Matematikte ders çalışması

Konu: Açık bir fonksiyon için Fourier serisinin kısmi toplamlarının ve spektral özelliklerinin hesaplanması

sinyal Fourier spektrum fonksiyonu

1. Fiziksel sürecin modeli

Problemin teorik hesaplamalarla çözümü

Problem çözümü örneği

Bir problem çözme örneği Matlab ortamı R2009a

Kaynakça

1. Fiziksel sürecin modeli

matematiksel model zamanın bazı işlevleri bir radyo sinyali işlevi görebilir F(T) . Bu işlev gerçek veya karmaşık, tek boyutlu veya çok boyutlu, deterministik veya rastgele (gürültülü sinyaller) olabilir. Radyo mühendisliğinde, aynı matematiksel model akımı, gerilimi ve yoğunluğu eşit başarıyla tanımlar. Elektrik alanı ve benzeri.

Gerçek tek boyutlu deterministik sinyalleri düşünün

İşlev kümeleri (sinyaller), genellikle aşağıdaki kavramların ve aksiyomların tanıtıldığı doğrusal işlevsel normlu uzaylar olarak kabul edilir:

) tüm doğrusal uzay aksiyomları karşılanır;

) iki gerçek sinyalin skaler çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır:

) skaler çarpımları sıfır olan iki sinyale ortogonal denir;

) ortogonal sinyaller sistemi, lineer uzaya ait herhangi bir periyodik sinyalin genişletilebildiği sonsuz boyutlu bir koordinat temeli oluşturur;

Sinyalin ayrıştırılabileceği çeşitli ortogonal fonksiyon sistemleri arasında en yaygın olanı harmonik (sinüs ve kosinüs) fonksiyonlar sistemidir:

Bazı periyodik sinyallerin, farklı frekanslardaki harmonik salınımların toplamı olarak temsiline, sinyalin spektral gösterimi denir. Bir sinyalin bireysel harmonik bileşenleri, spektrumunu oluşturur. Matematiksel bir bakış açısından, spektral temsil, periyodik bir fonksiyonun (sinyal) bir Fourier serisine genişlemesine eşdeğerdir.

Radyo mühendisliğinde fonksiyonların spektral ayrışımının önemi birkaç nedenden kaynaklanmaktadır:

) sinyalin özelliklerini inceleme kolaylığı, çünkü harmonik fonksiyonlar iyi çalışılmıştır;

) keyfi bir sinyal üretme olasılığı, çünkü harmonik sinyaller üretme tekniği oldukça basittir;

) bir radyo kanalı üzerinden bir sinyalin iletilmesi ve alınması kolaylığı, tk. harmonik salınım, zamanın herhangi bir lineer devreden geçerken şeklini koruyan tek fonksiyonudur. Devrenin çıkışındaki sinyal aynı frekansta harmonik kalır, sadece salınımın genliği ve ilk fazı değişir;

) sinyalin sinüslere ve kosinüslere ayrışması, harmonik salınımların lineer devreler yoluyla iletiminin analizi için geliştirilen sembolik yöntemin kullanılmasına izin verir.

Fiziksel sürecin bir modeli olarak, kalbin elektrokardiyogramını düşünün.

2. Problemi teorik hesaplamalarla çözme

Görev 1:

QRS kompleksi olarak adlandırılan, elektrokardiyogram bölümünde periyodik olarak tekrar eden bir impuls olan Fourier serisini kullanarak tanımlayalım.

QRS kompleksi, aşağıdaki parçalı lineer fonksiyon ile tanımlanabilir

Nerede

Bu fonksiyon bir süre ile periyodik olarak devam edilebilir T=2l.

Fourier serisi fonksiyonlar:

tanım 1: Fonksiyon çağrılır parçalı sürekli[a, b] doğru parçası üzerinde, eğer bu parçanın tüm noktalarında sürekliyse, sonlu tek taraflı sınırlarının bulunduğu sonlu sayıda nokta dışında.

Tanım 2: işlev denir parçalı pürüzsüz o ve türevi parçalı sürekli ise bir aralıkta.

Teorem 1 (Dirichlet testi): Bir parça üzerinde parçalı-düzsüz bir fonksiyonun Fourier serisi F(X) her süreklilik noktasında fonksiyonun o noktadaki değerine ve her süreksizlik noktasındaki değerine yakınsar.

Fonksiyonumuz teoremin koşullarını karşılıyor.

Belirli bir fonksiyon için Fourier serisinin aşağıdaki katsayılarını elde ederiz:

Fourier serisinin karmaşık formu

Seriyi karmaşık biçimde temsil etmek için Euler formüllerini kullanırız:

Notasyonu tanıtalım:

Daha sonra dizi şu şekilde yeniden yazılabilir:

Ek olarak, karmaşık Fourier serisinin katsayıları, formül kullanılarak doğrudan hesaplanarak da elde edilebilir.

Verilen fonksiyonun Fourier serisini karmaşık biçimde yazalım.

Serinin spektral özellikleri

İfade Fourier serisinde denir Ninci harmonik. biliniyor ki

nerede veya

,

Sırasıyla adlandırılan agregalar genlik ve faz spektrumu periyodik fonksiyon

Grafiksel olarak spektrumlar, değerin çizildiği eksene dik olarak çizilen uzunluk segmentleri olarak görüntülenir. N= 1,2 ... veya .

Karşılık gelen spektrumun grafik gösterimine genlik veya faz diyagramı denir. Uygulamada, genlik spektrumu en sık kullanılır.

.Problem çözme örneği

Görev 2: Dikkate almak özel örnek seçilen fiziksel süreç modeli için görevler.

Bu fonksiyonu tüm gerçek eksene kadar devam ettirirsek, periyodik bir fonksiyon elde ederiz. F(X) T=2 periyodu ile ben=18 (Şek. 1.).

Pirinç. 1. Periyodik olarak devam eden bir fonksiyonun grafiği

Verilen fonksiyonun Fourier katsayılarını hesaplayalım.

Serinin kısmi toplamlarını yazıyoruz:

Pirinç. 2. Fourier serisinin kısmi toplamlarının grafikleri

büyüme ile N süreklilik noktalarındaki kısmi toplamların grafikleri, fonksiyonun grafiğine yaklaşır F(X) . Süreksizlik noktalarında, kısmi toplamların değerleri yaklaşır .

Genlik ve faz diyagramlarını oluşturalım.

çeyrek göz önüne alındığında.

Masa

4. Matlab R2009a ortamında bir problem çözme örneği

Görev 3:Örnek olarak, tam PR ve QT aralıklarını ele alalım.

Pirinç

Bu fonksiyon için kısmi toplam grafiklerinin yanı sıra genlik ve faz diyagramlarını çizin.

Görevimiz için belirli parametre değerlerini alalım:

Gerekli grafikleri ve çizelgeleri oluşturmak için komut dosyası.

Komut dosyası, Q, R, S noktalarının parametrelerini ve koordinatlarını seçerek bir dizi benzer sorunu çözmenize olanak tanır.

% AÇIKLAMA İÇİN FOURIER SERİSİNİN KISMİ TOPLAMLARININ VE SPEKTRAL ÖZELLİKLERİNİN HESAPLANMASI

%Spektral analiz.L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase=18;=6; I2=10; S=11; Qy= -2; R=12; Ry=17; Ö=13; Sy=-4; I3=15; I4=20; 15=26;=2; T=3; İfadeNum=9;=250;=30;=0;işaret == 0=1;(k<15)

k = menu("Parametreleri değiştir", ...

sprintf (" Parametre1 P = %g", P),...(" Parametre2 I1 = %g", I1),...(" Parametre3 I2 = %g", I2),...(" Parametre4 Qx = %g", Q),...(" Parametre5 Qy = %g", Qy),...(" Parametre6 Rx = %g", R),...(" Parametre7 Ry = %g", Ry),...(" Parametre8 Sx = %g", S),...(" Parametre9 Sy = %g", Sy),...(" Parametre10 I3 = %g", I3),.. .(" Parametre11 I4= %g", I4),...(" Parametre12 T = %g", T),...(" Parametre13 I5 = %g", I5),...(" Parametre13 Ns = %g", Ns),...

" Devam ");k==1,= input();

endk==2,= girdi();

endk==3,= girdi();

endk==4,= girdi();

endk==5,= girdi();

endk==6,= girdi();

endk==7,= girdi();

" Yeni değer Sx= "]);

endk==9,= girdi();

endk==10,= girdi();

endk==11,= girdi();

endk==12,= girdi();

endk==13,= girdi()

endk==14,= girdi()

%Parametreleri uygula=Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry) *S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=I3*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=uzunluk(t) );=sıfır(1,Dim);=kat(I1*N/2/L)+1;=kat((I2-I1)*N/2/L)+1;=kat((Q-I2) *N/2/L)+1;=kat((R-Q)*N/2/L)+1;= kat((S-R)*K/2/L)+1;= kat((I3-S) *N/2/L)+1;= kat((I4-I3)*N/2/L)+1;= kat((I5-I4)*N/2/L)+1;= kat(( 2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2(i)=0; i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i) =a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d;i=(u5 +u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1) ): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+u4 +u3+u2+u1)(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set( gca ,"Yazı TipiAdı","Arial Cyr","Yazı TipiBoyutu",16);

title("Süreç Grafiği"); xlabel("Zaman(lar)"); ylabel("Y(t)");

%Kısmi Toplam Grafiği

n=0;j=1:İfadeNum=j;j1=dörtlü(@f, 0, I1);2=a0+dörtlü(@f, I1, I2);3=a0+dörtlü(@f, I2, Q) );4=a0+dörtlü(@f, Q, R);5=a0+dörtlü(@f, R, S);6=a0+dörtlü(@f, S, I3);7=a0+dörtlü( @f, I3, I4);8=a0+dörtlü(@f, I4, I5);9=a0+dörtlü(@f, I5, 2*L);=a0/L;=sıfırlar(1,Ns) ;=sıfırlar(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:İfadeNum=j;j1(i)=dörtlü(@f, 0, I1);(i)=dörtlü(@g, 0) , I1);2(i)=an(i)+dörtlü(@f, I1, I2);(i)=bn(i)+dörtlü(@g, I1, I2);3(i)=an( i)+dörtlü(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+dörtlü(@g, I2, Q);4(i)=an(i)+dörtlü(@f, Q, R) );(i)=bn(i)+dörtlü(@g, Q, R);5(i)=an(i)+dörtlü(@f, R, S);(i)=bn(i)+ dörtlü(@g, R, S);6(i)=an(i)+dörtlü(@f, S, I3);(i)=bn(i)+dörtlü(@g, S, I3);7 (i)=an(i)+dörtlü(@f, I3, I4);(i)=bn(i)+dörtlü(@g, I3, I4);8(i)=an(i)+dörtlü( @f, I4, I5);(i)=bn(i)+dörtlü(@g, I4, I5);9(i)=an(i)+dörtlü(@f, I5, 2*L);( i)=bn(i)+dörtlü(@g, I5, 2*L);(i)= an(i)/L;(i)= bn(i)/L;=t;=sıfır(1, uzunluk(x));=fn+a0/2;i=1:Ns=i;=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi) *x/L);(t,y,x,fn,"LineWidth",2), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);

title("Sinyal ve kısmi toplam grafiği"); xlabel("Zaman(lar)"); ylabel(sprintf("Sn(t)"));

%Plot Genlik Grafiği=sıfırlar(1, Ns);

wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,". "), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Sinyal genlik diyagramı"); xlabel("n"); ylabel("Bir");

%Plot sinyali faz diyagramı=sıfırlar(1, Ns);

for i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i)<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, devam etmek - ");

Listeedebiyat

1. Fikhtengolts, G.M. Diferansiyel ve integral hesabın seyri: 3 ciltte, M., 1997. 3 cilt.

Vodnev, V. T., Naumovich, A.F., Naumovich, N. F., Temel matematiksel formüller. Minsk, 1998

Kharkevich, A.A., Spectra ve analiz. Moskova, 1958

Lazarev, Yu.F., MatLAB ortamında programlamanın başlangıcı. Kiev 2003.

Demidovich, B.P. Matematiksel analizde problemler ve alıştırmaların toplanması, M., 1988.

sinyal denir periyodik, eğer formu zaman içinde döngüsel olarak tekrarlanıyorsa. Periyodik bir sinyal genellikle aşağıdaki gibi yazılır:

İşte sinyalin periyodu. Periyodik sinyaller hem basit hem de karmaşık olabilir.

Periyodik sinyallerin bir periyotla matematiksel temsili için, temel fonksiyonlar olarak çoklu frekansların harmonik (sinüzoidal ve kosinüs) salınımlarının seçildiği bu seri sıklıkla kullanılır:

Nerede . - fonksiyon dizisinin temel açısal frekansı. Harmonik tabanlı fonksiyonlarla, bu diziden, en basit durumda aşağıdaki biçimde yazılabilen bir Fourier dizisi elde ederiz:

nerede katsayılar

Fourier serisinden, genel durumda, periyodik bir sinyalin sabit bir bileşen ve temel frekansın bir dizi harmonik salınımı ve frekanslarla harmonikleri içerdiği görülebilir. Fourier serisinin her harmonik salınımı, genlik ve başlangıç ​​fazı ile karakterize edilir.

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramı ve spektrumu.

Herhangi bir sinyal, farklı frekanslara sahip harmonik salınımların toplamı olarak sunulursa, bu şu anlama gelir: spektral ayrışma sinyal.

spektral diyagram sinyaline, bu sinyalin Fourier serisinin katsayılarının grafik gösterimi denir. Genlik ve faz diyagramları vardır. Bu diyagramları belirli bir ölçekte oluşturmak için, yatay eksen boyunca harmonik frekansları ve dikey eksen boyunca genlikleri ve fazları çizilir. Dahası, harmoniklerin genlikleri yalnızca pozitif değerler alabilir, fazlar - aralıkta hem pozitif hem de negatif değerler .

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramları:

a) - genlik; b) - faz.

Sinyal spektrumu- bu, toplamda bir sinyal oluşturan belirli frekans, genlik ve başlangıç ​​​​faz değerlerine sahip bir dizi harmonik bileşendir. Uygulamada, spektral diyagramlar daha kısaca adlandırılır - genlik spektrumu, faz spektrumu. En büyük ilgi genlik spektral diyagramına gösterilir. Spektrumdaki harmoniklerin yüzdesini tahmin etmek için kullanılabilir.

Telekomünikasyon teknolojisinde spektral özellikler önemli bir rol oynamaktadır. Sinyalin spektrumunu bilerek, amplifikatörlerin, filtrelerin, kabloların ve iletişim kanallarının diğer düğümlerinin bant genişliğini doğru bir şekilde hesaplayabilir ve ayarlayabilirsiniz. Kanalların frekans bölünmesiyle çok kanallı sistemler oluşturmak için sinyal spektrumları bilgisi gereklidir. Girişim spektrumunu bilmeden, onu bastırmak için önlemler almak zordur.

Bundan, sinyal ayrımını ve parazit azaltmayı sağlamak için bir iletişim kanalı üzerinden bozulmamış sinyal iletiminin uygulanması için spektrumun bilinmesi gerektiği sonucuna varabiliriz.

Sinyallerin spektrumunu gözlemlemek için, adı verilen cihazlar vardır. spektrum analizörleri. Periyodik bir sinyalin spektrumunun ayrı ayrı bileşenlerinin parametrelerini gözlemlemenize ve ölçmenize ve ayrıca sürekli bir sinyalin spektral yoğunluğunu ölçmenize olanak tanırlar.

Şu anda, aşağıdaki radyo kanallarını düzenleme yöntemleri (radyo teknolojileri) bilinmektedir: FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Kombinasyonlar mümkündür (örn. FDMA/TDMA). Bu teknolojilerin uygulanma zamanlaması büyük ölçüde mobil iletişim sistemlerinin gelişim aşamalarıyla örtüşmektedir. Birinci nesil mobil telsiz telefon ekipmanı, frekans bölmeli çoklu erişim (FDMA) teknolojisini kullandı. FDMA radyo teknolojisi şimdiye kadar gelişmiş birinci nesil hücresel iletişim ekipmanında ve ayrıca daha basit hücresel olmayan mobil telsiz telefon iletişim sistemlerinde başarıyla uygulandı. Birinci aşamanın mobil iletişim standartlarına gelince, ilk radyal sistemler için standart kavramı kullanılmamış ve ekipman, sistemlerin adlarına göre (Altay, Volemot, Actionet vb.) Farklılaştırılmıştır. Hücresel haberleşme sistemleri standart olarak farklılaşmaya başladı. FDMA teknolojisi, birinci nesil hücresel iletişim sistemlerinin bu tür standartlarına dayanmaktadır: NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS.İkinci nesil hücresel mobil iletişim sistemleri, zaman bölümlü çoklu erişim (TDMA) radyo teknolojisinin kullanıldığı, iletilen sesli mesajların dijital olarak işlenmesine geçiş yapmıştır. TDMA'ya geçişin bir sonucu olarak: radyo yolunun gürültü bağışıklığı arttı, dinlemeye karşı koruması daha iyi hale geldi, vb. TDMA, aşağıdakiler gibi standart sistemlerinde kullanılır: GSM, D-AMP'ler (ikincisi genellikle Amerikan versiyonunda basitçe TDMA olarak anılır). Kod bölmeli çoklu erişim radyo teknolojisi CDMA veya İngilizce versiyonunda CDMA, yalnızca son beş yıl içinde halka açık telsiz telefon ağlarında aktif olarak tanıtıldı. Bu radyo teknolojisinin kendine göre avantajları var çünkü. CDMA ekipmanında: - radyo frekansı spektrumunu kullanmanın verimliliği, AMPS standart radyo ekipmanına (FDMA teknolojisi) kıyasla 20 kat ve GSM'den (TDMA teknolojisi) 3 kat daha yüksektir; - 2. nesil TDMA'nın diğer sistemlerinden çok daha iyi, iletişimin kalitesi, güvenilirliği ve gizliliği; - uzun hizmet ömrüne sahip küçük boyutlu düşük güçlü terminaller kullanmak mümkündür; - baz istasyonundan aynı mesafede, CDMA abone terminallerinin radyasyon gücü, diğer radyo teknolojilerine dayalı standart ağlardaki aynı göstergeye göre 5 kattan daha düşüktür; - kapsama alanlarını hesaplarken ağların topolojisini optimize etmek mümkündür. CDMA teknolojisi ilk olarak IS-95 hücresel iletişim ekipmanında uygulandı. Hizmet yetenekleri açısından, mevcut CDMA sistemleri ikinci nesil hücresel iletişim sistemleri olarak sınıflandırılmaktadır. Ulusal Telekomünikasyon Enstitüsü'nün (ETRI) istatistiklerine göre, CDMA abonelerinin sayısı her gün 2.000 kişi artıyor. Abone sayısındaki artış açısından, bu ağlar, GSM gibi popüler bir standart olan hücresel ağların gelişimini geride bırakarak, mevcut diğer hücresel iletişim standartlarının ağlarını geride bırakmaktadır. Şu anda, CDMA ağlarında en az 30 milyon abone var. Küresel telekomünikasyon topluluğu, gelecekteki abone hattı kablosuz erişim sistemlerinde (üçüncü nesil kişisel iletişim sistemleri) CDMA'nın lider bir pozisyon alacağına inanma eğilimindedir. Bu sonuç, CDMA teknolojisinin, özellikle yüksek iletim hızlarında bilgi alışverişini sağlamak için üçüncü nesil IMT-2000 ekipmanının gereksinimlerini en iyi şekilde karşılayabildiği gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Bununla birlikte, gelecekteki kablosuz erişim sistemlerinin, kanal başına frekans bant genişliğinin en az 5 MHz olacağı sözde geniş bantlı CDMA sistemlerini kullanması beklenmektedir (mevcut ikinci nesil CDMA sistemlerinde, kanal başına bant genişliği 1,23 MHz'dir). Son birkaç yılda, yaygın spektrum frekans atlamalı (FH-CDMA) teknolojisine dayalı kablosuz iletişim ortaya çıkmaya başladı. Bu teknoloji, her frekansın birkaç zaman aralığına bölündüğü TDMA'nın özelliklerini ve her vericinin belirli bir gürültü benzeri sinyal dizisi kullandığı CDMA'yı birleştirir. Bu teknoloji, uygulamasını sabit iletişim düzenlemek için tasarlanmış sistemlerde bulmuştur.

ÖZELLİKLERİNE NEREDEN BAKALIM ONU BİLİYORUM

44. Periyodik sinyallerin Fourier serisi biçiminde gösterimi

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Periyodik sinyaller ve Fourier serisi

Zaman içinde tekrar eden bir sürecin matematiksel modeli, aşağıdaki özelliğe sahip periyodik bir sinyaldir:

Burada T sinyalin periyodudur.

Görev, böyle bir sinyalin spektral ayrışmasını bulmaktır.

Fourier serisi.

Bölüm 1'de ele alınan zaman aralığını belirleyelim. Çok frekanslı harmonik fonksiyonların oluşturduğu ortonormal taban;

Bu temelde herhangi bir işlev, periyodiklik koşulunu (2.1) karşılar. Bu nedenle, - bu temelde sinyalin ortogonal açılımını gerçekleştirerek, yani katsayıları hesaplayarak

spektral ayrışmayı elde ederiz

zaman ekseninin sonsuzluğu boyunca geçerlidir.

(2.4) biçimindeki bir dizi, belirli bir sinyalin Fourier serisi olarak adlandırılır. Periyodik bir sinyal oluşturan dizinin temel frekansını tanıtalım. Genişleme katsayılarını formül (2.3) ile hesaplayarak, periyodik sinyal için Fourier serisini yazıyoruz.

katsayılı

(2.6)

Bu nedenle, genel durumda, periyodik bir sinyal, zamandan bağımsız bir sabit bileşen ve dizinin temel frekansının katları olan frekanslara sahip sözde harmonikler olarak adlandırılan sonsuz bir harmonik salınım seti içerir.

Her harmonik, genliği ve ilk fazı ile tanımlanabilir.Bunu yapmak için, Fourier serisinin katsayıları şu şekilde yazılmalıdır:

Bu ifadeleri (2.5)'te değiştirerek, Fourier serisinin başka bir eşdeğer formunu elde ederiz:

ki bu bazen daha uygundur.

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramı.

Bu nedenle, belirli bir sinyal için Fourier serisinin katsayılarının grafik temsilini çağırmak gelenekseldir. Genlik ve faz spektral diyagramları vardır (Şekil 2.1).

Burada, harmonik frekansları yatay eksen boyunca belirli bir ölçekte çizilir ve bunların genlikleri ve başlangıç ​​fazları dikey eksen boyunca sunulur.

Pirinç. 2.1. Bazı periyodik sinyalin spektral diyagramları: a - genlik; b - faz

Periyodik bir sinyalin spektrumundaki belirli harmoniklerin yüzdesini değerlendirmenizi sağlayan genlik diyagramı özellikle ilgi çekicidir.

Birkaç spesifik örneğe bakalım.

Örnek 2.1. t = 0 noktasına göre bile bilinen parametrelere sahip dikdörtgen video darbelerinin periyodik dizisinin Fourier serisi.

Radyo mühendisliğinde oran, dizinin görev döngüsü olarak adlandırılır. Formüllerle (2.6) buluyoruz

Fourier serisinin son formülünü şu şekilde yazmak uygundur:

Şek. 2.2, iki uç durumda ele alınan dizinin genlik diyagramlarını gösterir.

Birbirini nadiren takip eden bir dizi kısa darbenin zengin bir spektral bileşime sahip olduğuna dikkat etmek önemlidir.

Pirinç. 2.2. Periyodik bir dikdörtgen video darbe dizisinin genlik spektrumu: a - büyük bir görev döngüsü ile; b - düşük görev döngüsü ile

Örnek 2.2. Fourier serisi, bir seviyede sınırlı formdaki harmonik bir sinyal tarafından oluşturulan periyodik bir darbe dizisidir (olduğu varsayılır).

tanıştıralım özel parametre- kesim açısı , orana göre belirlenir

Buna göre, değer açısal olarak ifade edilen bir darbenin süresine eşittir:

Ele alınan diziyi oluşturan impulsun analitik notasyonu şu şekildedir:

Sıra DC

Birinci harmoniğin tepe faktörü

Benzer şekilde, harmonik bileşenlerin genlikleri de hesaplanır.

Sonuçlar genellikle şöyle yazılır:

sözde Berg fonksiyonları nerede:

Bazı Berg fonksiyonlarının grafikleri, Şek. 2.3.

Pirinç. 2.3. Birkaç ilk Berg fonksiyonunun grafikleri

Sinyallerin spektral yoğunluğu. Doğrudan ve ters Fourier dönüşümleri.

Çoğu durumda, sinyal spektrumunu elde etme (hesaplama) görevi aşağıdaki gibidir. Fd örnekleme frekansı ile T süresi boyunca girişine gelen sürekli bir sinyali dijital okumalara - N parçaya dönüştüren bir ADC vardır. Daha sonra, okuma dizisi, bazı sayısal değerlerin N / 2'sini veren belirli bir programa beslenir (programcı internetten alıntı bir program yazdı, Fourier dönüşümünü yaptığını iddia ediyor).

Programın düzgün çalışıp çalışmadığını kontrol etmek için, iki sinüzoidal sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) toplamı olarak bir okuma dizisi oluşturacağız ve bunu programı. Programda şunlar çizildi:

şek.1 Sinyalin zaman fonksiyonunun grafiği

Şekil 2 Sinyal spektrumunun grafiği

Spektrum grafiğinde, tümü orijinal sinyalin formülünde olduğu gibi, 0,5 V genliğe sahip 5 Hz ve 10 Hz - 1 V genliğe sahip iki çubuk (harmonik) vardır. Her şey yolunda, aferin programcı! Program düzgün çalışıyor.

Bu, ADC'nin girişine iki sinüsoid karışımından gerçek bir sinyal uygularsak, iki harmonikten oluşan benzer bir spektrum elde edeceğimiz anlamına gelir.

Toplam, bizim gerçekölçülen sinyal, süre 5 saniye, ADC tarafından sayısallaştırıldı, yani temsil edildi ayrık sayar, sahip ayrık periyodik olmayan menzil.

Matematiksel bir bakış açısından, bu ifadede kaç tane hata var?

Şimdi yetkililer 5 saniyenin çok uzun olduğuna karar verdik, sinyali 0,5 saniyede ölçelim.



şek.3 0,5 sn ölçüm periyodu için sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) fonksiyonunun grafiği

şek.4 Fonksiyon spektrumu

Bazışeyler doğru değil! 10 Hz'lik harmonik normal olarak çizilir, ancak 5 Hz'lik bir çubuk yerine anlaşılmaz birkaç harmonik ortaya çıktı. İnternete bakıyoruz, ne ve nasıl ...

Numunenin sonuna sıfırların eklenmesi gerektiğini ve spektrumun normal çizileceğini söylüyorlar.

şek.5 5 saniyeye kadar bitmiş sıfırlar

şek.6 Spektrumu aldık

Hala 5 saniyedeki gibi değil. Teori ile uğraşmak zorundasın. Hadi gidelim Vikipedi- bilgi kaynağı.

2. Sürekli bir fonksiyon ve Fourier serisi ile gösterimi

Matematiksel olarak, T saniye süreli sinyalimiz (0, T) aralığında verilen belirli bir f(x) işlevidir (bu durumda X zamandır). Böyle bir fonksiyon her zaman şu şekildeki harmonik fonksiyonların (sinüs veya kosinüs) toplamı olarak temsil edilebilir:

(1), burada:

K - trigonometrik fonksiyon sayısı (harmonik bileşen sayısı, harmonik sayı)
T - işlevin tanımlandığı segment (sinyal süresi)
Ak - k'inci harmonik bileşenin genliği,
θk - k-inci harmonik bileşenin başlangıç ​​aşaması

"Bir fonksiyonu bir dizinin toplamı olarak temsil etmek" ne anlama gelir? Bu, Fourier serisinin harmonik bileşenlerinin her noktadaki değerlerini toplayarak bu noktadaki fonksiyonumuzun değerini elde edeceğimiz anlamına gelir.

(Daha kesin olarak, f(x) fonksiyonundan serinin standart sapması sıfır olma eğiliminde olacaktır, ancak standart yakınsamaya rağmen, fonksiyonun Fourier serisinin, genel olarak konuşursak, ona noktasal yakınsaması gerekli değildir. Bkz. https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series.)

Bu seri şu şekilde de yazılabilir:

(2),
nerede , k-inci karmaşık genlik.

(1) ve (3) katsayıları arasındaki ilişki aşağıdaki formüllerle ifade edilir:

Fourier serisinin tüm bu üç temsilinin tamamen eşdeğer olduğuna dikkat edin. Bazen Fourier serileri ile çalışırken sinüs ve kosinüs yerine hayali argümanın üslerini kullanmak, yani Fourier dönüşümünü karmaşık biçimde kullanmak daha uygundur. Ancak, Fourier serisinin karşılık gelen genlik ve fazlara sahip kosinüs dalgalarının toplamı olarak temsil edildiği formül (1)'i kullanmak bizim için uygundur. Her durumda, gerçek sinyalin Fourier dönüşümünün sonucunun harmoniklerin karmaşık genlikleri olacağını söylemek yanlıştır. Wiki'nin doğru bir şekilde söylediği gibi, "Fourier dönüşümü (ℱ), gerçek bir değişkenin bir işlevini, yine gerçek bir değişkenin başka bir işleviyle eşleyen bir işlemdir."

Toplam:
Sinyallerin spektral analizinin matematiksel temeli Fourier dönüşümüdür.

Fourier dönüşümü, belirli genliklere sahip sonsuz sayıda (sonsuz seri) trigonometrik fonksiyonların (sinüs ve/veya kosinüs) toplamı olarak segment (0, T) üzerinde tanımlanan sürekli bir f(x) (sinyal) fonksiyonunu temsil etmemizi sağlar. ve fazlar, segmentte de dikkate alınır (0, T). Böyle bir seriye Fourier serisi denir.

Fourier dönüşümünün sinyal analizine doğru uygulanması için anlaşılması gereken bazı noktalara daha dikkat çekiyoruz. X ekseninin tamamında Fourier serisini (sinüzoidlerin toplamı) ele alırsak, o zaman segmentin (0, T) dışında Fourier serisi tarafından temsil edilen fonksiyonun periyodik olarak fonksiyonumuzu tekrarlayacağını görebiliriz.

Örneğin, Şekil 7'deki grafikte, orijinal fonksiyon (-T \ 2, + T \ 2) segmentinde tanımlanmıştır ve Fourier serisi, x ekseninin tamamında tanımlanmış periyodik bir fonksiyonu temsil etmektedir.

Bunun nedeni, sinüsoidlerin kendilerinin sırasıyla periyodik fonksiyonlar olması ve toplamlarının periyodik bir fonksiyon olmasıdır.

Şekil 7 Periyodik olmayan bir orijinal fonksiyonun Fourier serisi ile gösterimi

Böylece:

Orijinal fonksiyonumuz süreklidir, periyodik değildir ve T uzunluğunda bir aralıkta tanımlanır.
Bu fonksiyonun spektrumu ayrıktır, yani sonsuz bir dizi harmonik bileşen - Fourier serisi olarak sunulur.
Aslında belirli bir periyodik fonksiyon, (0, T) doğru parçası üzerinde bizimki ile çakışan Fourier serisi tarafından tanımlanır, ancak bu periyodiklik bizim için gerekli değildir.

Harmonik bileşenlerin periyotları, orijinal f(x) fonksiyonunun tanımlandığı segmentin (0, T) katlarıdır. Başka bir deyişle, harmonik dönemler, sinyal ölçüm süresinin katlarıdır. Örneğin Fourier serisinin birinci harmoniğinin periyodu f(x) fonksiyonunun tanımlandığı T aralığına eşittir. Fourier serisinin ikinci harmoniğinin periyodu T/2 aralığına eşittir. Ve benzeri (bkz. Şekil 8).

şek.8 Fourier serisinin harmonik bileşenlerinin periyotları (frekansları) (burada T=2π)

Buna göre, harmonik bileşenlerin frekansları 1/T'nin katlarıdır. Yani, Fk harmonik bileşenlerinin frekansları, Fk= k\T'ye eşittir, burada k, 0 ila ∞ arasında değişir, örneğin, k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (sıfır frekansta - sabit bileşen).

Orijinal fonksiyonumuz T=1 sn için kaydedilen bir sinyal olsun. O zaman birinci harmoniğin periyodu, T1=T=1 sn sinyalimizin süresine eşit olur ve harmoniğin frekansı 1 Hz olur. İkinci harmoniğin periyodu, sinyalin süresinin 2'ye bölünmesine (T2=T/2=0,5 sn) eşit olacaktır ve frekansı 2 Hz'dir. Üçüncü harmonik için T3=T/3 sn ve frekans 3 Hz'dir. Ve benzeri.

Bu durumda harmonikler arasındaki adım 1 Hz'dir.

Böylece, 1 saniye süreli bir sinyal, 1 Hz frekans çözünürlüğü ile (bir spektrum elde etmek için) harmonik bileşenlere ayrıştırılabilir.
Çözünürlüğü 2 kat artırarak 0,5 Hz'e çıkarmak için, ölçüm süresini 2 kat - 2 saniyeye kadar artırmak gerekir. 10 saniyelik bir süreye sahip bir sinyal, 0,1 Hz'lik bir frekans çözünürlüğü ile (bir spektrum elde etmek için) harmonik bileşenlere ayrıştırılabilir. Frekans çözünürlüğünü artırmanın başka yolu yoktur.

Örnek dizisine sıfırlar ekleyerek sinyalin süresini yapay olarak artırmanın bir yolu vardır. Ancak gerçek frekans çözünürlüğünü artırmaz.

3. Ayrık sinyaller ve ayrık Fourier dönüşümü

Dijital teknolojinin gelişmesiyle birlikte ölçüm verilerinin (sinyallerin) saklanma biçimleri de değişti. Daha önce sinyal bir kayıt cihazına kaydedilebiliyor ve teybe analog biçimde kaydedilebiliyordu, şimdi sinyaller sayısallaştırılıyor ve bir dizi sayı (sayım) olarak bilgisayarın belleğindeki dosyalarda saklanıyor.

Bir sinyali ölçmek ve sayısallaştırmak için genel şema aşağıdaki gibidir.

şek.9 Ölçüm kanalının şeması

Ölçüm transdüserinden gelen sinyal, T süresi boyunca ADC'ye gelir. T süresi boyunca elde edilen sinyal örnekleri (örnek), bilgisayara aktarılır ve hafızada saklanır.

şek.10 Sayısallaştırılmış sinyal - T zamanında alınan N okuma

Sinyal sayısallaştırma parametreleri için gereksinimler nelerdir? Bir giriş analog sinyalini ayrık bir koda (dijital sinyal) dönüştüren bir cihaza analogdan dijitale dönüştürücü (ADC, İngilizce Analogdan dijitale dönüştürücü, ADC) (Wiki) denir.

ADC'nin ana parametrelerinden biri, maksimum örnekleme hızıdır (veya örnekleme hızı, İngilizce örnekleme hızı) - örnekleme sırasında zaman içinde sürekli bir sinyalin örneklerini alma sıklığı. Hertz cinsinden ölçülür. ((Wiki))

Kotelnikov teoremine göre, sürekli bir sinyal Fmax frekansı ile sınırlı bir spektruma sahipse, zaman aralıklarında alınan ayrı örneklerinden tamamen ve benzersiz bir şekilde geri yüklenebilir. , yani Fd ≥ 2*Fmaks frekansı ile, burada Fd - örnekleme oranı; Fmax - sinyal spektrumunun maksimum frekansı. Yani sinyal örnekleme oranı (ADC örnekleme oranı), ölçmek istediğimiz sinyalin maksimum frekansının en az 2 katı olmalıdır.

Ve Kotelnikov teoreminin gerektirdiğinden daha düşük frekansta okumalar yaparsak ne olur?

Bu durumda, dijitalleştirmeden sonra yüksek frekanslı sinyalin gerçekte var olmayan düşük frekanslı bir sinyale dönüştüğü "örtüşme" etkisi (aka stroboskopik etki, hareli etki) meydana gelir. Şek. 11 yüksek frekanslı kırmızı sinüs dalgası gerçek sinyaldir. Düşük frekanslı mavi sinüs dalgası, örnekleme süresi boyunca yüksek frekanslı bir sinyalin yarısından fazlasının geçmesi için zamana sahip olmasından kaynaklanan boş bir sinyaldir.

Pirinç. 11. Örnekleme oranı yeterince yüksek olmadığında yanlış bir düşük frekans sinyalinin görünümü

Örtüşmenin etkisini önlemek için, ADC örnekleme frekansının yarısının altındaki frekansları geçiren ve daha yüksek frekansları kesen ADC - LPF'nin (alçak geçiren filtre) önüne özel bir kenar yumuşatma filtresi yerleştirilmiştir.

Ayrık örneklerinden bir sinyalin spektrumunu hesaplamak için, ayrık Fourier dönüşümü (DFT) kullanılır. Ayrık bir sinyalin spektrumunun "tanım gereği" Fd örnekleme frekansının yarısından daha az olan Fmax frekansı ile sınırlı olduğunu bir kez daha not ediyoruz. Bu nedenle, ayrık bir sinyalin spektrumu, spektrumu sınırsız olabilen sürekli bir sinyalin Fourier serisi için sonsuz toplamın aksine, sonlu sayıda harmoniğin toplamı ile temsil edilebilir. Kotelnikov teoremine göre, maksimum harmonik frekansı, en az iki örneği hesaba katacak şekilde olmalıdır, bu nedenle harmonik sayısı, ayrık sinyalin örnek sayısının yarısına eşittir. Yani, numunede N numune varsa, spektrumdaki harmoniklerin sayısı N/2'ye eşit olacaktır.

Şimdi ayrık Fourier dönüşümünü (DFT) düşünün.

Fourier serisi ile karşılaştırma

DFT'deki sürenin ayrık olması ve harmonik sayısının N/2 ile sınırlı olması dışında bunların örtüştüğünü görüyoruz - örnek sayısının yarısı.

DFT formülleri, k, s boyutsuz tamsayı değişkenlerinde yazılır; burada k, sinyal örneklerinin sayısıdır, s, spektral bileşenlerin sayısıdır.
s değeri, T periyodunda (sinyal ölçümünün süresi) harmoniğin tam salınımlarının sayısını gösterir. Ayrık Fourier dönüşümü, harmoniklerin genliklerini ve fazlarını sayısal olarak bulmak için kullanılır, yani "bilgisayarda"

Başlangıçta elde edilen sonuçlara geri dönülür. Yukarıda belirtildiği gibi, periyodik olmayan bir fonksiyonu (bizim sinyalimizi) bir Fourier serisine genişletirken, elde edilen Fourier serisi aslında T periyoduna sahip periyodik bir fonksiyona karşılık gelir (Şekil 12).

şek.12 Т0 periyodu ile periyodik fonksiyon f(x), Т>T0 ölçüm periyodu ile

Şekil 12'de görülebileceği gibi, f(x) fonksiyonu Т0 periyodu ile periyodiktir. Ancak T ölçüm örneğinin süresinin T0 fonksiyonunun periyodu ile örtüşmemesi nedeniyle Fourier serisi olarak elde edilen fonksiyon T noktasında süreksizliğe sahiptir. Sonuç olarak bu fonksiyonun spektrumu içermek çok sayıda yüksek frekanslı harmonikler. Ölçüm numunesi T'nin süresi, T0 fonksiyonunun periyodu ile çakışırsa, Fourier dönüşümünden sonra elde edilen spektrumda yalnızca ilk harmonik (örnek süresine eşit bir periyoda sahip bir sinüzoidal) mevcut olacaktır, çünkü f fonksiyonu (x) bir sinüsoiddir.

Başka bir deyişle, DFT programı sinyalimizin "sinüs dalgasının bir parçası" olduğunu "bilmez", ancak periyodik bir işlevi, tek tek parçaların tutarsızlığından dolayı bir boşluk içeren bir seri olarak temsil etmeye çalışır. sinüs dalgası

Sonuç olarak, spektrumda, bu süreksizlik de dahil olmak üzere toplamda fonksiyonun biçimini temsil etmesi gereken harmonikler ortaya çıkar.

Bu nedenle, farklı periyotlara sahip birkaç sinüzoidin toplamı olan sinyalin "doğru" spektrumunu elde etmek için, sinyal ölçüm periyoduna her sinüzoidal periyodun tamsayısının uyması gerekir. Uygulamada, bu koşul, sinyal ölçümünün yeterince uzun bir süresi için karşılanabilir.

Şekil 13 Şanzımanın kinematik hatasının sinyalinin işlevine ve spektrumuna bir örnek

Daha kısa bir süre ile resim "daha kötü" görünecektir:

Şekil 14 Rotor titreşim sinyalinin işlevine ve spektrumuna bir örnek

Uygulamada, bileşenlerin periyotlarının ve sinyal örneğinin süresinin çok olmamasından veya sinyal örneğinin "sıçramaları ve kırılmalarından" kaynaklanan "gerçek bileşenlerin" nerede olduğunu ve "eserlerin" nerede olduğunu anlamak zor olabilir. dalga formu. Tabii ki, "gerçek bileşenler" ve "eserler" kelimelerinin alıntılanması boşuna değildir. Spektrum grafiğinde çok sayıda harmoniğin bulunması, sinyalimizin aslında bunlardan “olduğu” anlamına gelmez. Bu, 7 sayısının 3 ve 4 sayılarından "oluştuğunu" düşünmek gibidir. 7 sayısı, 3 ve 4 sayılarının toplamı olarak temsil edilebilir - bu doğru.

Sinyalimiz de öyle... veya daha doğrusu, “sinyalimiz” bile değil, sinyalimizin tekrarlanmasıyla derlenen periyodik bir fonksiyon (örnekleme), belirli genliklere ve fazlara sahip bir harmonikler (sinüzoidler) toplamı olarak temsil edilebilir. Ancak uygulama için önemli olan birçok durumda (yukarıdaki şekillere bakın), spektrumda elde edilen harmonikleri aşağıdakilerle ilişkilendirmek gerçekten mümkündür: gerçek süreçler Doğası gereği döngüsel olan ve sinyal şekline önemli bir katkı sağlayan.

Bazı sonuçlar

1. Gerçek ölçülen sinyal, süre T sn, ADC tarafından sayısallaştırılır, yani bir dizi ayrı örnekle (N adet) temsil edilir, bir dizi harmonikle (N/2 adet) temsil edilen, ayrı bir periyodik olmayan spektruma sahiptir ).

2. Sinyal bir dizi gerçek değerle temsil edilir ve spektrumu bir dizi gerçek değerle temsil edilir. Harmonik frekansları pozitiftir. Spektrumu negatif frekanslar kullanarak karmaşık bir biçimde temsil etmenin matematikçiler için daha uygun olması, “doğru” ve “her zaman böyle yapılması gerektiği” anlamına gelmez.

3. T zaman aralığında ölçülen sinyal, yalnızca T zaman aralığında belirlenir. Sinyali ölçmeye başlamadan önce ne oldu ve bundan sonra ne olacak - bu bilim tarafından bilinmiyor. Ve bizim durumumuzda - ilginç değil. Zaman sınırlı bir sinyalin DFT'si, belirli koşullar altında bileşenlerinin genliğini ve frekansını hesaplamanıza izin vermesi anlamında "gerçek" spektrumunu verir.

Kullanılmış malzemeler ve diğer yararlı malzemeler.

Temsil etmek için temel olarak kullanılabilecek çeşitli ortogonal fonksiyon sistemleri arasında radyo sinyalleri, istisnai bir yer harmonik (sinüs ve kosinüs) fonksiyonlar tarafından işgal edilir. Harmonik sinyallerin radyo mühendisliği için önemi birkaç nedenden kaynaklanmaktadır.

Özellikle:

1. Harmonik sinyaller, durağan lineer tarafından gerçekleştirilen dönüşümlere göre değişmez. elektrik devreleri. Böyle bir devre, bir harmonik salınım kaynağı tarafından uyarılırsa, devrenin çıkışındaki sinyal, giriş sinyalinden yalnızca genlik ve başlangıç ​​fazında farklı olarak aynı frekansta harmonik kalır.

2. Harmonik sinyaller üretme tekniği nispeten basittir.

Bir sinyal, farklı frekanslardaki harmonik salınımların toplamı olarak sunulursa, bu sinyalin spektral ayrışmasının gerçekleştirildiğini söylerler. Bir sinyalin bireysel harmonik bileşenleri, spektrumunu oluşturur.

2.1. Periyodik sinyaller ve Fourier serisi

Zaman içinde tekrar eden bir sürecin matematiksel modeli, aşağıdaki özelliğe sahip periyodik bir sinyaldir:

Burada T sinyalin periyodudur.

Görev, böyle bir sinyalin spektral ayrışmasını bulmaktır.

Fourier serisi.

Bölüm 1'de ele alınan zaman aralığını belirleyelim. Çok frekanslı harmonik fonksiyonların oluşturduğu ortonormal taban;

Bu temelde herhangi bir işlev, periyodiklik koşulunu (2.1) karşılar. Bu nedenle, - bu temelde sinyalin ortogonal açılımını gerçekleştirerek, yani katsayıları hesaplayarak

spektral ayrışmayı elde ederiz

zaman ekseninin sonsuzluğu boyunca geçerlidir.

(2.4) biçimindeki bir dizi, belirli bir sinyalin Fourier serisi olarak adlandırılır. Periyodik bir sinyal oluşturan dizinin temel frekansını tanıtalım. Genişleme katsayılarını formül (2.3) ile hesaplayarak, periyodik sinyal için Fourier serisini yazıyoruz.

katsayılı

(2.6)

Bu nedenle, genel durumda, periyodik bir sinyal, zamandan bağımsız bir sabit bileşen ve dizinin temel frekansının katları olan frekanslara sahip sözde harmonikler olarak adlandırılan sonsuz bir harmonik salınım seti içerir.

Her harmonik, genliği ve ilk fazı ile tanımlanabilir.Bunu yapmak için, Fourier serisinin katsayıları şu şekilde yazılmalıdır:

Bu ifadeleri (2.5)'te değiştirerek, Fourier serisinin başka bir eşdeğer formunu elde ederiz:

ki bu bazen daha uygundur.

Periyodik bir sinyalin spektral diyagramı.

Bu nedenle, belirli bir sinyal için Fourier serisinin katsayılarının grafik temsilini çağırmak gelenekseldir. Genlik ve faz spektral diyagramları vardır (Şekil 2.1).

Burada, harmonik frekansları yatay eksen boyunca belirli bir ölçekte çizilir ve bunların genlikleri ve başlangıç ​​fazları dikey eksen boyunca sunulur.

Pirinç. 2.1. Bazı periyodik sinyalin spektral diyagramları: a - genlik; b - faz

Periyodik bir sinyalin spektrumundaki belirli harmoniklerin yüzdesini değerlendirmenizi sağlayan genlik diyagramı özellikle ilgi çekicidir.

Birkaç spesifik örneğe bakalım.

Örnek 2.1. t = 0 noktasına göre bile bilinen parametrelere sahip dikdörtgen video darbelerinin periyodik dizisinin Fourier serisi.

Radyo mühendisliğinde oran, dizinin görev döngüsü olarak adlandırılır. Formüllerle (2.6) buluyoruz

Fourier serisinin son formülünü şu şekilde yazmak uygundur:

Şek. 2.2, iki uç durumda ele alınan dizinin genlik diyagramlarını gösterir.

Birbirini nadiren takip eden bir dizi kısa darbenin zengin bir spektral bileşime sahip olduğuna dikkat etmek önemlidir.

Pirinç. 2.2. Periyodik bir dikdörtgen video darbe dizisinin genlik spektrumu: a - büyük bir görev döngüsü ile; b - düşük görev döngüsü ile

Örnek 2.2. Fourier serisi, bir seviyede sınırlı formdaki harmonik bir sinyal tarafından oluşturulan periyodik bir darbe dizisidir (olduğu varsayılır).

Özel bir parametre sunuyoruz - kesme açısı , ilişkiden belirlenir

Buna göre, değer açısal olarak ifade edilen bir darbenin süresine eşittir:

Ele alınan diziyi oluşturan impulsun analitik notasyonu şu şekildedir:

Sıra DC

Birinci harmoniğin tepe faktörü

Benzer şekilde, harmonik bileşenlerin genlikleri de hesaplanır.

Sonuçlar genellikle şöyle yazılır:

sözde Berg fonksiyonları nerede:

Bazı Berg fonksiyonlarının grafikleri, Şek. 2.3.

Pirinç. 2.3. Birkaç ilk Berg fonksiyonunun grafikleri

Fourier serisinin karmaşık formu.

Periyodik bir sinyalin spektral ayrıştırması, hayali üslü üstellerden oluşan bir temel fonksiyonlar sistemi kullanılarak biraz iyonik olarak da gerçekleştirilebilir:

Bu sistemin fonksiyonlarının bir periyotla periyodik ve zaman aralığında ortonormal olduğunu görmek kolaydır, çünkü

Bu durumda rastgele bir periyodik sinyalin Fourier serisi şu şekli alır:

katsayılı

Genellikle kullanın aşağıdaki form kayıtlar:

İfade (2.11), karmaşık formda bir Fourier serisidir.

Formül (2.11)'e göre sinyalin spektrumu, negatif frekans yarı ekseni üzerindeki bileşenleri içerir ve . (2.11) serisinde, örneğin, pozitif ve negatif frekanslı terimler çiftler halinde birleştirilir.