funktioner
;
;
.
Uttryck i termer av trigonometriska funktioner
;
;
;
.
Power serie expansion
Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.
Att beskriva e som "en konstant ungefär lika med 2,71828..." är som att kalla pi "ett irrationellt tal ungefär lika med 3,1415...". Det är det utan tvekan, men essensen undviker oss ändå.
Talet pi är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, samma för alla cirklar.. Detta är en grundläggande proportion som är gemensam för alla cirklar, och därför är den involverad i att beräkna omkrets, area, volym och ytarea för cirklar, sfärer, cylindrar, etc. Pi visar att alla cirklar hänger ihop, för att inte tala om trigonometriska funktioner härledd från cirklar (sinus, cosinus, tangent).
Siffran e är den grundläggande tillväxtkvoten för alla kontinuerligt växande processer. Siffran e låter dig ta en enkel tillväxttakt (där skillnaden bara är synlig i slutet av året) och beräkna komponenterna i denna indikator, normal tillväxt, där allt växer med lite för varje nanosekund (eller ännu snabbare) Mer.
Siffran e är involverad i både exponentiella och konstanta tillväxtsystem: befolkning, radioaktivt sönderfall, ränteberäkning och många, många andra. Även stegsystem som inte växer enhetligt kan approximeras med siffran e.
Precis som vilket tal som helst kan ses som en "skalad" version av 1 (basenheten), kan vilken cirkel som helst ses som en "skalad" version av enhetscirkeln (radie 1). Och vilken tillväxtfaktor som helst kan betraktas som en "skalad" version av e (en "enkel" tillväxtfaktor).
Så talet e är inte ett slumptal taget slumpmässigt. Siffran e förkroppsligar idén att alla system som kontinuerligt växer är skalade versioner av samma mått.
Begreppet exponentiell tillväxt
Låt oss börja med att titta på grundläggande system, som dubbel under en viss tid. Till exempel:
- Bakterier delar sig och "dubblar" i antal var 24:e timme
- Vi får dubbelt så många nudlar om vi bryter dem på mitten
- Dina pengar fördubblas varje år om du får 100 % vinst (tur!)
Och det ser ut ungefär så här:
Att dividera med två eller dubbla är ett mycket enkelt framsteg. Naturligtvis kan vi tredubbla eller fyrdubbla, men fördubbling är mer praktiskt för förklaring.
Matematiskt, om vi har x divisioner, får vi 2^x gånger mer bra än vi hade i början. Om bara 1 partition görs får vi 2^1 gånger mer. Om det finns 4 partitioner får vi 2^4=16 delar. Allmän formel ser ut så här:
höjd= 2 x
En fördubbling är med andra ord en 100-procentig ökning. Vi kan skriva om denna formel så här:
höjd= (1+100%) x
Detta är samma likhet, vi delade bara upp "2" i dess beståndsdelar, vilket i huvudsak är det här siffran: startvärdet (1) plus 100%. Smart, eller hur?
Naturligtvis kan vi ersätta vilket annat nummer som helst (50%, 25%, 200%) istället för 100% och få tillväxtformeln för detta nya förhållande. Den allmänna formeln för x perioder av tidsserien kommer att se ut så här:
höjd = (1+tillväxt) x
Det betyder helt enkelt att vi använder avkastningen, (1 + tillväxt), "x" gånger i rad.
Låt oss ta en närmare titt
Vår formel antar att tillväxt sker i diskreta steg. Våra bakterier väntar och väntar, och sedan bam!, och i sista minuten fördubblas de i antal. Vår vinst på ränta från insättningen dyker magiskt upp exakt efter 1 år. Baserat på formeln som skrivits ovan växer vinsten i steg. Gröna prickar dyker upp plötsligt.
Men världen är inte alltid så här. Om vi zoomar in kan vi se att våra bakterievänner hela tiden delar sig:
Det gröna barnet kommer inte ur ingenting: det växer långsamt ur den blå föräldern. Efter 1 tidsperiod (24 timmar i vårt fall) är den gröna vännen redan fullt mogen. Efter att ha mognat blir han en fullfjädrad blå medlem av flocken och kan själv skapa nya gröna celler.
Kommer denna information på något sätt att förändra vår ekvation?
Nej. När det gäller bakterier kan de halvformade gröna cellerna fortfarande inte göra någonting förrän de växer upp och helt separeras från sina blå föräldrar. Så ekvationen är korrekt.