Karmaşık bir fnp'nin toplam türevi. teorik malzeme

İki değişkenli bir fonksiyon düşünün:

$x$ ve $y$ değişkenleri bağımsız olduğundan, böyle bir fonksiyon için kısmi türev kavramını sunabiliriz:

$f$ fonksiyonunun $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ noktasında $x$ değişkenine göre kısmi türevi: sınır

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \sağ))(\Delta x)\]

Benzer şekilde, $y$ değişkenine göre kısmi türevi de tanımlayabiliriz:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \sağ))(\Delta y)\]

Başka bir deyişle, birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevini bulmak için, istenen değişken dışındaki tüm diğer değişkenleri düzeltmeniz ve ardından bu istenen değişkene göre adi türevi bulmanız gerekir.

Bundan, bu tür türevleri hesaplamak için ana teknik izlenir: basitçe, verilen dışındaki tüm değişkenlerin sabit olduğunu düşünün ve ardından işlevi, "sıradan" olanı - bir değişkenle - farklılaştırdığınız gibi farklılaştırın. Örneğin:

$\begin(hizala)& ((\left(((x)^(2))+10xy \sağ))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \sağ))^(\asal )_(x)+10y\cdot ((\left(x \sağ))^(\asal ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \sağ))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \sağ))^(\ asal )_(y)+10x\cdot ((\left(y \sağ))^(\asal ))_(y)=0+10x=10x. \\\bit(hizala)$

Açıkçası, farklı değişkenlere göre kısmi türevler farklı cevaplar verir - bu normaldir. Diyelim ki, birinci durumda neden sakince $10y$'ı türevin işaretinden çıkardığımızı ve ikinci durumda, birinci terimi tamamen geçersiz kıldığımızı anlamak çok daha önemli. Bütün bunlar, farklılaşmanın gerçekleştirildiği değişken dışındaki tüm harflerin sabit kabul edilmesinden kaynaklanmaktadır: çıkarılabilir, "yakılabilir" vb.

"Kısmi türev" nedir?

Bugün birkaç değişkenli fonksiyonlar ve bunların kısmi türevleri hakkında konuşacağız. İlk olarak, çok değişkenli bir fonksiyon nedir? Şimdiye kadar, bir fonksiyonu $y\left(x \right)$ veya $t\left(x \right)$ veya herhangi bir değişken ve ondan tek bir fonksiyon olarak düşünmeye alışmıştık. Şimdi bir fonksiyonumuz ve birkaç değişkenimiz olacak. $y$ ve $x$ değiştiğinde, fonksiyonun değeri değişecektir. Örneğin $x$ iki katına çıkarsa fonksiyonun değeri değişirken $x$ değişir ve $y$ değişmezse fonksiyonun değeri aynı şekilde değişir.

Tabii ki, birkaç değişkenli bir fonksiyon, tıpkı bir değişkenli bir fonksiyon gibi, türevlenebilir. Ancak birden fazla değişken olduğu için farklı değişkenlere göre farklılaşmak mümkündür. Bu durumda, bir değişkeni farklılaştırırken var olmayan belirli kurallar ortaya çıkar.

Her şeyden önce, herhangi bir değişkenin bir fonksiyonunun türevini düşündüğümüzde, hangi değişkenin türevini aldığımızı belirtmeliyiz - buna kısmi türev denir. Örneğin, iki değişkenli bir fonksiyonumuz var ve bunu hem $x$ hem de $y$ cinsinden hesaplayabiliriz - değişkenlerin her birinin iki kısmi türevi.

İkincisi, değişkenlerden birini sabitleyip ona göre kısmi türevi hesaplamaya başlar başlamaz, bu fonksiyona dahil olan diğerlerinin tümü sabit kabul edilir. Örneğin, $z\left(xy \right)$'da, $x$'a göre kısmi türevi ele alırsak, $y$ ile karşılaştığımız her yerde onu bir sabit kabul eder ve tam olarak bir sabit olarak ele alırız. Özellikle bir çarpımın türevini hesaplarken parantezden $y$'ı alabiliriz (bir sabitimiz var), toplamın türevini hesaplarken bir yerden $y$ içeren bir ifadenin türevini alabiliriz. ve $x$ içermiyorsa, bu ifadenin türevi, sabitin türevi olarak "sıfıra" eşit olacaktır.

İlk bakışta karmaşık bir şeyden bahsediyorum gibi görünebilir ve birçok öğrencinin ilk başta kafası karışır. Bununla birlikte, kısmi türevlerde doğaüstü hiçbir şey yoktur ve şimdi bunu belirli problemler örneğinde göreceğiz.

Radikaller ve polinomlarla ilgili problemler

Görev 1

Boşa zaman kaybetmemek için en baştan ciddi örneklerle başlayacağız.

Aşağıdaki formülle başlayayım:

Bu, standart kurstan bildiğimiz standart tablo değeridir.

Bu durumda türev $z$ aşağıdaki gibi hesaplanır:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)\]

Tekrar yapalım, çünkü kök $x$ değil, başka bir ifade, bu durumda $\frac(y)(x)$, o zaman önce standardı kullanacağız tablo değeri, ve sonra, kök $x$ değil, başka bir ifade olduğu için, türevimizi aynı değişkene göre bu ifadenin bir tane daha ile çarpmamız gerekiyor. Aşağıdakilerle başlayalım:

\[((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

İfademize dönüyoruz ve yazıyoruz:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \sağ)\]

Temel olarak, hepsi bu. Bununla birlikte, onu bu biçimde bırakmak yanlıştır: böyle bir yapının daha sonraki hesaplamalar için kullanılması elverişsizdir, bu yüzden onu biraz dönüştürelim:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Cevap bulundu. Şimdi $y$ ile ilgilenelim:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(y)\]

Ayrı ayrı yazalım:

\[((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Şimdi yazıyoruz:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Tamamlamak.

görev #2

Bu örnek, bir öncekinden hem daha basit hem de daha karmaşıktır. Daha zor, çünkü daha fazla eylem var, ancak daha kolay, çünkü kök yok ve ayrıca işlev $x$ ve $y$'ye göre simetrik, yani. $x$ ve $y$ yer değiştirirsek formül değişmez. Bu açıklama, kısmi türevin hesaplanmasını daha da basitleştirecektir, yani. birini hesaplamak yeterlidir ve ikincisinde sadece $x$ ve $y$'yi değiştirin.

İşe dönelim:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \sağ) )^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \sağ))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \sağ)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ) )_(x)(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))\]

sayalım:

\[((\left(xy \sağ))^(\asal ))_(x)=y\cdot ((\left(x \sağ))^(\asal ))=y\cdot 1=y\ ]

Ancak birçok öğrenci böyle bir kaydı anlamadığı için şöyle yazıyoruz:

\[((\left(xy \sağ))^(\asal ))_(x)=((\left(x \sağ))^(\asal ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \sağ))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Böylece, kısmi türev algoritmasının evrenselliğine bir kez daha ikna olduk: nasıl düşünürsek düşünelim, tüm kurallar doğru uygulanırsa cevap aynı olacaktır.

Şimdi büyük formülümüzden bir kısmi türevi daha ele alalım:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \sağ))^(\prime )_(x)+((\left(((y)^(2)) \sağ))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Ortaya çıkan ifadeleri formülümüzde değiştiririz ve şunu elde ederiz:

\[\frac(((\left(xy \sağ))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ sağ)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \sağ))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \sağ))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2) )))\]

$x$ sayıldı. Ve $y$'ı aynı ifadeden hesaplamak için, aynı işlem sırasını gerçekleştirmeyelim, orijinal ifademizin simetrisini kullanalım - orijinal ifademizdeki tüm $y$'ları $x$ ile değiştirelim ve bunun tersi de geçerlidir:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \sağ))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(2)))\]

Simetri nedeniyle bu ifadeyi çok daha hızlı hesapladık.

Çözümün nüansları

Kısmi türevler için, sıradan olanlar için kullandığımız tüm standart formüller, yani özelin türevi çalışır. Bununla birlikte, bu durumda, kendine özgü özellikleri ortaya çıkar: $x$'ın kısmi türevini düşünürsek, $x$'dan aldığımızda, onu bir sabit olarak kabul ederiz ve bu nedenle türevi " sıfır".

Alelade türevlerde olduğu gibi, bölüm (bir ve aynı) birkaç tane ile hesaplanabilir. Farklı yollar. Örneğin, az önce hesapladığımız yapı şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[((\left(\frac(y)(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \sağ)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \sağ))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Ancak öte yandan, türev toplamından formülü kullanabilirsiniz. Bildiğimiz gibi, türevlerin toplamına eşittir. Örneğin, aşağıdakileri yazalım:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \sağ))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Şimdi, tüm bunları bilerek, daha ciddi ifadelerle çalışmaya çalışalım, çünkü gerçek kısmi türevler yalnızca polinomlar ve köklerle sınırlı değildir: trigonometri, logaritmalar ve üstel bir fonksiyon vardır. Şimdi bunu yapalım.

Trigonometrik fonksiyonlar ve logaritmalarla ilgili problemler

Görev 1

Aşağıdaki standart formülleri yazıyoruz:

\[((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \sağ))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Bu bilgiyle donanmış olarak, çözmeye çalışalım:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]

Bir değişkeni ayrı ayrı yazalım:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \sağ))^(\prime )_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Tasarımımıza geri dönelim:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \sağ)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

$x$ için her şeyi bulduk, şimdi $y$ için hesaplamaları yapalım:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \sağ))^(\prime )_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=\]

Yine bir ifadeyi ele alalım:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \sağ))^(\prime )_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \sağ)\]

Orijinal ifadeye dönüyoruz ve çözüme devam ediyoruz:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Tamamlamak.

görev #2

İhtiyacımız olan formülü yazalım:

\[((\left(\ln x \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Şimdi $x$ ile sayalım:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$ tarafından bulundu. $y$ ile sayma:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \sağ)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \sağ))\ ]

Sorun çözüldü.

Çözümün nüansları

Dolayısıyla, hangi fonksiyonun kısmi türevini alırsak alalım, ister trigonometri ile, ister köklerle veya logaritmalarla çalışalım, kurallar aynı kalır.

Standart türevlerle çalışmanın klasik kuralları, yani toplam ve farkın türevi, bölüm ve karmaşık fonksiyon.

Son formül en çok kısmi türevli problemlerin çözümünde bulunur. Onlarla hemen hemen her yerde karşılaşıyoruz. Henüz orada rastlamadığımız tek bir görev olmadı. Ancak hangi formülü kullanırsak kullanalım, yine de bir gereksinim daha ekliyoruz, yani kısmi türevlerle çalışma özelliği. Bir değişkeni sabitlediğimizde, diğerleri sabittir. Özellikle, $\cos \frac(x)(y)$ ifadesinin $y$'a göre kısmi türevini düşünürsek, değişken $y$'dir ve $x$ her yerde sabit kalır. Aynı şey tam tersi şekilde çalışır. Türevin işaretinden çıkarılabilir ve sabitin kendisinin türevi "sıfır" olacaktır.

Bütün bunlar, aynı ifadenin kısmi türevlerinin, ancak farklı değişkenlere göre tamamen farklı görünebileceği gerçeğine yol açar. Örneğin, aşağıdaki ifadeleri göz önünde bulundurun:

\[((\left(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \sağ))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Üstel fonksiyonlar ve logaritmalarla ilgili problemler

Görev 1

Aşağıdaki formülü yazarak başlayalım:

\[((\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Bu gerçeği bilerek, karmaşık bir fonksiyonun türevinin yanı sıra, hesaplamaya çalışalım. Şimdi iki farklı şekilde çözeceğim. İlk ve en bariz olanı, ürünün türevidir:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))) \sağ) )^(\prime )_(x)=((\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y)))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]

Aşağıdaki ifadeyi ayrı ayrı çözelim:

\[((\left(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Orijinal tasarımımıza dönüyoruz ve çözüme devam ediyoruz:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\sağ)\]

Her şey, $x$ sayıldı.

Ancak söz verdiğim gibi şimdi aynı kısmi türevi farklı bir şekilde hesaplamaya çalışacağız. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Şöyle yazalım:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \sağ)\]

Sonuç olarak, tamamen aynı cevabı aldık, ancak hesaplamaların miktarı daha küçük çıktı. Bunu yapmak için, çarpım çarpıldığında üslerin eklenebileceğini fark etmek yeterliydi.

Şimdi $y$ ile sayalım:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))) \sağ) )^(\prime )_(y)=((\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y)))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=\]

Bir ifadeyi ayrı ayrı çözelim:

\[((\left(\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x))))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Orijinal yapımımızın çözümüne devam edelim:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) )\]

Tabii aynı türev ikinci şekilde de hesaplanabilir, cevap aynı olur.

görev #2

$x$ ile sayalım:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \sağ))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \sağ )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]

Bir ifadeyi ayrı ayrı sayalım:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Orijinal yapının çözümüne devam edelim: $$

İşte cevap.

$y$ ile analoji yoluyla bulmaya devam ediyor:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \sağ))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Her zamanki gibi bir ifadeyi ayrı ayrı sayalım:

\[((\left(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \sağ) )^(\prime )_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Ana yapının çözümüne devam ediyoruz:

Her şey sayılır. Gördüğünüz gibi, türev için hangi değişkenin alındığına bağlı olarak, cevaplar tamamen farklıdır.

Çözümün nüansları

İşte aynı fonksiyonun türevinin iki farklı şekilde nasıl hesaplanabileceğine dair canlı bir örnek. Buraya bak:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \sağ)=( (\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ left(1+\frac(1)(y)\sağ)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))).((e)^(\frac(x)(y))) \sağ)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \sağ))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \sağ))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \sağ)\ ]

Farklı yollar seçerken, hesaplama miktarı farklı olabilir, ancak her şey doğru yapılırsa cevap aynı olacaktır. Bu hem klasik hem de kısmi türevler için geçerlidir. Aynı zamanda bir kez daha hatırlatayım: türevin hangi değişkenden alındığına bağlı olarak yani. farklılaşma, cevap tamamen farklı olabilir. Bakmak:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \sağ) \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \sağ))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cnokta 1\]

Sonuç olarak, tüm bu materyali pekiştirmek için iki örnek daha saymaya çalışalım.

Trigonometrik fonksiyon ve üç değişkenli fonksiyon ile ilgili problemler

Görev 1

Bu formülleri yazalım:

\[((\left(((a)^(x)) \sağ))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \sağ))^(\prime ))=(((e)^(x))\]

Şimdi ifademizi çözelim:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \sağ))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \sağ))^(\prime ))_(x)=\]

Ayrı olarak, aşağıdaki yapıyı göz önünde bulundurun:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime )_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Orijinal ifadeyi çözmeye devam ediyoruz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Bu, $x$ için son özel değişken yanıtıdır. Şimdi $y$ ile sayalım:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \sağ))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \sağ))^(\prime ))_(y)=\]

Bir ifadeyi ayrı ayrı çözelim:

\[((\left(x\cdot \sin y \sağ))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime )_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Yapımımızı sonuna kadar çözüyoruz:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

görev #2

İlk bakışta, bu örnek oldukça karmaşık görünebilir, çünkü üç değişken vardır. Aslında bu, günümüzün video eğitimindeki en kolay görevlerden biridir.

$x$ ile bul:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \sağ))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \sağ))^(\prime )_(x)=\]

\[=((\left(x \sağ))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime )_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Şimdi $y$ ile ilgilenelim:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \sağ))^ (\prime )_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \sağ))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \sağ))^(\prime )_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Cevabı bulduk.

Şimdi geriye $z$ ile bulmak kalıyor:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \sağ))^(\prime )_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \sağ))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \sağ))^(\prime )_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \sağ))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

İkinci problemin çözümünün tamamen tamamlandığı üçüncü türevi hesapladık.

Çözümün nüansları

Gördüğünüz gibi, bu iki örnekte karmaşık bir şey yok. Gördüğümüz tek şey, karmaşık bir fonksiyonun türevinin sıklıkla kullanıldığı ve hangi kısmi türevi ele aldığımıza bağlı olarak farklı cevaplar aldığımızdır.

Son görevde, aynı anda üç değişkenli bir fonksiyonla ilgilenmemiz istendi. Bunda yanlış bir şey yok ama en sonunda hepsinin birbirinden önemli ölçüde farklı olduğundan emin olduk.

Anahtar noktaları

Bugünün video eğitiminden elde edilen nihai sonuçlar aşağıdaki gibidir:

1. Kısmi türevler, sıradan türevlerle aynı şekilde ele alınırken, kısmi türevi bir değişkene göre ele almak için, bu fonksiyonda yer alan diğer tüm değişkenleri sabit olarak alıyoruz.
2. Kısmi türevlerle çalışırken, sıradan türevlerle aynı standart formülleri kullanırız: toplam, fark, çarpım ve bölümün türevi ve tabii ki karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Tabii ki, bu eğitim videosunu tek başına izlemek, bu konuyu tam olarak anlamak için yeterli değildir, bu nedenle şu anda web sitemde bu özel video için bugünün konusuna ayrılmış bir dizi görev var - gidin, indirin, bu görevleri çözün ve cevabı kontrol edin. Ve bundan sonra, ne sınavlarda ne de derslerde kısmi türevlerde sorun yok. bağımsız iş yapmayacaksın Tabii ki, bu yüksek matematikteki son ders olmaktan çok uzak, bu yüzden web sitemizi ziyaret edin, VKontakte ekleyin, YouTube'a abone olun, beğenin ve bizimle kalın!

Örnek. Varsa, nerede bulun.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

Örnek. Kısmi türevi ve toplam türevi bulun, eğer .

Çözüm. .

Formül (2)'ye dayanarak, elde ederiz .

2°. Birkaç bağımsız değişken durumu.

İzin vermek z = f(x;y) - iki değişkenin işlevi X Ve y, her biri bir fonksiyondur

bağımsız değişken t: x = x(t), y = y(t). Bu durumda fonksiyon z=f(x(t);y(t)) dır-dir

bir bağımsız değişkenin karmaşık fonksiyonu T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.

teorem. Eğer z == F(X; y) - bir noktada türevlenebilir M(x;y)D işlev

Ve x = x(t) Ve de =YT) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T,

o zaman karmaşık fonksiyonun türevi z(t) == F(x(t);y(t)) formül ile hesaplanır

(3)

Özel durum: z = f(x;y), nerede y = y(x), onlar. z= f(x;y(x)) - karmaşık işlevi

bağımsız değişken X. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü

T oynar X. Formül (3)'e göre elimizde:

.

Son formül denir toplam türev için formüller.

Genel durum: z = f(x;y), Nerede x = x(u;v), y=y(u;v). O zaman z = f(x(u;v);y(u;v)) - karmaşık

bağımsız değişkenlerin işlevi Ve Ve V. Kısmi türevleri bulunabilir

aşağıdaki gibi formül (3) kullanılarak. sabitleme v, onun yerine koy

karşılık gelen kısmi türevler

Yani bileşik fonksiyonun (z) her bir bağımsız değişkene göre türevi (Ve Ve v)

ara maddesine göre bu fonksiyonun (z) kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.

değişkenler (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (u ve v).

Dikkate alınan tüm durumlarda, formül

(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).

Örnek. Bul ve eğer z= F(x,y), burada x=uv, .

1°. Bir bağımsız değişken durumu. z=f(x,y) bağımsız değişkenin türevlenebilir işlevleri olan x ve y bağımsız değişkenlerinin türevlenebilir bir işleviyse T: , o zaman karmaşık fonksiyonun türevi formülle hesaplanabilir

Örnek. Varsa, nerede bulun.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

Örnek. Kısmi türevi ve toplam türevi bulun, eğer .

Çözüm. .

Formül (2)'ye dayanarak, elde ederiz .

2°. Birkaç bağımsız değişken durumu.

İzin vermek z=F(X;y) - iki değişkenin işlevi X Ve y, her biri bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur t : x =X (t ), y =sen (T). Bu durumda fonksiyon z=F(X (T);sen (T)) bir bağımsız değişkenin karmaşık bir fonksiyonudur T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.

teorem. Eğer z == F(X; y) - bir noktada türevlenebilir M(x; y)D fonksiyon ve x =X (T) Ve de =sen (T) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T, o zaman karmaşık fonksiyonun türevi z(T) == F(X (T);sen (T)) formül ile hesaplanır

Özel durum:z = F(X; y), nerede y = y(x), onlar. z= F(X;sen (X)) - bir bağımsız değişkenin karmaşık fonksiyonu X. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü T oynar X. Formül (3)'e göre elimizde:

.

Son formül denir toplam türev için formüller.

Genel dava:z = F(X;y), Nerede x =X (sen;v),y=sen (sen;) O zaman z = F(X (sen;v);sen (sen;v)- bağımsız değişkenlerin karmaşık işlevi Ve Ve V. Kısmi türevleri ve formül (3) kullanılarak aşağıdaki gibi bulunabilir. sabitleme v, karşılık gelen kısmi türevlerle değiştiriyoruz

Yani bileşik fonksiyonun (z) her bir bağımsız değişkene göre türevi (Ve Ve v) ara değişkenlerine göre bu fonksiyonun (z) kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (u ve v).

Dikkate alınan tüm durumlarda, formül

(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).

Örnek. Bul ve eğer z = F(x ,y ), burada x =uv , .

Çözüm. (4) ve (5) formüllerini uygulayarak şunları elde ederiz:

Örnek. Fonksiyonun denklemi sağladığını gösterin .

Çözüm. İşlev, bir ara argüman aracılığıyla x ve y'ye bağlıdır, yani

Kısmi türevleri denklemin sol tarafında yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Yani, z fonksiyonu verilen denklemi sağlar.

Bir fonksiyonun belirli bir yönde türevi ve gradyanı

1°. Belirli bir yöndeki bir fonksiyonun türevi. türev fonksiyonlar z= F(x,y) bu yönde isminde , nerede ve noktalarda fonksiyonun değerleridir ve . Z fonksiyonu türevlenebilir ise, formül

yönler arasındaki açılar nerede ben ve karşılık gelen koordinat eksenleri. Belirli bir yöndeki türev, fonksiyonun bu yöndeki değişim oranını karakterize eder.

Örnek. OX ekseni ile 120 ° açı yapan yönde P (1; 0) noktasında z \u003d 2x 2 - Zu 2 fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm. Bu fonksiyonun kısmi türevlerini ve P noktasındaki değerlerini bulalım.

teorem.İzin vermek u = f(x, y) D alanında verilir ve x = x(t) Ve y = y(t) alanda tanımlanmış , ve ne zaman , o zaman x ve y D alanına aittir. Bir u fonksiyonunun bir M noktasında diferansiyellenebilir olmasına izin verin 0 (X 0 ,y 0 ,z 0)ve x işlevleri(T) ve de(T) karşılık gelen t noktasında türevlenebilir 0 , o zaman karmaşık fonksiyon u = f[X(T),y(T)]=F (T)t'de türevlenebilir 0 ve aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

.

Kanıt. u noktasında şartlı olarak türevlenebilir olduğundan ( X 0 , y 0), ardından toplam artışı şu şekilde temsil edilir:

Bu oranı bölerek şunu elde ederiz:

'deki limite geçelim ve formülü elde edelim.

.

1. açıklama Eğer sen= sen(x, y) Ve X= X, y= y(X), sonra fonksiyonun toplam türevi sen değişkene göre X

veya .

Son eşitlik, formda örtük olarak verilen bir değişkenin bir fonksiyonunu türevlendirme kuralını kanıtlamak için kullanılabilir. F(X, y) = 0, burada y= y(X) (3 numaralı konu ve örnek 14'e bakın).

Sahibiz: . Buradan . (6.1)

3 numaralı konunun 14. örneğine geri dönelim:

;

.

Gördüğünüz gibi cevaplar aynı.

2. açıklamaİzin vermek sen = F (x, y), Nerede X= X(T , ben), de= de(T , ben). O zaman u nihayetinde iki değişkenli karmaşık bir fonksiyondur. T Ve v. Şimdi u fonksiyonu bir noktada türevlenebilir ise M 0 (X 0 , y 0) ve işlevler X Ve de karşılık gelen noktada türevlenebilir ( T 0 , v 0), o zaman göre kısmi türev hakkında konuşabiliriz T Ve v bir noktadaki karmaşık bir fonksiyondan ( T 0 , v 0). Ancak, belirli bir noktada t'ye göre kısmi türevden bahsediyorsak, ikinci değişken v sabit ve şuna eşittir: v 0 . Bu nedenle, yalnızca karmaşık bir fonksiyonun t'ye göre türevinden bahsediyoruz ve bu nedenle türetilmiş formülü kullanabiliriz. Böylece elde ederiz.

z - f(x, y) fonksiyonunun xOy düzlemindeki bir D etki alanında tanımlanmasına izin verin. D bölgesinden bir iç nokta (x, y) alalım ve x'e (x + Ax, y) 6 D olacak şekilde x'e bir Ax artışı verelim (Şekil 9). Değere, z fonksiyonunun x'e göre kısmi artışı diyelim. Oranı oluşturun Belirli bir nokta (x, y) için, bu oran Tanımın bir fonksiyonudur. Ax -* 0 için ^ ilişkisinin sonlu bir limiti varsa, bu limite z = /(x, y) fonksiyonunun (x, y) noktasında bağımsız değişken x'e göre kısmi türevi denir ve jfc (veya /i(x, jj ) veya z "x (x, Aynı şekilde, tanım gereği veya aynı olan, Analogly If ve n bağımsız değişkenin bir fonksiyonuysa, o zaman Dikkate Alma) sembolü ile gösterilir Arz, y değişkeninin değeri değişmeden ve Atz, x değişkeninin değeri değişmeden hesaplandığında, kısmi türevlerin tanımları aşağıdaki gibi formüle edilebilir: Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı çok değişkenli bir fonksiyon Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Çok değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar z - /(x, y) fonksiyonunun y'ye göre kısmi türevi, x'in bir sabit olduğu varsayımı altında hesaplanan y'ye göre türevidir. Buradan, kısmi türevleri hesaplamak için kullanılan kuralların, tek değişkenli bir fonksiyon için ispatlanan kurallarla örtüştüğü sonucu çıkar. Örnek. Bir fonksiyonun kısmi türevlerini bulun 4 Değiştirmelerimiz* var. Tüm bağımsız değişkenlere göre kısmi türevlerin belirli bir noktasında bir y = /(x, y) fonksiyonunun varlığı, fonksiyonun bu noktada sürekliliği anlamına gelmez. Yani fonksiyon 0(0,0) noktasında sürekli değildir. Ancak bu noktada belirtilen işlev x ve y'ye göre kısmi türevleri vardır. Bu, /(x, 0) = 0 ve /(0, y) = 0 olduğu gerçeğinden ve dolayısıyla iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamından çıkar.Üç boyutlu uzayda S yüzeyi şöyle olsun: f(x, y)'nin bir D bölgesinde sürekli olan ve burada x ve y'ye göre kısmi türevleri olan bir fonksiyon olduğu denklemle verilir. Bu türevlerin geometrik anlamını z = f(x)y yüzeyinde f(x0)yo) noktasının karşılık geldiği Mo(x0, y0) 6 D noktasında bulalım. M0 noktasında kısmi türevi bulurken, z'nin yalnızca x bağımsız değişkeninin bir işlevi olduğunu varsayarken, y bağımsız değişkeni y \u003d yo sabit değerini korur, yani. fi (x) işlevi geometrik olarak L eğrisi ile temsil edilir , S yüzeyinin y \u003d düzlemiyle yaklaşık olarak kesiştiği. Tek değişkenli bir fonksiyonun türevinin geometrik anlamından dolayı, f \ (xo) = tg a, burada a, Öküz ekseni ile JV0 noktasında L çizgisine teğetin oluşturduğu açıdır (Şekil 10) . Ama böylece Kısmi türev ($|), Öküz ekseni arasındaki a açısının tanjantına ve z \u003d / (x, y) yüzeyi bölümünde elde edilen eğriye N0 noktasındaki teğete eşittir. y düzlemi ile Benzer şekilde, §6'yı elde ederiz. Çok Değişkenli Bir Fonksiyonun Türevlenebilirliği z = /(x, y) fonksiyonu, xOy düzleminde bazı D tanım kümesinde tanımlansın. Bir nokta (x, y) € D alalım ve seçilen x ve y değerlerine Ax ve Dy artımlarını verelim, ancak öyle ki nokta. Tanım. Argümanların Dx, Dy artışlarına karşılık gelen bu fonksiyonun toplam artışı, A ve B'nin olduğu yerde temsil edilebiliyorsa, r = /(x, y) işlevine türevlenebilir * noktası (x, y) € 2E denir. Dx ve D y'ye bağlı değiller (ancak genel olarak x ve y'ye bağlılar), a(Ax, Dy) ve f(Ax, Dy) Ax ve Dy sıfıra doğru eğilirken sıfıra eğilimlidirler. . Eğer z = /(x, y) fonksiyonu (x, y) noktasında türevlenebilirse, fonksiyonun Dx ve Dy'ye göre lineer artışının A Dx 4 - VDy kısmına toplam diferansiyel denir noktasında bu fonksiyonun (x,y) ve dz sembolü ile gösterilir: Tanim yolu, örnek. r = x2 + y2 olsun. Herhangi bir noktada (r, y) ve herhangi bir Dx ve Dy için buradayız. a ve /3'ün Ax ve Dy sıfıra eğilimli olduğu için sıfıra eğilimli olduğu sonucu çıkar. Tanım olarak, verilen fonksiyon xOy düzleminde herhangi bir noktada türevlenebilir. Burada, muhakememizde Dx, Dy artışlarının ayrı ayrı veya hatta her ikisinin birden sıfıra eşit olduğu durumu resmi olarak dışlamadığımızı not ediyoruz. Formül (1) ifadesini (noktalar arasındaki mesafe) tanıtırsak daha kompakt bir şekilde yazılabilir (Bunu kullanarak, ifadeyi e ile parantez içinde yazarak yazabiliriz, c'nin J'ye bağlı olduğu yere, Du'ya sahip olacağız ve eğer sıfıra eğilimliyse J 0 ve Dy 0 veya kısaca p 0 ise. z = f(xt y) fonksiyonunun (x, y) noktasında türevlenebilir olması koşulunu ifade eden Formül (1) artık yazılabilir Yukarıdaki Örnek 6.1'de olduğu gibi Teorem 4. Eğer r = f(x, y) fonksiyonu bir noktada türevlenebilirse, o zaman o noktada süreklidir.4 Eğer r = f(x, y) fonksiyonu türevlenebilir ise (x, y) noktasında, bağımsız değişkenlerin j ve dy artışlarına karşılık gelen bu noktadaki i fonksiyonunun artışının toplamı, Teorem b şeklinde temsil edilebilir. f(x, y) verilen bir noktada türevlenebilir, mo o o u. ) bir (x, y) noktasına göre türevlenebilir. Argümanların Dx, Ay artışlarına karşılık gelen bu fonksiyonun Dx artışı, (1) biçiminde gösterilebilir. (1) Dx F 0, Dn = 0 eşitliğini alarak, nereden Son eşitliğin sağ tarafında A değerine bağlı olmadığı için, Bu, (x, y) noktasında kısmi olduğu anlamına gelir. r \u003d / (x, y) fonksiyonunun x'e göre türevi ve benzer bir akıl yürütme ile şunu görebiliriz (x, zу fonksiyonunun kısmi bir türevi vardır ve teoremden şunu vurgularız: Teorem 5 kısmi türevlerin yalnızca (x, y) noktalarında olduğunu iddia eder, ancak süreklilikleri hakkında hiçbir şey söylemez. xo noktasındaki bir değişkenin y = f(x)'i, x0 noktasında /"(x) türevinin sonlu bir varlığıdır. Fonksiyonun birkaç değişkene bağlı olması durumunda, durum çok daha karmaşıktır: iki bağımsız değişken x, y'nin z = /(x, y) fonksiyonu için türevlenebilirlik için gerekli ve yeterli koşullar yoktur; Yalnızca ayrı ayrı gerekli koşullar vardır (cf. yukarıda) ve ayrı olarak - yeterli. Birkaç değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için bu yeterli koşullar aşağıdaki teorem ile ifade edilir. teorem c. Bir fonksiyonun ince çizginin (xo, y0) bazı komşuluklarında /£ ve f"v kısmi türevleri varsa ve bu türevler (xo, y0) noktasında sürekli ise, o zaman z = f(x, y) fonksiyonu ) noktasında türevlenebilir (x- Örnek Bir fonksiyonu ele alalım Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı Çok değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar çok değişkenli Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Karmaşık bir fonksiyonun türevleri Her yerde tanımlanır Kısmi türevlerin tanımına dayanarak, bu fonksiyonun ™'sini 0(0, 0) noktasında buluruz ve bunun artışı 0'ı keskinleştirir ve Du 0. D0 koyduk Sonra formül (1) 'den sahip olacağız Bu nedenle, / (x, y) \u003d fonksiyonları 0 (0, 0) noktasında farklılaştırılamaz, ancak bu noktada fa üretiyoruz. ve f "r Elde edilen sonuç, f"z ve f"t türevlerinin §7 noktasında süreksiz olması ile açıklanmaktadır. tam diferansiyel Kısmi diferansiyeller r - f(z> y) işlevi türevlenebilir ise, son diferansiyeli dz eşittir A \u003d B \u003d w olduğuna dikkat ederek, formül (1)'i aşağıdaki biçimde yazarız. Bir fonksiyonun bağımsız değişkenlere diferansiyeli, bağımsız değişkenlerin diferansiyellerini artışlarına eşitlemek: Bundan sonra, fonksiyonun toplam diferansiyeli için formül örnek alır. i - 1l(x + y2) olsun. Benzer şekilde, eğer u =) n bağımsız değişkenin türevlenebilir bir fonksiyonuysa, o zaman İfade, x değişkenine göre z = f(x, y) fonksiyonunun yalın diferansiyeli olarak adlandırılır; ifade, y değişkeninin z = /(x, y) fonksiyonunun kısmi diferansiyeli olarak adlandırılır. Formül (3), (4) ve (5)'ten, bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin kısmi diferansiyellerinin toplamı olduğu sonucu çıkar: Genel olarak konuşursak, z fonksiyonunun Az toplam artışının /(x, y) olduğuna dikkat edin. , kısmi artışların toplamına eşit değildir. Bir (x, y) noktasında y = /(x, y) fonksiyonu türevlenebilirse ve bu noktada diferansiyel dz Φ 0 ise, toplam artışı doğrusal kısmından yalnızca son terimlerin toplamı kadar farklılık gösterir aAx 4 - /?0 ve Ay --> O, doğrusal kısmın terimlerinden daha yüksek mertebeden sonsuz küçüklerdir. Bu nedenle, dz Ф 0 olduğunda, türevlenebilir fonksiyonun artışının doğrusal kısmına, fonksiyonun artışının ana kısmı denir ve artışların mutlak değeri ne kadar küçük olursa o kadar doğru olacak yaklaşık bir formül kullanılır. argümanlar. §8. Karmaşık bir fonksiyonun türevleri 1. Fonksiyon xOy düzleminde bir D alanında tanımlansın ve x, y değişkenlerinin her biri sırayla t argümanının bir fonksiyonu olsun: aralık (karşılık gelen noktalar (x, y) D bölgesinin dışına çıkmaz. Değerleri z = / (x, y) fonksiyonunda değiştirirsek, o zaman bir değişken t'nin karmaşık bir fonksiyonunu elde ederiz. ve karşılık gelen değerler için / (x, y) fonksiyonu türevlenebilir, o zaman t noktasındaki karmaşık fonksiyonun bir türevi vardır ve M t'ye bir Dt artışı verelim. O zaman x ve y, Ax ve Dy'nin bazı artışlarını alacaktır. sonuç olarak, (J)2 + (Dy)2 ∩ 0 için, z fonksiyonu aynı zamanda, (x, y) noktasında z = f , y) fonksiyonunun türevlenebilirliğinden dolayı bir miktar Dt artışı alacaktır. a)'nın Ax ve Du'nun sıfıra eğilimli olduğu şekilde sıfıra eğilimli olduğu şekilde temsil edilsin. Ax = Ay = 0 için a ve /3'ü a ayarlayarak tanımlayalım. Sonra a(, J = Dy = 0 için sürekli olacaktır. Türevlerin varlığından kaynaklanan sınırlar olması koşuluyla, verilen ilişki için ilişkinin sabit olduğunu düşünün ^ ve £ noktasında, x = y(t) ve y = fonksiyonlarının bu noktada sürekli olduğu sonucu çıkar; bu nedenle, 0'da hem J hem de Dy sıfıra eğilimlidir, bu da a(Ax, Dy) ve P'yi gerektirir. (Ax, Ay) sıfıra eğilimlidir.Bu nedenle, eşitliğin (2) 0'daki sağ tarafı şuna eşit bir limite sahiptir: Bu nedenle, (2)'nin sol taraftaki limiti 0'da mevcuttur, yani, vardır. eşittir (2)'yi At -» 0 olarak sınıra geçirerek gerekli formülü elde ederiz. Sonuç olarak, z'nin x'in karmaşık bir fonksiyonu olduğu özel durumda, y) bölü x'i elde ederiz, bunun hesaplanmasında f(x, y) ifadesi, y argümanı bir sabit, sabit olarak alınır ve sırayla x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilir: y = tp(x)t ve dolayısıyla z'nin x'e bağımlılığı tamamen alınır hesaba katmak. Örnek. Bul ve jg if 2. Şimdi birkaç değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevini düşünün. Sırayla nerede olsun ki (() noktasında u, 3? sürekli kısmi türevler olduğunu ve /(x, y) fonksiyonunun türevlenebilir olduğu ilgili noktada (x, y) olduğunu varsayalım. bu koşullar altında karmaşık fonksiyon z = z(() y) t7) noktasında türevlere ve u'ya sahiptir ve bu türevler için ifadeler buluruz. Bu durumun daha önce çalışılandan önemli ölçüde farklı olmadığına dikkat edin. Gerçekten de z, £'a göre türevlendiğinde, ikinci bağımsız değişken rj bir sabit olarak alınır ve bunun sonucunda x ve y, bu işlemde aynı değişken x" = c), y = c)'nin fonksiyonları haline gelir, ve türev Φ sorusu, formül (3) türetilirken türev sorusuyla tamamen aynı şekilde çözülür. karmaşık bir fonksiyon “Formüllerle belirtilir, böylece uygun koşullar altında, And = olduğu özel durumda Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı Birkaç değişkenli bir fonksiyonun diferansiyellenebilirliği için Gerekli koşullar bir fonksiyonun türevlenebilirliği Birkaç değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar Tam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Karmaşık bir fonksiyonun türevlerine sahibiz y, d) x cinsinden, k hesaplanırken