Курсова работа по математика

Тема: Изчисляване на частични суми и спектрални характеристики на реда на Фурие за явна функция

функция на спектъра на Фурие на сигнала

1. Модел на физическия процес

Решение на задачата с теоретични изчисления

Пример за решение на проблем

Пример за решаване на задача в Matlab среда R2009a

Библиография

1. Модел на физическия процес

математически модел някаква функция на времето може да служи като радиосигнал f(T) . Тази функция може да бъде реална или сложна, едномерна или многомерна, детерминистична или произволна (шумни сигнали). В радиотехниката същият математически модел описва тока, напрежението и интензитета с еднакъв успех. електрическо полеи така нататък.

Разгледайте реални едномерни детерминистични сигнали

Наборите от функции (сигнали) обикновено се разглеждат като линейни функционални нормирани пространства, в които се въвеждат следните понятия и аксиоми:

) всички аксиоми за линейно пространство са изпълнени;

) скаларното произведение на два реални сигнала се дефинира, както следва:

) два сигнала се наричат ​​ортогонални, ако тяхното скаларно произведение е нула;

) системата от ортогонални сигнали образува безкрайномерна координатна основа, в която всеки периодичен сигнал, принадлежащ на линейното пространство, може да бъде разширен;

Сред различните системи от ортогонални функции, в които сигналът може да бъде разложен, най-често срещаната е системата от хармонични (синус и косинус) функции:

Представянето на някакъв периодичен сигнал като сума от хармонични трептения с различни честоти се нарича спектрално представяне на сигнала. Отделните хармонични компоненти на сигнала формират неговия спектър. От математическа гледна точка, спектралното представяне е еквивалентно на разлагането на периодична функция (сигнал) в ред на Фурие.

Значението на спектралното разлагане на функциите в радиотехниката се дължи на редица причини:

) лекота на изучаване на свойствата на сигнала, т.к хармоничните функции са добре проучени;

) възможността за генериране на произволен сигнал, т.к техниката за генериране на хармонични сигнали е доста проста;

) лекота на предаване и приемане на сигнал по радиоканал, т.к. хармоничното трептене е единствената функция на времето, която запазва формата си при преминаване през която и да е линейна верига. Сигналът на изхода на веригата остава хармоничен със същата честота, само амплитудата и началната фаза на трептенията се променят;

) разлагането на сигнала на синуси и косинуси позволява използването на символен метод, разработен за анализ на предаването на хармонични трептения през линейни вериги.

Като модел на физическия процес разгледайте електрокардиограмата на сърцето.

2. Решаване на задачата с теоретични изчисления

Задача 1:

Нека опишем, използвайки серия на Фурие, периодично повтарящ се импулс в секцията на електрокардиограмата, така наречения QRS комплекс.

QRS комплексът може да се дефинира чрез следната частично линейна функция

Където

Тази функцияможе да се продължи периодично с точка Т=2л.

Редица на Фурие от функции:

Определение 1: Функцията се извиква частично непрекъснатвърху сегмента [a, b], ако е непрекъснат във всички точки на този сегмент, с изключение на краен брой точки, в които съществуват неговите крайни едностранни граници.

Определение 2:Функцията се извиква гладка на частина някакъв интервал, ако то и неговата производна са непрекъснати на части.

Теорема 1 (тест на Дирихле): Редица на Фурие от късично-гладка функция върху сегмент е(х) се сближава във всяка точка на непрекъснатост към стойността на функцията в тази точка и към стойността във всяка точка на прекъсване.

Нашата функция удовлетворява условията на теоремата.

За дадена функция получаваме следните коефициенти на реда на Фурие:

Сложна форма на реда на Фурие

За да представим серията в сложна форма, използваме формулите на Ойлер:

Нека въведем обозначението:

Тогава серията може да бъде пренаписана като

В допълнение, коефициентите на комплексния ред на Фурие могат да бъдат получени и директно чрез изчисляването им по формулата

Нека запишем в комплексна форма реда на Фурие на дадената функция

Спектрални характеристики на серията

Изразяване в реда на Фурие се нарича нта хармонична.Известно е, че

където или

,

Агрегати, наречени респ амплитуден и фазов спектърпериодична функция.

Графично спектрите се показват като сегменти с дължина, начертани перпендикулярно на оста, върху която е нанесена стойността н= 1,2 ... или .

Графично представяне на съответния спектър се нарича амплитудна или фазова диаграма. В практиката най-често се използва амплитудният спектър.

.Пример за решаване на проблем

Задача 2: Обмисли конкретен примерзадачи за избрания модел на физичен процес.

Продължаваме тази функция към цялата реална ос, получаваме периодична функция f(х) с период T=2 л=18 (фиг. 1.).

Ориз. 1. Графика на периодично продължаваща функция

Нека изчислим коефициентите на Фурие на дадената функция.

Записваме частичните суми на серията:

Ориз. 2. Графики на частични суми от реда на Фурие

С растеж нграфиките на частичните суми в точките на непрекъснатост се доближават до графиката на функцията f(х) . В точките на прекъсване стойностите на частичните суми се приближават .

Нека построим амплитудната и фазовата диаграма.

като се има предвид една четвърт.

Таблица

4. Пример за решаване на задача в среда Matlab R2009a

Задача 3:Като пример разгледайте пълните PR и QT интервали.

Ориз

За тази функция начертайте графики на частични суми, както и амплитудни и фазови диаграми.

Нека вземем конкретни стойности на параметрите за нашата задача:

Скрипт за изграждане на необходимите графики и диаграми.

Скриптът ви позволява да решавате редица подобни проблеми, като избирате параметрите и координатите на точки Q, R, S.

%ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ЧАСТИЧНИ СУМИ И СПЕКТРАЛНИ ХАРАКТЕРИСТИКИ НА РЕДИТЕ НА ФУРИЕ ЗА ЯВНОТО

%Спектрален анализ.L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase=18;=6; I2=10; Q=11; Qy= -2; R=12; Ry=17; S=13; Sy=-4; I3=15; I4=20; I5=26;=2; Т=3; ExprNum=9;=250;=30;=0;флаг == 0=1;(k<15)

k = меню ("Промяна на параметри", ...

sprintf (" Параметър1 P = %g", P),...(" Параметър2 I1 = %g", I1),...(" Параметър3 I2 = %g", I2),...(" Параметър4 Qx = %g", Q),...(" Параметър5 Qy = %g", Qy),...(" Параметър6 Rx = %g", R),...(" Параметър7 Ry = %g", Ry),...(" Параметър8 Sx = %g", S),...(" Параметър9 Sy = %g", Sy),...(" Параметър10 I3 = %g", I3),.. .(" Параметър11 I4= %g", I4),...(" Параметър12 T = %g", T),...(" Параметър13 I5 = %g", I5),...(" Параметър13 Ns = %g", Ns),...

" Продължи ");k==1,= input();

endk==2,= вход();

endk==3,= вход();

endk==4,= вход();

endk==5,= вход();

endk==6,= вход();

endk==7,= вход();

" Нова стойност Sx= "]);

endk==9,= вход();

endk==10,= вход();

endk==11,= вход();

endk==12,= вход();

endk==13,= вход()

endk==14,= вход()

%Прилагане на параметри=Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry *S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=I3*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=дължина(t );=нули(1,Dim);=етаж(I1*N/2/L)+1;=етаж((I2-I1)*N/2/L)+1;=етаж((Q-I2) *N/2/L)+1;=етаж((R-Q)*N/2/L)+1;=етаж((S-R)*N/2/L)+1;=етаж((I3-S) *N/2/L)+1;= етаж((I4-I3)*N/2/L)+1;= етаж((I5-I4)*N/2/L)+1;= етаж(( 2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2(i)=0; i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i) =a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d;i=(u5 +u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1 ): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+ u4 +u3+u2+u1)(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), мрежа, набор( gca ,"Име на шрифта","Arial Cyr","Размер на шрифта",16);

заглавие ("Графика на процеса"); xlabel("Време (s)"); ylabel("Y(t)");

% Графика на частична сума

n=0;j=1:ExprNum=j;j1=quad(@f, 0, I1);2=a0+quad(@f, I1, I2);3=a0+quad(@f, I2, Q );4=a0+quad(@f, Q, R);5=a0+quad(@f, R, S);6=a0+quad(@f, S, I3);7=a0+quad( @f, I3, I4);8=a0+quad(@f, I4, I5);9=a0+quad(@f, I5, 2*L);=a0/L;=нули (1,Ns) ;=нули(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=quad(@f, 0, I1);(i)=quad(@g, 0 , I1);2(i)=an(i)+quad(@f, I1, I2);(i)=bn(i)+quad(@g, I1, I2);3(i)=an( i)+quad(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+quad(@g, I2, Q);4(i)=an(i)+quad(@f, Q, R );(i)=bn(i)+quad(@g, Q, R);5(i)=an(i)+quad(@f, R, S);(i)=bn(i)+ quad(@g, R, S);6(i)=an(i)+quad(@f, S, I3);(i)=bn(i)+quad(@g, S, I3);7 (i)=an(i)+quad(@f, I3, I4);(i)=bn(i)+quad(@g, I3, I4);8(i)=an(i)+quad( @f, I4, I5);(i)=bn(i)+quad(@g, I4, I5);9(i)=an(i)+quad(@f, I5, 2*L);( i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);(i)= an(i)/L;(i)= bn(i)/L;=t;=нули(1, дължина(x));=fn+a0/2;i=1:Ns=i;=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi *x/L);(t,y,x,fn,"LineWidth",2), решетка, набор(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);

title("Графика на сигнал и частична сума"); xlabel("Време (s)"); ylabel(sprintf("Sn(t)"));

График на % амплитуда = нули (1, Ns);

wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,". "), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Диаграма на амплитудата на сигнала"); xlabel("n"); ylabel("An");

%Начертайте фазовата диаграма на сигнала=нули (1, Ns);

за i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i)<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, продължи - ");

списъклитература

1. Фихтенголц, Г.М. Курсът на диференциалното и интегралното смятане: в 3 тома, М., 1997. 3 тома.

Воднев, В. Т., Наумович, А. Ф., Наумович, Н. Ф., Основни математически формули. Минск, 1998 г

Kharkevich, A.A., Спектри и анализ. Москва, 1958 г

Лазарев, Ю. Ф., Началото на програмирането в средата на MatLAB. Киев 2003г.

Демидович, Б.П. Сборник задачи и упражнения по математически анализ, М., 1988 г.

Сигналът се извиква периодично издание, ако формата му се повтаря циклично във времето. Периодичният сигнал обикновено се записва, както следва:

Ето периода на сигнала. Периодичните сигнали могат да бъдат както прости, така и сложни.

За математическото представяне на периодични сигнали с период често се използва тази серия, в която като базисни функции се избират хармонични (синусоидални и косинусови) колебания с множество честоти:

Където . - основна ъглова честота на последователността от функции. С хармонични базисни функции от тази серия получаваме редица на Фурие, която в най-простия случай може да бъде записана в следната форма:

където коефициентите

От реда на Фурие може да се види, че в общия случай периодичният сигнал съдържа постоянен компонент и набор от хармонични трептения на основната честота и нейните хармоници с честоти. Всяко хармонично трептене от реда на Фурие се характеризира с амплитуда и начална фаза.

Спектрална диаграма и спектър на периодичен сигнал.

Ако някой сигнал се представи като сума от хармонични трептения с различни честоти, това означава, че спектрално разлагане сигнал.

Спектрална диаграмасигнал се нарича графично представяне на коефициентите на реда на Фурие на този сигнал. Има амплитудни и фазови диаграми. За да се изградят тези диаграми, в определен мащаб, хармоничните честоти се нанасят по хоризонталната ос, а техните амплитуди и фази се нанасят по вертикалната ос. Освен това амплитудите на хармониците могат да приемат само положителни стойности, фазите - както положителни, така и отрицателни стойности в интервала.

Спектрални диаграми на периодичен сигнал:

а) - амплитуда; б) - фаза.

Спектър на сигнала- това е набор от хармонични компоненти със специфични стойности на честоти, амплитуди и начални фази, образуващи общо сигнал. На практика спектралните диаграми се наричат ​​по-кратко - амплитуден спектър, фазов спектър. Най-голям интерес има към амплитудната спектрална диаграма. Може да се използва за оценка на процента на хармониците в спектъра.

Спектралните характеристики в телекомуникационните технологии играят важна роля. Познавайки спектъра на сигнала, можете правилно да изчислите и зададете честотната лента на усилватели, филтри, кабели и други възли на комуникационни канали. Познаването на спектрите на сигнала е необходимо за изграждане на многоканални системи с честотно разделение на каналите. Без познаване на спектъра на смущенията е трудно да се вземат мерки за потискането им.

От това можем да заключим, че спектърът трябва да бъде известен за осъществяване на предаване на неизкривен сигнал по комуникационен канал, за да се осигури разделяне на сигнала и намаляване на смущенията.

За наблюдение на спектрите на сигналите има устройства, наречени спектрални анализатори. Те ви позволяват да наблюдавате и измервате параметрите на отделните компоненти на спектъра на периодичен сигнал, както и да измервате спектралната плътност на непрекъснат сигнал.

Понастоящем са известни следните методи за организиране на радиоканали (радиотехнологии): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Възможни са комбинации (напр. FDMA/TDMA). Времето на прилагане на тези технологии до голяма степен съвпада с етапите на развитие на мобилните комуникационни системи. Първото поколение мобилно радиотелефонно оборудване използва технологията за множествен достъп с честотно разделяне (FDMA). FDMA радио технологията досега е била успешно прилагана в усъвършенствано първо поколение клетъчно комуникационно оборудване, както и в по-прости неклетъчни мобилни радиотелефонни комуникационни системи. Що се отнася до стандартите за мобилна комуникация от първия етап, за първите радиални системи концепцията за стандарти не се използва и оборудването се различава по имената на системите (Altai, Volemot, Actionet и др.). Системите за клетъчна комуникация започнаха да се различават по стандарти. Технологията FDMA се основава на такива стандарти на клетъчни комуникационни системи от първо поколение като NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS.Системите за клетъчна мобилна комуникация от второ поколение направиха прехода към цифрова обработка на предадени гласови съобщения, за които е използвана радиотехнология с множествен достъп с разделяне по време (TDMA). В резултат на прехода към TDMA: устойчивостта на шума на радиотрасета се е повишила, защитата му от слушане е станала по-добра и др. TDMA се използва в системи от стандарти като GSM, D-AMPS (последният често се нарича просто TDMA в американската версия). Радиотехнологията за множествен достъп с кодово разделяне CDMA, или в английската версия CDMA, се въвежда активно в обществените радиотелефонни мрежи едва през последните пет години. Тази радиотехнология има своите предимства, т.к. в CDMA оборудване: - ефективността на използване на радиочестотния спектър е 20 пъти по-висока в сравнение със стандартното радио оборудване AMPS (FDMA технология) и 3 пъти по-висока от GSM (TDMA технология); - много по-добро, отколкото в други системи от 2-ро поколение TDMA, качеството, надеждността и поверителността на комуникацията; - възможност за използване на малогабаритни терминали с ниска мощност с дълъг експлоатационен живот; - на същото разстояние от базовата станция мощността на излъчване на абонатните терминали CDMA е повече от 5 пъти по-ниска спрямо същия показател в мрежи от стандарти, базирани на други радиотехнологии; - възможно е да се оптимизира топологията на мрежите при изчисляване на зоните на покритие. CDMA технологията е внедрена за първи път в клетъчно комуникационно оборудване IS-95. По отношение на техните възможности за обслужване, съществуващите CDMA системи се класифицират като системи за клетъчна комуникация от второ поколение. Според статистиката на Националния институт по телекомуникации (ETRI), броят на абонатите на CDMA се увеличава ежедневно с 2000 души. По отношение на растежа на броя на абонатите тези мрежи надминават мрежите на други съществуващи стандарти за клетъчна комуникация, изпреварвайки развитието на клетъчните мрежи дори на такъв популярен стандарт като GSM. В момента има най-малко 30 милиона абонати в CDMA мрежи. Световната телекомуникационна общност е склонна да вярва, че в бъдещите системи за безжичен достъп до абонатни линии (персонални комуникационни системи от трето поколение) CDMA ще заеме водеща позиция. Това заключение е направено поради факта, че технологията CDMA е най-способна да отговори на изискванията за трето поколение IMT-2000 оборудване, по-специално, за да осигури обмен на информация при високи скорости на предаване. Очаква се обаче бъдещите системи за безжичен достъп да използват така наречените широколентови CDMA системи, където честотната лента на канал ще бъде най-малко 5 MHz (в настоящите CDMA системи от второ поколение честотната лента на канал е 1,23 MHz). През последните няколко години започнаха да се появяват безжични комуникации, базирани на технологията за прескачане на честотата с разширен спектър (FH-CDMA). Тази технология съчетава спецификата на TDMA, където всяка честота е разделена на няколко времеви интервала, и CDMA, където всеки предавател използва определена последователност от шумоподобни сигнали. Тази технология е намерила своето приложение в системи, предназначени за организиране на фиксирани комуникации.

КЪДЕ ДА ТЪРСЯ ХАРАКТЕРИСТИКИТЕ ИМ ПО МЯНАТА ГО ЗНАМ

44. Представяне на периодични сигнали под формата на ред на Фурие

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Периодични сигнали и редове на Фурие

Математическият модел на процес, който се повтаря във времето, е периодичен сигнал със следното свойство:

Тук Т е периодът на сигнала.

Задачата е да се намери спектралното разлагане на такъв сигнал.

Редица на Фурие.

Нека зададем интервала от време, разгледан в гл. I ортонормална основа, образувана от хармонични функции с множество честоти;

Всяка функция от този базис удовлетворява условието за периодичност (2.1). Следователно, - като извърши ортогонално разширение на сигнала в тази база, т.е. като изчисли коефициентите

получаваме спектралното разлагане

валидни през цялата безкрайност на времевата ос.

Серия от вида (2.4) се нарича серия на Фурие на даден сигнал. Нека въведем основната честота на последователността, формираща периодичен сигнал. Изчислявайки коефициентите на разширение по формула (2.3), записваме реда на Фурие за периодичния сигнал

с коефициенти

(2.6)

И така, в общия случай периодичният сигнал съдържа независима от времето постоянна компонента и безкраен набор от хармонични трептения, така наречените хармоници с честоти, кратни на основната честота на последователността.

Всеки хармоник може да бъде описан чрез неговата амплитуда и начална фаза.За да направите това, коефициентите на реда на Фурие трябва да бъдат записани като

Замествайки тези изрази в (2.5), получаваме друга, еквивалентна форма на реда на Фурие:

което понякога е по-удобно.

Спектрална диаграма на периодичен сигнал.

Така че е обичайно да се нарича графично представяне на коефициентите на реда на Фурие за определен сигнал. Има амплитудни и фазови спектрални диаграми (фиг. 2.1).

Тук хармоничните честоти са нанесени в определен мащаб по хоризонталната ос, а техните амплитуди и начални фази са представени по вертикалната ос.

Ориз. 2.1. Спектрални диаграми на някакъв периодичен сигнал: а - амплитуда; b - фаза

Особено се интересува от амплитудната диаграма, която ви позволява да прецените процента на определени хармоници в спектъра на периодичен сигнал.

Нека да разгледаме няколко конкретни примера.

Пример 2.1. Серия на Фурие от периодична поредица от правоъгълни видео импулси с известни параметри, дори по отношение на точката t = 0.

В радиотехниката съотношението се нарича работен цикъл на последователността. По формули (2.6) намираме

Удобно е да напишете крайната формула на реда на Фурие във формата

На фиг. 2.2 показва амплитудните диаграми на разглежданата последователност в два екстремни случая.

Важно е да се отбележи, че последователност от къси импулси, следващи един след друг доста рядко, има богат спектрален състав.

Ориз. 2.2. Амплитуден спектър на периодична последователност от правоъгълни видеоимпулси: а - с голям работен цикъл; b - с нисък работен цикъл

Пример 2.2. Серия на Фурие от периодична последователност от импулси, образувана от хармоничен сигнал с форма, ограничена на ниво (приема се, че ).

Нека се запознаем специален параметър- ъгъл на срязване , определен от съотношението откъде

В съответствие с това стойността е равна на продължителността на един импулс, изразена в ъглова мярка:

Аналитичният запис на импулса, който генерира разглежданата последователност, има формата

Последователност DC

Крист фактор на първия хармоник

По същия начин амплитудите на хармоничните компоненти се изчисляват при

Резултатите обикновено се записват така:

където са така наречените функции на Берг:

Графиките на някои функции на Берг са показани на фиг. 2.3.

Ориз. 2.3. Графики на няколко първи функции на Берг

Спектрална плътност на сигналите. Директно и обратно преобразуване на Фурие.

В много случаи задачата за получаване (изчисляване) на спектъра на сигнала е следната. Има АЦП, който със семплираща честота Fd преобразува непрекъснат сигнал, постъпващ на входа му за време T, в цифрови показания - N броя. След това масивът от показания се подава в определена програма, която дава N / 2 от някои числови стойности (програмистът, който изтеглен от интернетнаписа програма, твърди, че прави трансформацията на Фурие).

За да проверим дали програмата работи правилно, ще формираме масив от показания като сумата от две синусоиди sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и ще го пъхнем в програма. Програмата привлече следното:

фиг.1 Графика на времевата функция на сигнала

фиг.2 Графика на спектъра на сигнала

На графиката на спектъра има две пръчици (хармоници) 5 Hz с амплитуда 0,5 V и 10 Hz - с амплитуда 1 V, всички като във формулата на оригиналния сигнал. Всичко е наред, браво програмист! Програмата работи коректно.

Това означава, че ако подадем реален сигнал от смес от две синусоиди към входа на ADC, тогава ще получим подобен спектър, състоящ се от два хармоника.

Общо, нашите истинскиизмерен сигнал, времетраене 5 сек, дигитализиран от ADC, т.е отделенброи, има дискретни непериодичнидиапазон.

От математическа гледна точка колко грешки има в тази фраза?

Сега властите решиха, че решихме, че 5 секунди са твърде много, нека измерим сигнала за 0,5 секунди.



фиг.3 Графика на функцията sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) за период на измерване от 0.5 сек.

фиг.4 Функционален спектър

Нещо не е както трябва! Хармоникът от 10 Hz се рисува нормално, но вместо пръчка от 5 Hz се появиха няколко неразбираеми хармоника. Гледаме в интернет какво и как ...

В, те казват, че трябва да се добавят нули в края на пробата и спектърът ще бъде начертан нормално.

фиг.5 Готови нули до 5 секунди

фиг.6 Получихме спектъра

Все още не е това, което беше на 5 секунди. Трябва да се справите с теорията. Хайде да отидем до Уикипедия- източник на знания.

2. Непрекъсната функция и нейното представяне чрез ред на Фурие

Математически, нашият сигнал с продължителност T секунди е определена функция f(x), дадена на интервала (0, T) (X в този случай е време). Такава функция винаги може да бъде представена като сума от хармонични функции (синус или косинус) от формата:

(1), където:

K - номер на тригонометрична функция (номер на хармоничен компонент, хармоничен номер)
T - сегмент, където е дефинирана функцията (продължителност на сигнала)
Ak - амплитудата на k-тия хармоничен компонент,
θk - начална фаза на k-тата хармонична съставка

Какво означава „представяне на функция като сбор от редица“? Това означава, че като добавим стойностите на хармоничните компоненти на реда на Фурие във всяка точка, ще получим стойността на нашата функция в тази точка.

(По-стриктно, стандартното отклонение на серията от функцията f(x) ще клони към нула, но въпреки стандартната конвергенция, серията на Фурие на функцията, най-общо казано, не е необходимо да се сходи точково към нея. Вижте https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)

Тази серия може да бъде написана и като:

(2),
където , k-та комплексна амплитуда.

Връзката между коефициентите (1) и (3) се изразява със следните формули:

Имайте предвид, че всички тези три представяния на реда на Фурие са напълно еквивалентни. Понякога, когато работите с редове на Фурие, е по-удобно да използвате експонентите на въображаемия аргумент вместо синуси и косинуси, тоест да използвате преобразуването на Фурие в сложна форма. Но за нас е удобно да използваме формула (1), където редът на Фурие е представен като сума от косинусови вълни със съответните амплитуди и фази. Във всеки случай е неправилно да се каже, че резултатът от преобразуването на Фурие на реалния сигнал ще бъдат комплексните амплитуди на хармониците. Както правилно се казва в wiki, "Преобразуването на Фурие (ℱ) е операция, която преобразува една функция на реална променлива в друга функция, също на реална променлива."

Обща сума:
Математическата основа на спектралния анализ на сигналите е преобразуването на Фурие.

Преобразуването на Фурие ни позволява да представим непрекъсната функция f(x) (сигнал), дефинирана на сегмента (0, T) като сума от безкраен брой (безкрайни серии) от тригонометрични функции (синус и/или косинус) с определени амплитуди и фази, също разгледани на сегмента (0, T). Такъв ред се нарича ред на Фурие.

Отбелязваме още някои точки, чието разбиране е необходимо за правилното прилагане на преобразуването на Фурие към анализа на сигнала. Ако разгледаме реда на Фурие (сумата от синусоидите) по цялата ос X, тогава можем да видим, че извън сегмента (0, T), функцията, представена от реда на Фурие, периодично ще повтаря нашата функция.

Например в графиката на фиг. 7 оригиналната функция е дефинирана на сегмента (-T \ 2, + T \ 2), а редът на Фурие представлява периодична функция, дефинирана върху цялата ос x.

Това е така, защото самите синусоиди са съответно периодични функции и тяхната сума ще бъде периодична функция.

фиг.7 Представяне на непериодична оригинална функция чрез ред на Фурие

По този начин:

Нашата първоначална функция е непрекъсната, непериодична, дефинирана на някакъв интервал с дължина T.
Спектърът на тази функция е дискретен, т.е. представен е като безкрайна серия от хармонични компоненти - редът на Фурие.
Всъщност определена периодична функция се определя от реда на Фурие, който съвпада с нашия на отсечката (0, T), но тази периодичност не е съществена за нас.

Периодите на хармоничните компоненти са кратни на сегмента (0, T), на който е дефинирана оригиналната функция f(x). С други думи, хармоничните периоди са кратни на продължителността на измерването на сигнала. Например, периодът на първия хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T, на който е дефинирана функцията f(x). Периодът на втория хармоник от реда на Фурие е равен на интервала T/2. И така нататък (виж фиг. 8).

фиг.8 Периоди (честоти) на хармоничните компоненти на реда на Фурие (тук T=2π)

Съответно, честотите на хармоничните компоненти са кратни на 1/T. Тоест, честотите на хармоничните компоненти Fk са равни на Fk= k\T, където k варира от 0 до ∞, например k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (при нулева честота - постоянен компонент).

Нека оригиналната ни функция е сигнал, записан за T=1 сек. Тогава периодът на първия хармоник ще бъде равен на продължителността на нашия сигнал T1=T=1 сек и честотата на хармоника е 1 Hz. Периодът на втория хармоник ще бъде равен на продължителността на сигнала, разделена на 2 (T2=T/2=0,5 сек), а честотата е 2 Hz. За третия хармоник T3=T/3 sec и честотата е 3 Hz. И така нататък.

Стъпката между хармониците в този случай е 1 Hz.

Така сигнал с продължителност 1 сек може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 1 Hz.
За да се увеличи разделителната способност 2 пъти до 0,5 Hz, е необходимо да се увеличи продължителността на измерването 2 пъти - до 2 секунди. Сигнал с продължителност 10 секунди може да бъде разложен на хармонични компоненти (за получаване на спектър) с честотна разделителна способност 0,1 Hz. Няма други начини за увеличаване на честотната разделителна способност.

Има начин за изкуствено увеличаване на продължителността на сигнала чрез добавяне на нули към масива от проби. Но това не увеличава реалната разделителна способност на честотата.

3. Дискретни сигнали и дискретно преобразуване на Фурие

С развитието на цифровите технологии се промениха и начините за съхраняване на данните от измерванията (сигналите). Ако по-рано сигналът можеше да бъде записан на магнетофон и съхранен на лента в аналогов вид, сега сигналите се дигитализират и се съхраняват във файлове в паметта на компютъра като набор от числа (броя).

Обичайната схема за измерване и цифровизиране на сигнал е следната.

фиг.9 Схема на измервателния канал

Сигналът от измервателния преобразувател пристига в ADC за период от време T. Получените за времето T образци на сигнала (проба) се прехвърлят към компютъра и се съхраняват в паметта.

фиг.10 Цифров сигнал - N показания, получени за време T

Какви са изискванията за параметрите за цифровизация на сигнала? Устройство, което преобразува входен аналогов сигнал в дискретен код (цифров сигнал), се нарича аналогово-цифров преобразувател (ADC, английски Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Един от основните параметри на ADC е максималната честота на дискретизация (или честота на дискретизация, английска честота на дискретизация) - честотата на вземане на проби от сигнал, непрекъснат във времето по време на неговото дискретизиране. Измерва се в херци. ((Уики))

Според теоремата на Котелников, ако непрекъснатият сигнал има спектър, ограничен от честотата Fmax, тогава той може да бъде напълно и уникално възстановен от неговите дискретни проби, взети на интервали от време , т.е. с честота Fd ≥ 2*Fmax, където Fd - честота на дискретизация; Fmax - максимална честота на спектъра на сигнала. С други думи, честотата на дискретизация на сигнала (ADC честота на дискретизация) трябва да бъде поне 2 пъти максималната честота на сигнала, който искаме да измерим.

И какво ще стане, ако вземем показания с по-ниска честота от изискваната от теоремата на Котелников?

В този случай възниква ефектът на "алиасинг" (известен още като стробоскопичен ефект, ефект на моаре), при който високочестотният сигнал след дигитализиране се превръща в нискочестотен сигнал, който всъщност не съществува. На фиг. 11 високочестотна червена синусоида е истинският сигнал. Синята синусоида с по-ниска честота е фиктивен сигнал, произтичащ от факта, че повече от половината период на високочестотен сигнал има време да премине по време на времето за вземане на проби.

Ориз. 11. Появата на фалшив нискочестотен сигнал, когато честотата на дискретизация не е достатъчно висока

За да се избегне ефекта на алиасинг, пред АЦП се поставя специален антиалиасинг филтър - LPF (нискочестотен филтър), който пропуска честоти под половината от честотата на семплиране на АЦП и отсича по-високите честоти.

За да се изчисли спектърът на сигнал от неговите дискретни проби, се използва дискретното преобразуване на Фурие (DFT). Отбелязваме още веднъж, че спектърът на дискретния сигнал е "по дефиниция" ограничен от честотата Fmax, която е по-малка от половината от честотата на дискретизация Fd. Следователно спектърът на дискретния сигнал може да бъде представен от сумата от краен брой хармоници, за разлика от безкрайната сума за редицата на Фурие на непрекъснат сигнал, чийто спектър може да бъде неограничен. Съгласно теоремата на Котелников максималната хармонична честота трябва да бъде такава, че да обхваща най-малко две проби, така че броят на хармониците да е равен на половината от броя на пробите на дискретния сигнал. Тоест, ако има N проби в пробата, тогава броят на хармониците в спектъра ще бъде равен на N/2.

Помислете сега за дискретното преобразуване на Фурие (DFT).

Сравнение с редовете на Фурие

Виждаме, че те съвпадат, с изключение на това, че времето в DFT е дискретно и броят на хармониците е ограничен до N/2 - половината от броя на пробите.

DFT формулите се записват в безразмерни цели променливи k, s, където k са броят на сигналните проби, s е броят на спектралните компоненти.
Стойността на s показва броя на пълните трептения на хармоника в периода T (продължителността на измерване на сигнала). Дискретното преобразуване на Фурие се използва за числено намиране на амплитудите и фазите на хармониците, т.е. "на компютъра"

Връщайки се към резултатите, получени в началото. Както бе споменато по-горе, при разширяване на непериодична функция (нашият сигнал) в ред на Фурие, полученият ред на Фурие всъщност съответства на периодична функция с период T. (фиг. 12).

фиг.12 Периодична функция f(x) с период Т0, с период на измерване Т>T0

Както се вижда от фиг. 12, функцията f(x) е периодична с период Т0. Въпреки това, поради факта, че продължителността на измервателната проба T не съвпада с периода на функцията T0, функцията, получена като ред на Фурие, има прекъсване в точката T. В резултат на това спектърът на тази функция ще съдържат голям бройвисокочестотни хармоници. Ако продължителността на измервателната проба T съвпада с периода на функцията T0, тогава само първият хармоник (синусоида с период, равен на продължителността на пробата) ще присъства в спектъра, получен след преобразуването на Фурие, тъй като функцията f (x) е синусоида.

С други думи, DFT програмата "не знае", че нашият сигнал е "парче от синусоида", но се опитва да представи периодична функция като серия, която има пропуск поради несъответствието на отделните части от синусоида.

В резултат на това в спектъра се появяват хармоници, които общо трябва да представляват формата на функцията, включително тази прекъсваемост.

По този начин, за да се получи "правилният" спектър на сигнала, който е сумата от няколко синусоиди с различни периоди, е необходимо цял брой периоди на всяка синусоида да пасват на периода на измерване на сигнала. На практика това условие може да бъде изпълнено при достатъчно голяма продължителност на измерването на сигнала.

Фиг.13 Пример за функцията и спектъра на сигнала за кинематична грешка на скоростната кутия

При по-кратка продължителност картината ще изглежда "по-зле":

Фиг.14 Пример за функцията и спектъра на вибрационния сигнал на ротора

На практика може да бъде трудно да се разбере къде са „истинските компоненти“ и къде са „артефактите“, причинени от немножеството на периодите на компонентите и продължителността на сигналната проба или „скоковете и прекъсванията“ на формата на вълната. Разбира се, не напразно се цитират думите "реални компоненти" и "артефакти". Наличието на много хармоници на спектралната графика не означава, че нашият сигнал всъщност се „състои” от тях. Това е като да мислите, че числото 7 се „състои“ от числата 3 и 4. Числото 7 може да бъде представено като сбор от числата 3 и 4 – това е правилно.

Такъв е и нашият сигнал ... или по-скоро дори не „нашият сигнал“, а периодична функция, съставена чрез повтаряне на нашия сигнал (семплиране), може да бъде представена като сума от хармоници (синусоиди) с определени амплитуди и фази. Но в много случаи, важни за практиката (вижте фигурите по-горе), наистина е възможно хармониците, получени в спектъра, да се свържат с реални процеси, които са циклични по природа и имат значителен принос за формата на сигнала.

Някои резултати

1. Реално измереният сигнал с продължителност T sec, цифровизиран от ADC, т.е. представен от набор от дискретни проби (N части), има дискретен непериодичен спектър, представен от набор от хармоници (N/2 части ).

2. Сигналът е представен от набор от реални стойности и неговият спектър е представен от набор от реални стойности. Хармоничните честоти са положителни. Фактът, че за математиците е по-удобно да представят спектъра в сложна форма, използвайки отрицателни честоти, не означава, че „това е правилно“ и „винаги трябва да се прави по този начин“.

3. Сигналът, измерен на времевия интервал T, се определя само на времевия интервал T. Какво се е случило преди да започнем да измерваме сигнала и какво ще се случи след това - това е неизвестно на науката. А в нашия случай – не е интересно. DFT на ограничен във времето сигнал дава неговия "реален" спектър, в смисъл, че при определени условия ви позволява да изчислите амплитудата и честотата на неговите компоненти.

Използвани материали и други полезни материали.

Сред различните системи от ортогонални функции, които могат да се използват като бази за представяне радиосигнали, изключително място заемат хармоничните (синус и косинус) функции. Значението на хармоничните сигнали за радиотехниката се дължи на редица причини.

В частност:

1. Хармоничните сигнали са инвариантни по отношение на трансформациите, извършвани от стационарни линейни електрически вериги. Ако такава верига се възбуди от източник на хармонични трептения, тогава сигналът на изхода на веригата остава хармоничен със същата честота, различавайки се от входния сигнал само по амплитуда и начална фаза.

2. Техниката за генериране на хармонични сигнали е относително проста.

Ако сигналът се представи като сума от хармонични трептения с различни честоти, тогава се казва, че е извършено спектралното разлагане на този сигнал. Отделните хармонични компоненти на сигнала формират неговия спектър.

2.1. Периодични сигнали и редове на Фурие

Математическият модел на процес, който се повтаря във времето, е периодичен сигнал със следното свойство:

Тук Т е периодът на сигнала.

Задачата е да се намери спектралното разлагане на такъв сигнал.

Редица на Фурие.

Нека зададем интервала от време, разгледан в гл. I ортонормална основа, образувана от хармонични функции с множество честоти;

Всяка функция от този базис удовлетворява условието за периодичност (2.1). Следователно, - като извърши ортогонално разширение на сигнала в тази база, т.е. като изчисли коефициентите

получаваме спектралното разлагане

валидни през цялата безкрайност на времевата ос.

Серия от вида (2.4) се нарича серия на Фурие на даден сигнал. Нека въведем основната честота на последователността, формираща периодичен сигнал. Изчислявайки коефициентите на разширение по формула (2.3), записваме реда на Фурие за периодичния сигнал

с коефициенти

(2.6)

И така, в общия случай периодичният сигнал съдържа независима от времето постоянна компонента и безкраен набор от хармонични трептения, така наречените хармоници с честоти, кратни на основната честота на последователността.

Всеки хармоник може да бъде описан чрез неговата амплитуда и начална фаза.За да направите това, коефициентите на реда на Фурие трябва да бъдат записани като

Замествайки тези изрази в (2.5), получаваме друга, еквивалентна форма на реда на Фурие:

което понякога е по-удобно.

Спектрална диаграма на периодичен сигнал.

Така че е обичайно да се нарича графично представяне на коефициентите на реда на Фурие за определен сигнал. Има амплитудни и фазови спектрални диаграми (фиг. 2.1).

Тук хармоничните честоти са нанесени в определен мащаб по хоризонталната ос, а техните амплитуди и начални фази са представени по вертикалната ос.

Ориз. 2.1. Спектрални диаграми на някакъв периодичен сигнал: а - амплитуда; b - фаза

Особено се интересува от амплитудната диаграма, която ви позволява да прецените процента на определени хармоници в спектъра на периодичен сигнал.

Нека да разгледаме няколко конкретни примера.

Пример 2.1. Серия на Фурие от периодична поредица от правоъгълни видео импулси с известни параметри, дори по отношение на точката t = 0.

В радиотехниката съотношението се нарича работен цикъл на последователността. По формули (2.6) намираме

Удобно е да напишете крайната формула на реда на Фурие във формата

На фиг. 2.2 показва амплитудните диаграми на разглежданата последователност в два екстремни случая.

Важно е да се отбележи, че последователност от къси импулси, следващи един след друг доста рядко, има богат спектрален състав.

Ориз. 2.2. Амплитуден спектър на периодична последователност от правоъгълни видеоимпулси: а - с голям работен цикъл; b - с нисък работен цикъл

Пример 2.2. Серия на Фурие от периодична последователност от импулси, образувана от хармоничен сигнал с форма, ограничена на ниво (приема се, че ).

Въвеждаме специален параметър - ъгълът на срязване , определен от връзката откъде

В съответствие с това стойността е равна на продължителността на един импулс, изразена в ъглова мярка:

Аналитичният запис на импулса, който генерира разглежданата последователност, има формата

Последователност DC

Крист фактор на първия хармоник

По същия начин амплитудите на хармоничните компоненти се изчисляват при

Резултатите обикновено се записват така:

където са така наречените функции на Берг:

Графиките на някои функции на Берг са показани на фиг. 2.3.

Ориз. 2.3. Графики на няколко първи функции на Берг

Сложна форма на реда на Фурие.

Спектралното разлагане на периодичен сигнал може също да се извърши донякъде йонно, като се използва система от базисни функции, състояща се от експоненциали с въображаеми експоненти:

Лесно се вижда, че функциите на тази система са периодични с период и са ортонормирани на интервала от време, тъй като

Серията на Фурие на произволен периодичен сигнал в този случай приема формата

с коефициенти

Обикновено се използва следната формазаписи:

Изразът (2.11) е ред на Фурие в сложна форма.

Спектърът на сигнала в съответствие с формула (2.11) съдържа компоненти на отрицателната честотна полуос и . В сериите (2.11) термините с положителни и отрицателни честоти се комбинират по двойки, например.