Шестнадесетична бройна система. Преобразуване на числа от една бройна система в друга онлайн

За да преобразувате шестнадесетично число в десетично, е необходимо да умножите стойността на най-малко значимата (нула) цифра по едно, стойността на следващата (първа) цифра по 16, стойността на втората цифра по 256 (16 2) и т.н., след което добавете всички продукти. Например вземете числото A17F:

A17F=F*16 0 + 7*16 1 + 1*16 2 + A*16 3 = 15*1 + 7*16+1*256+10*4096=41343

Но всеки специалист по цифрово оборудване (дизайнер, оператор, ремонтник, програмист и т.н.) трябва да се научи как да борави с шестнадесетичната и двоичната система толкова свободно, колкото и с обичайната десетична, така че да не се налагат прехвърляния от система към система.

Значително по-рядко от шестнадесетичното се използва осмично кодиране, което е изградено на същия принцип като шестнадесетичното, но двоичните цифри са разделени на групи от три цифри. След това всяка група (кодова цифра) се обозначава с един знак. Всяка цифра от 8-цифрения код може да приеме осем стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Таблица 2.5).

В допълнение към разглежданите кодове съществува и така нареченото двоично-десетично представяне на числата. Както в шестнадесетичния код, в двоично-десетичния код всяка цифра от кода съответства на четири двоични цифри, но всяка група от четири двоични цифри може да приеме не шестнадесет, а само десет стойности, кодирани със символите 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Тоест един знак след десетичната запетая съответства на четири двоични. В резултат на това се оказва, че писането на числа в двоичен десетичен код не се различава от писането в обикновен десетичен код (Таблица 2.6), но в действителност това е само специален двоичен код, всяка цифра от който може да приема само две стойности: 0 и 1. BCD понякога е много удобен за организиране на десетични знаци. цифрови индикатории табло с резултати.

В двоичния код, над числата, можете да направите всичко аритметични операции: събиране , изваждане , умножение , деление .

Помислете например за събирането на две 4-битови двоични числа. Нека съберем числото 0111 (десетична 7) и 1011 (десетична 11). Добавянето на тези числа не е по-трудно от десетичния запис:

При добавяне на 0 и 0 получаваме 0, при добавяне на 1 и 0 получаваме 1, при добавяне на 1 и 1 получаваме 0 и пренасянето към следващия бит е 1. Резултатът е 10010 (десетичен знак 18). Когато събирате произволни две n-битови двоични числа, можете да получите n-битово или (n + 1) -битово число.

Изваждането се извършва по същия начин. Нека числото 0111 (7) се извади от числото 10010 (18). Записваме числата подравнени до най-малката цифра и изваждаме по същия начин, както в случая с десетичната система:

Изваждането на 0 от 0 ви дава 0, изваждането на 0 от 1 ви дава 1, изваждането на 1 от 1 ви дава 0, изваждането на 1 от 0 ви дава 1 и заемането на 1 в следващата цифра. Резултатът е 1011 (десетичен знак 11).

При изваждане е възможно да се получат отрицателни числа, така че трябва да използвате двоично представянеотрицателни числа.

За едновременно представяне както на двоични положителни, така и на двоични отрицателни числа, т.нар допълнителен код . Отрицателните числа в този код се изразяват с число, което, когато се добави към положително число със същата величина, ще доведе до нула. За да получите отрицателно число, трябва да промените всички битове на едно и също положително число с противоположни (0 към 1, 1 към 0) и да добавите към резултата 1. Например, нека напишем числото -5. Числото 5 в двоичен код изглежда като 0101. Заменяме битовете с противоположни: 1010 и добавяме едно: 1011. Сумираме резултата с оригиналното число: 1011 + 0101 = 0000 (игнорираме прехвърлянето към петия бит).

по модул 2 две двоични числа 0111 и 1011:

Други побитови операции върху двоични числа включват функцията И и функцията ИЛИ. Функцията AND води до единица само когато съответните битове на двете оригинални числа са единици, в противен случай резултатът е -0. Функцията ИЛИ води до едно, когато поне един от съответните битове на оригиналните числа е 1, в противен случай резултатът е 0.

Обичайната бройна система за хората е десетичната. Тя се основава на десет цифри от 0 до 9. Шестнадесетичната система се отличава с наличието в нея на първите шест букви от латинската азбука за изписване на числа в допълнение към основните числа. Тоест числото 9 е последвано от знака "А", който отговаря на числото 10 за десетичната система. Съответно F в шестнадесетичен е 16 в десетичен. Използването на шестнадесет знака в системата не е случаен избор.

Единицата информация е малко. Осем бита съставляват един байт. Има концепция, като машинна дума - това е единица данни, която е два, тоест шестнадесет бита. По този начин, използвайки шестнадесет различни символа, е възможно да се опише всяка информация, която ще бъде най-малката частица в обмена на данни. С тях можете да извършвате всякакви аритметични операции, съответно резултатът ще бъде получен и в шестнадесетичната система.

За да се различи, че числото е изписано шестнадесетично, след него се изписва буквата “h” или долен индекс"16".

Приложение

Повечето широко приложениешестнадесетична бройна система - това са кодове за грешки софтуерни продукти, Например, операционна система. Числата, вградени в тези кодове, са стандартизирани. Имайки специална таблица, винаги можете да определите какво точно означава тази или онази грешка.

В езиците на ниско ниво, възможно най-близо до машинните кодове, шестнадесетичната система се използва за писане на програми. Много програмисти го използват и при работа с езици от високо ниво, тъй като числата в тази система, използвайки специална таблица за съответствие, лесно се преобразуват в двоична система, на която се основава работата на цялата цифрова технология. Всяка информация на компютъра, независимо дали е музикален файл или Текстов документ, след като преводът е представен от поредица от изходния двоичен код и е по-удобно да го видите представен от шестнадесетични знаци.

Също така, една от употребата на шестнадесетични символи е описанието на цветови схеми, т.е. трите компонента R, G, B са описани по начин, който е подходящ за тази система. Този подход към писането се нарича шестнадесетичен цвят.

Възможността да видите програмата в шестнадесетичен код ви позволява да я дебъгвате, да правите промени и нападателите използват този подход за хакване на програми.

Сега има много лесна разходка, свързана с шестнадесетичната бройна система. В този случай се надяваме, че подозирате и вероятно с право, че сега трябва да имаме 16 отделни цифри.

Но, както знаем, има само десет традиционни ("арабски") цифри. И отнема шестнадесет. Оказва се, че липсват шест знака.

Коментирайте
Така възниква една чисто дизайнерска задача по темата „Знаци“ – да се измислят липсващите знаци за числата.

Така че по едно време специалистите трябваше да измислят нови знаци. Но някога, в началото на компютърната ера, нямаше голям избор в знаците. Програмистите имаха само знаци от цифри и букви. Затова те поеха по елементарния път: взеха първите букви от латинската азбука като числа, още повече, че исторически това не е първият случай (вече споменахме, че първоначално много народи са използвали букви вместо цифри).

Коментирайте
Надяваме се, че всички разбират защо в този случай е невъзможно да се използват например числата "10", "11", "12" и т.н.? Защото, ако говорим за шестнадесетичната бройна система, тогава трябва да е шестнадесет числа, а не числа.

И десетичното число "10" започна да се обозначава с латинската буква "А" (по-точно "числото А"). Съответно следват числата "B", "C", "D", "E" и "P".

Тъй като възнамерявахме да изградим шестнадесетична система, започвайки от нула, тук получаваме точно 16 цифри. Например числото "D" е десетичното число "13", а числото "F" е десетичното число "15".

Когато добавим единица към шестнадесетичното число "F", тогава, тъй като тези цифри ни свършиха, поставяме "О" в тази цифра и прехвърляме единица към следващата цифра, така че се оказва, че десетичното число " 16" ще бъде представено в шестнадесетичната бройна система с числото "10", т.е. получава се "шестнадесетична десетка". Нека комбинираме десетичните и шестнадесетичните числа в една таблица (Таблица 4.5).

Таблица 4.5. Съпоставяне на десетични и шестнадесетични числа.

За по-компактно писане се използва шестнадесетичната система двоична информация. Всъщност "шестнадесетична хиляда", състояща се от четири цифри, в двоична форма отнема тринадесет цифри (1000 16 \u003d 1000000000000 2).

При обсъждането на бройни системи многократно се появяват „десетки“, „стотици“ и „хиляди“, така че е необходимо да се обърне внимание на така наречените „кръгли“ числа.

Шестнадесетичната бройна система има азбука, състояща се от 16 цифри:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, b, c, d, e, f.

При изписване на число в шестнадесетичната система за изписване на числата, обозначаващи числата 10, 11, 12. 13, 14. 15, се използват съответно буквите A, B, C, D, E, F.

Преобразуване на числа от шестнадесетичен в десетичен

Можете да конвертирате всяко шестнадесетично число в десетично, като използвате вече известната формула

Примери.

AE07 16 =10∙16 3 +14∙16 2 +0∙16 1 +7∙16 0 =44551 10 .

100 16 =1∙16 2 +0∙16 1 +0∙16 0 =256 10 .

58 16 =5∙16 1 +8∙16 0 =.88 10 .

2A 16 \u003d 2 16 1 + 10 16 0 \u003d 42 10.

Преобразуването на число от десетичната система в шестнадесетична се извършва по същия начин, както в двоичната система.

Преобразуване на числа от шестнадесетични в двоични и обратно

Можете да конвертирате всяко шестнадесетично число в двоично, както следва. Всяка шестнадесетична цифра от число се записва като четирицифрено двоично число - тетрада. След това нулите отляво могат да бъдат изхвърлени.

Обратно, можете да конвертирате всяко двоично число в шестнадесетично по същия начин. Всеки четири двоични цифри, броени отдясно наляво, се записват като една шестнадесетична цифра. Тези фигури също са подредени от дясно на ляво.

Примери.

2. 101010 2 = 10 1010 2 = 2A.

3. 1011000 2 = 101 1000 2 = 58 16 .

Осмична бройна система

Осмичната бройна система има азбука, състояща се от 8 цифри:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Преобразуването на число от десетично в осмично и обратно се извършва по аналогия с преобразуването в / от двоично.

Преобразуване на числа от осмични в двоични и обратно

Всяка цифра от осмичната нотация на число се записва като трицифрено двоично число - триада.

Примери.

2563 8 = 010 101 110 011 2 =10101110011 2 .

1001101 2 = 001 001 101 2 = 115 8 .

Методически материали за лабораторно занятие №1

Тема на лабораторния урок: Бройни системи. Измерване на информация.

Брой часове: 2.

Примери с решения

Превод отстр -арна система до 10-арна.Да предположим, че е необходимо число в някаква бройна система да се преобразува в десетична. За да направим това, трябва да го представим във формата

11100110 2 = 1∙2 7 + 1∙2 6 + 1∙2 5 + 0∙2 4 + 0∙2 3 + 1∙2 2 + 1∙2 1 + 0∙2 0 = 128 + 64 + 32 + 4 + 2 = 230 10 .

2401 5 = 2∙5 3 + 4∙5 2 + 0∙5 1 + 1∙5 0 = 250 + 100 + 0 + 1 = 351.

Преобразуване от десетична система встр -интегрална схема.

2.1 98 10 → X 2 .

Делим числото на 2. След това делим непълното частно на 2. Продължаваме докато непълното частно стане по-малко от 2, т.е. равно на 1.

98: 2 = 49. Остатък - 0 .

49: 2 = 24. Остатък - 1 .

24: 2 = 12. Остатък - 0 .

12: 2 = 6. Остатък - 0 .

6: 2 = 3. Остатък - 0 .

3: 2 = 1 . остатък - 1 .

Тъй като последното непълно частно е 1, процесът е приключил. Записваме всички остатъци отдолу нагоре, започвайки с последното непълно частно, и получаваме числото 1100010. Така че 98 10 \u003d 1100010 2.

2.2 2391 10 → X 16 .

Разделете числото на 16. След това разделете частичния коефициент на 16. Продължете, докато частичният коефициент стане по-малък от 16.

2391: 16 = 149. Остатък - 7 .

149: 16 = 9 . остатък - 5 .

Тъй като последното непълно частно (9) е по-малко от 16, процесът е приключил. Записваме, започвайки от последното непълно частно, всички остатъци отдолу нагоре и получаваме числото 957. Така че 2391 10 \u003d 957 16.

2.3 12165 10 → X 2 .

Ако преведете деленето в двоична система, получавате доволен тромав процес. Можете първо да преобразувате числото в осмичната система и след това да замените осмичните цифри отдясно наляво с триади.

12165 10 = 27605 8 = 010 111 110 000 101 = 10111110000101.

Определяне на основата на бройната системастр .

Едно момче написа за себе си така: „Имам 24 пръста, по 5 на всяка ръка и 12 на краката си.“ Как е възможно това?

Решение. Определете основата на бройната система стр. Тъй като знаем, че има само 10 10 пръста на краката, тогава 12 стр =1∙стр+2 = 10 10 . От тук получаваме уравнението стр + 2 = 10  стр= 8. Значи момчето имаше предвид числата в осмичната система. Наистина има общо 24 8 = 2∙8+4 = 20 10 пръста и 12 8 = 1∙8+2 = 10 10 на краката.

Произхожда от древен Вавилон. В Индия системата работи под формата на позиционно десетично номериране с нула за индийците тази системачислата са заети от арабската нация, те от своя страна са взети от европейците. В Европа тази система започва да се нарича арабска.

Позиционна системаразчитане- стойността на всички цифри зависи от позицията (цифрата) на тази цифра в числото.

Примери, стандартната десетична бройна система е позиционна система. Да приемем, че ви е дадено число453 . Номер 4 означава стотици и съответства на число400, 5 - брой десетици и съответства на стойността50 , А 3 - единици и стойност3 . Лесно е да се види, че с нарастването на цифрата стойността се увеличава. Така записваме даденото число като сума400+50+3=453.

Шестнадесетична бройна система.

Шестнадесетична бройна система(шестнадесетични числа) - позиционна бройна система. Основата на шестнадесетичната бройна системае числото 16.

Когато записваме числата в осмична, получаваме доста компактни изрази, но в шестнадесетична получаваме по-компактни изрази.

Първите десет цифри от шестнадесетте шестнадесетични цифри са стандартни интервали 0 - 9 , следващите шест цифри се изразяват с помощта на първите букви от латинската азбука: А, б, ° С, д, д, Е. Преобразуването от шестнадесетичен в двоичен и обратно се извършва по същия начин, както при осмичния.

Приложение на шестнадесетичната бройна система.

Шестнадесетичната бройна система се използва доста добре в съвременните компютри, Напримерс негова помощ посочете цвета: #FFFFFF- Бял цвят.

Преобразуване на числа от една бройна система в друга.

Преобразуване на числа от шестнадесетичен в десетичен.

За да преобразувате шестнадесетично число в десетично, трябва да приведете даденото число под формата на сумата от произведенията на степените на основата на шестнадесетичната бройна система със съответните цифри в цифрите на шестнадесетичното число.

Например, преведете шестнадесетичното число 5A3до десетична. Тук 3 числа. Въз основа на горното правило го довеждаме до формата на сумата от градуси с основа 16:

5A3 16 = 3 16 0 +10 16 1 +5 16 2 = 3 1+10 16+5 256 = 3+160+1280 = 1443 10

Преобразувайте числа от двоични в шестнадесетични и обратно.

За превод многозначителен двоично числов шестнадесетичната система, трябва да го разделите на тетради отдясно наляво и да промените всички тетради със съответната шестнадесетична цифра. За да преобразувате число от шестнадесетично в двоично, трябва да промените всички цифри в съответните тетради от таблицата за преобразуване, която ще намерите по-долу.

Например:

010110100011 2 = 0101 1010 0011 = 5A3 16

Таблица за преобразуване на числа.

Алгоритъм за преобразуване на числа от една бройна система в друга.

1. От десетичната бройна система:

• разделяме числото на основата на превежданата бройна система;
• намиране на остатъка от деленето на цялата част на числото;
• запишете всички остатъци от делението в обратен ред;

2. От двоичната бройна система:

• за да преобразуваме в десетичната бройна система, намираме сумата от продуктите на база 2 по съответната степен на разреждане;
• за да преобразуваме число в осмично, ние разделяме числото на триади.

Например 1000110 = 1000 110 = 1068

• за да преобразуваме число от двоично в шестнадесетично, разделяме числото на групи от 4 цифри.

Например 1000110 = 100 0110 = 4616.

Таблици за превод: