Periodikus jelek Fourier-soros ábrázolása. Fourier-sor segítségével periodikus nem-harmonikus jelek spektrumának elemzésére négyszögletes impulzusok periodikus sorozatának példáján
Olvassa el is
Tanfolyamok számításból
Témakör: A Fourier-sor parciális összegeinek és spektrális jellemzőinek kiszámítása explicit függvényhez
jel Fourier spektrumfüggvény
1. A fizikai folyamat modellje
A feladat megoldása elméleti számításokkal
Problémamegoldási példa
Példa egy probléma megoldására a Matlab környezet R2009a
Bibliográfia
1. A fizikai folyamat modellje
matematikai modell az idő valamilyen funkciója rádiójelként szolgálhat f(t) . Ez a függvény lehet valós vagy összetett, egydimenziós vagy többdimenziós, determinisztikus vagy véletlenszerű (zajos jelek). A rádiótechnikában ugyanaz a matematikai modell írja le azonos sikerrel az áramot, a feszültséget és az intenzitást. elektromos mező stb.
Tekintsük a valódi egydimenziós determinisztikus jeleket
A függvényhalmazokat (jeleket) általában lineáris funkcionális normatereknek tekintik, amelyekben a következő fogalmakat és axiómákat vezetik be:
) minden lineáris téraxióma teljesül;
) két valós jel skaláris szorzatát a következőképpen definiáljuk:
) két jelet ortogonálisnak nevezünk, ha skalárszorzata nulla;
) az ortogonális jelek rendszere végtelen dimenziós koordinátabázist alkot, amelyben a lineáris térbe tartozó bármely periodikus jel kiterjeszthető;
A különböző ortogonális függvényrendszerek közül, amelyekben a jel felbontható, a leggyakoribb a harmonikus (szinusz és koszinusz) függvényrendszer:
Valamely periodikus jel különböző frekvenciájú harmonikus rezgések összegeként való megjelenítését a jel spektrális ábrázolásának nevezzük. A jel egyes harmonikus összetevői alkotják a spektrumát. Matematikai szempontból a spektrális ábrázolás ekvivalens egy periodikus függvény (jel) Fourier-sorrá való kiterjesztésével.
A függvények spektrális dekompozíciójának jelentősége a rádiótechnikában több okból is adódik:
) könnyű a jel tulajdonságainak tanulmányozása, mert a harmonikus függvények jól tanulmányozottak;
) tetszőleges jel generálásának lehetősége, mert a harmonikus jelek előállításának technikája meglehetősen egyszerű;
) a jelek rádiócsatornán keresztüli továbbításának és vételének egyszerűsége, tk. A harmonikus rezgés az idő egyetlen olyan függvénye, amely bármely lineáris áramkörön áthaladva megtartja alakját. Az áramkör kimenetén a jel azonos frekvenciával harmonikus marad, csak az amplitúdó és az oszcilláció kezdeti fázisa változik;
) a jel szinuszokra és koszinuszokra bontása lehetővé teszi a harmonikus rezgések lineáris áramkörökön keresztüli átvitelének elemzésére kifejlesztett szimbolikus módszer alkalmazását.
A fizikai folyamat modelljeként vegye figyelembe a szív elektrokardiogramját.
2. A feladat megoldása elméleti számításokkal
1. feladat:
Leírjuk a Fourier-sor segítségével egy periodikusan ismétlődő impulzust az elektrokardiogram szakaszban, az ún. QRS komplexet.
A QRS komplexet a következő darabonkénti lineáris függvénnyel definiálhatjuk
Ahol
Ez a funkció periodikusan egy ponttal folytatható T=2l.
Fourier függvénysorok:
1. definíció: A függvény meghívása darabonként folyamatos az [a, b] szakaszon, ha ennek a szakasznak minden pontjában folytonos, kivéve egy véges számú pontot, ahol a véges egyoldali határai léteznek.
2. definíció: A függvényt hívják darabonként simára valamilyen intervallumon, ha ez és származéka darabonként folytonos.
1. tétel (Dirichlet-próba): Egy szakaszon lévő darabonként sima függvény Fourier-sora f(x) a folytonosság minden pontján konvergál a függvény azon ponton lévő értékéhez és a folytonossági pontok minden pontjához.
Függvényünk kielégíti a tétel feltételeit.
Egy adott függvényre a Fourier-sor alábbi együtthatóit kapjuk:
A Fourier-sor összetett formája
A sorozat összetett formában történő ábrázolásához az Euler-képleteket használjuk:
Bemutatjuk a jelölést:
Ezután a sorozatot át lehet írni
Ezenkívül az összetett Fourier-sorok együtthatói közvetlenül is megkaphatók a képlet segítségével történő kiszámítással
Írjuk fel összetett formában az adott függvény Fourier-sorát
A sorozat spektrális jellemzői
Kifejezés 
a Fourier sorozatban az ún nth harmonikus. Ismeretes, hogy
hol vagy
, 
Aggregátumok, ill amplitúdó és fázisspektrum periodikus függvény.
Grafikusan a spektrumok hosszúságú szegmensekként jelennek meg, amelyek merőlegesek arra a tengelyre, amelyen az értéket ábrázoltuk. n= 1,2 ... vagy .
A megfelelő spektrum grafikus ábrázolását amplitúdó- vagy fázisdiagramnak nevezzük. A gyakorlatban leggyakrabban az amplitúdóspektrumot használják.
.Példa problémamegoldásra
2. feladat: Fontolgat konkrét példa feladatok a kiválasztott fizikai folyamatmodellhez.
Folytatjuk ezt a függvényt a teljes valós tengelyre, egy periodikus függvényt kapunk f(x)
T=2 periódussal l=18 (1. ábra).
Rizs. 1. Egy periodikusan folytatódó függvény grafikonja
Számítsuk ki az adott függvény Fourier-együtthatóit.
A sorozat részösszegeit írjuk:
Rizs. 2. A Fourier-sor részösszegeinek grafikonjai
A növekedéssel n a részösszegek grafikonjai a folytonossági pontokban megközelítik a függvény grafikonját f(x)
. A folytonossági pontokon a részösszegek értékei közelednek 
.
Készítsük el az amplitúdó- és fázisdiagramokat.
negyedét tekintve.
asztal
4. Példa egy probléma megoldására a Matlab R2009a környezetben 3. feladat: Példaként vegyük a teljes PR és QT intervallumot. Rizs Ehhez a függvényhez ábrázoljon részösszeg grafikonokat, valamint amplitúdó- és fázisdiagramokat. Vegyünk konkrét paraméterértékeket a feladatunkhoz: Szkript a szükséges grafikonok és diagramok elkészítéséhez. A szkript lehetővé teszi számos hasonló probléma megoldását a Q, R, S pontok paramétereinek és koordinátáinak kiválasztásával. A FOURIER SOROZAT RÉSZÖSZGEINEK ÉS SPEKTRÁLIS JELLEMZŐIINEK KISZÁMÍTÁSA AZ EXPLICIT %Spektrális elemzés.L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase=18;=6; I2=10; Q=11; Qy= -2; R=12; Ry=17; S=13; Sy=-4; I3=15; I4=20; I5=26;=2; T=3; ExprNum=9;=250;=30;=0;jelző == 0=1;(k<15) k = menü("Paraméterek módosítása", ... sprintf (" 1. paraméter P = %g", P),...(" 2. paraméter I1 = %g", I1),...(" 3. paraméter I2 = %g", I2),...(" 4. paraméter Qx = %g", Q),...(" 5. paraméter Qy = %g", Qy),...(" 6. paraméter Rx = %g", R),...(" 7. paraméter Ry = %g", Ry),...(" 8. paraméter Sx = %g", S),...(" 9. paraméter Sy = %g", Sy),...(" 10. paraméter I3 = %g", I3),.. .(" 11. paraméter I4= %g", I4),...(" 12. paraméter T = %g", T),...(" 13. paraméter I5 = %g", I5),...(" 13. paraméter Ns = %g", Ns),... " Folytatás ");k==1,= input(); endk==2,= input(); endk==3,= input(); endk==4,= input(); endk==5,= input(); endk==6,= input(); endk==7,= input(); " Új érték Sx= "]); endk==9,= input(); endk==10,= input(); endk==11,= input(); endk==12,= input(); endk==13,= input() endk==14,= input() %Paraméterek alkalmazása=Qy/(Q-I2); v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry) *S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=13*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=hossz(t) );=nullák(1,Dim);=floor(I1*N/2/L)+1;=floor((I2-I1)*N/2/L)+1;=floor((Q-I2) *N/2/L)+1;=emelet((R-Q)*N/2/L)+1;= emelet((S-R)*N/2/L)+1;= emelet((I3-S) *N/2/L)+1;= emelet((I4-I3)*N/2/L)+1;= emelet((I5-I4)*N/2/L)+1;= emelet(( 2*L-14)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2(i)=0; i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i) =a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d;i=(u5 +u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1 ): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+ u4 +u3+u2+u1)(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set(gca "FontName","Arial Cyr","FontSize",16); title("Folyamatgrafikon"); xlabel("Idő (s)"); ylabel("Y(t)"); Részösszeg diagram n=0;j=1:ExprNum=j;j1=quad(@f, 0, I1);2=a0+quad(@f, I1, I2);3=a0+quad(@f, I2, Q );4=a0+quad(@f, Q, R);5=a0+quad(@f, R, S);6=a0+quad(@f, S, I3);7=a0+quad( @f, I3, I4);8=a0+quad(@f, I4, I5);9=a0+quad(@f, I5, 2*L);=a0/L;=nullák(1,Ns) ;=nulla(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=quad(@f, 0, I1);(i)=quad(@g, 0 , I1);2(i)=an(i)+quad(@f, I1, I2);(i)=bn(i)+quad(@g, I1, I2);3(i)=an( i)+quad(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+quad(@g, I2, Q);4(i)=an(i)+quad(@f, Q, R );(i)=bn(i)+quad(@g, Q, R);5(i)=an(i)+quad(@f, R, S);(i)=bn(i)+ quad(@g, R, S);6(i)=an(i)+quad(@f, S, I3);(i)=bn(i)+quad(@g, S, I3);7 (i)=an(i)+quad(@f, I3, I4);(i)=bn(i)+quad(@g, I3, I4);8(i)=an(i)+quad( @f, I4, I5);(i)=bn(i)+quad(@g, I4, I5);9(i)=an(i)+quad(@f, I5, 2*L);( i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);(i)=an(i)/L;(i)=bn(i)/L;=t;=nullák(1, hossz(x));=fn+a0/2;i=1:Ns=i;=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi *x/L);(t,y,x,fn,"LineWidth",2), grid, set(gca,"Betűtípusnév","Arial Cyr","Betűméret",16); title("Jel és részösszeg grafikonja"); xlabel("Idő (s)"); ylabel(sprintf("Sn(t)")); % Plot Amplitúdó Plot=nullák(1, Ns); wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,". "), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Jelamplitúdó diagram"); xlabel("n"); ylabel("An"); %Plot jel fázisdiagram = nullák(1, Ns); ha i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i)<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."),
grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала");
xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить
работу-<3>, folytatni - 1. Fikhtengolts, G.M. Differenciál- és integrálszámítás tantárgy: 3 kötetben, M., 1997. 3 kötet. Vodnev, V. T., Naumovich, A. F., Naumovich, N. F., Alapvető matematikai képletek. Minszk, 1998 Kharkevich, A.A., Spektra és elemzés. Moszkva, 1958 Lazarev, Yu. F., A programozás kezdetei a MatLAB környezetben. Kijev 2003. Demidovich, B.P. Matematikai elemzési feladat- és gyakorlatgyűjtemény, M., 1988.
Listairodalom
A jelet hívják időszakos, ha alakja időben ciklikusan ismétlődik. A periodikus jeleket általában a következőképpen írják fel:
Itt van a jel periódusa. A periodikus jelek lehetnek egyszerűek és összetettek is.
A periodikus jelek periódusos matematikai ábrázolására gyakran használják ezt a sorozatot, amelyben több frekvenciájú harmonikus (szinuszos és koszinuszos) oszcillációt választanak alapfüggvényként:
Ahol . - a függvénysorozat alapvető szögfrekvenciája. Harmonikus bázisfüggvényekkel ebből a sorozatból egy Fourier-sort kapunk, amely a legegyszerűbb esetben a következő formában írható fel:
ahol együtthatók
A Fourier-sorból látható, hogy általános esetben egy periodikus jel az alapfrekvencia és a frekvenciákkal rendelkező harmonikusok állandó komponensét és harmonikus rezgéseinek halmazát tartalmazza. A Fourier-sor minden harmonikus rezgését amplitúdó és kezdeti fázis jellemzi.
Periodikus jel spektruma és spektruma.
Ha bármely jel különböző frekvenciájú harmonikus rezgések összegeként jelenik meg, akkor ez azt jelenti, hogy spektrális dekompozíció jel.
Spektrális diagram jelet e jel Fourier-sorának együtthatóinak grafikus ábrázolásának nevezzük. Vannak amplitúdó- és fázisdiagramok. Ezen diagramok felépítéséhez egy bizonyos léptékben a harmonikus frekvenciákat a vízszintes tengely mentén, amplitúdóikat és fázisaikat pedig a függőleges tengely mentén ábrázolják. Ezenkívül a harmonikusok amplitúdói csak pozitív értékeket vehetnek fel, a fázisok - mind pozitív, mind negatív értékeket az intervallumban.
Periodikus jel spektrális diagramja:
a) - amplitúdó; b) - fázis.
Jel spektrum- ez egy harmonikus komponens készlete meghatározott frekvenciákkal, amplitúdókkal és kezdeti fázisokkal, amelyek összesen jelet alkotnak. A gyakorlatban a spektrális diagramokat rövidebben nevezik - amplitúdó spektrum, fázisspektrum. A legnagyobb érdeklődés az amplitúdó spektrális diagram iránt mutatkozik. Használható a spektrum harmonikusainak százalékos arányának becslésére.
A távközlési technológiában a spektrális jellemzők fontos szerepet játszanak. A jel spektrumának ismeretében helyesen kiszámíthatja és beállíthatja az erősítők, szűrők, kábelek és egyéb kommunikációs csatornák csomópontjainak sávszélességét. A jelspektrumok ismerete szükséges a többcsatornás, csatornák frekvenciaosztásos rendszereinek kiépítéséhez. Az interferencia spektrum ismerete nélkül nehéz intézkedéseket tenni annak elnyomására.
Ebből arra következtethetünk, hogy a spektrumot ismerni kell a kommunikációs csatornán keresztüli torzításmentes jelátvitel megvalósításához, a jelek szétválasztásához és az interferencia-csökkentéshez.
A jelek spektrumának megfigyelésére vannak ún spektrumanalizátorok. Lehetővé teszik a periodikus jel spektrumának egyes összetevőinek paramétereinek megfigyelését és mérését, valamint a folyamatos jel spektrális sűrűségének mérését.
Jelenleg a rádiócsatornák (rádiótechnológiák) szervezésének alábbi módjai ismertek: FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Kombinációk lehetségesek (pl. FDMA/TDMA). E technológiák alkalmazásának időzítése nagyrészt egybeesik a mobil kommunikációs rendszerek fejlesztési szakaszaival. A mobil rádiótelefon-berendezések első generációja frekvenciaosztásos többszörös hozzáférésű (FDMA) technológiát használt. Az FDMA rádiótechnológiát eddig sikeresen alkalmazták a fejlett első generációs cellás kommunikációs berendezésekben, valamint az egyszerűbb, nem cellás mobil rádiótelefon kommunikációs rendszerekben. Ami az első szakasz mobilkommunikációs szabványait illeti, az első radiális rendszerek esetében a szabvány fogalmát nem alkalmazták, és a berendezések a rendszerek elnevezésében különböztek (Altai, Volemot, Actionet stb.). A cellás kommunikációs rendszerek szabványaiban kezdtek eltérni. Az FDMA technológia az első generációs cellás kommunikációs rendszerek olyan szabványain alapul, mint NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. A második generációs cellás mobilkommunikációs rendszerek áttértek a továbbított hangüzenetek digitális feldolgozására, amelyhez időosztásos többszörös hozzáférésű (TDMA) rádiótechnológiát alkalmaztak. A TDMA-ra való átállás eredményeként: megnőtt a rádióút zajvédelme, jobb lett a hallgatással szembeni védelme stb. A TDMA-t olyan szabványrendszerekben használják, mint pl GSM, D-AMP (ez utóbbit gyakran egyszerűen TDMA-nak nevezik az amerikai változatban). A kódosztásos többszörös hozzáférésű rádiótechnológia A CDMA, vagy angol változatban a CDMA csak az elmúlt öt évben került aktívan a nyilvános rádiótelefon-hálózatokra. Ennek a rádiótechnológiának megvannak a maga előnyei, mert. CDMA berendezésekben: - a rádiófrekvenciás spektrum használatának hatékonysága 20-szor nagyobb az AMPS szabványos rádióberendezésekhez képest (FDMA technológia) és 3-szor nagyobb, mint a GSM (TDMA technológia); - sokkal jobb, mint a 2. generációs TDMA más rendszereiben, a kommunikáció minősége, megbízhatósága és bizalmassága; - lehetőség van kis méretű, kis teljesítményű, hosszú élettartamú terminálok használatára; - a bázisállomástól azonos távolságban a CDMA előfizetői terminálok sugárzási teljesítménye több mint 5-ször alacsonyabb, mint az egyéb rádiótechnológiákon alapuló szabványok hálózataiban, ugyanazon mutatóhoz képest; - lehetőség van a hálózatok topológiájának optimalizálására a lefedettségi területek számításakor. A CDMA technológiát először az IS-95 cellás kommunikációs berendezésekben valósították meg. Szolgáltatási képességeiket tekintve a meglévő CDMA-rendszerek a második generációs cellás kommunikációs rendszerek közé tartoznak. Az Országos Távközlési Intézet (ETRI) statisztikái szerint a CDMA-előfizetők száma naponta 2000 fővel növekszik. Az előfizetők számának növekedését tekintve ezek a hálózatok felülmúlják más, létező cellás kommunikációs szabványok hálózatait, megelőzve a cellás hálózatok fejlődését még az olyan népszerű szabványok esetében is, mint a GSM. Jelenleg legalább 30 millió előfizető van a CDMA-hálózatokban. A globális távközlési közösség hajlamos azt hinni, hogy a jövőbeni előfizetői vezeték nélküli hozzáférési rendszerekben (harmadik generációs személyi kommunikációs rendszerekben) a CDMA vezető szerepet fog betölteni. Ezt a következtetést az a tény indokolta, hogy a CDMA technológia a leginkább képes megfelelni a harmadik generációs IMT-2000 berendezések követelményeinek, különösen a nagy átviteli sebességű információcsere biztosítására. A jövőbeni vezeték nélküli hozzáférési rendszerek azonban várhatóan úgynevezett szélessávú CDMA rendszereket fognak használni, ahol a csatornánkénti frekvenciasávszélesség legalább 5 MHz lesz (a jelenlegi második generációs CDMA rendszerekben a csatornánkénti sávszélesség 1,23 MHz). Az elmúlt néhány évben a szórt spektrumú frekvenciaugrásos (FH-CDMA) technológián alapuló vezeték nélküli kommunikáció kezdett kialakulni. Ez a technológia egyesíti a TDMA sajátosságait, ahol minden frekvencia több időintervallumra van felosztva, és a CDMA, ahol minden adó egy meghatározott zajszerű jelsorozatot használ. Ezt a technológiát a vezetékes kommunikáció szervezésére tervezett rendszerekben alkalmazták.
HOL KERESSÜK A JELLEMZŐKET
44. Periodikus jelek ábrázolása Fourier-sorok formájában
http://scask.ru/book_brts.php?id=8
Periodikus jelek és Fourier-sorok
Az időben ismétlődő folyamat matematikai modellje egy periodikus jel, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik:
Itt T a jel periódusa.
A feladat egy ilyen jel spektrális dekompozíciójának megtalálása.
Fourier sorozat.
Állítsuk be a fejezetben figyelembe vett időintervallumot. I ortonormális bázis, amelyet több frekvenciájú harmonikus függvények alkotnak;
Ezen az alapon bármely függvény teljesíti a (2.1) periodicitási feltételt. Ezért - miután ezen az alapon végrehajtotta a jel ortogonális kiterjesztését, azaz kiszámította az együtthatókat
megkapjuk a spektrális bontást
érvényes az időtengely végtelenségében.
A (2.4) alakú sorozatot egy adott jel Fourier-sorának nevezzük. Mutassuk be a periodikus jelet képező sorozat alapfrekvenciáját. A (2.3) képlettel kiszámítva a tágulási együtthatókat, felírjuk a Fourier-sort a periodikus jelre
együtthatókkal
(2.6)
Általános esetben tehát egy periodikus jel egy időtől független állandó komponenst és egy végtelen harmonikus rezgéshalmazt tartalmaz, az úgynevezett harmonikusokat, amelyek frekvenciája a sorozat alapfrekvenciájának többszöröse.
Minden harmonikus leírható amplitúdójával és kezdeti fázisával, ehhez a Fourier-sor együtthatóit a következőképpen kell felírni
Ezeket a kifejezéseket (2.5) behelyettesítve a Fourier-sor egy másik, ekvivalens alakját kapjuk:
ami néha kényelmesebb.
Periodikus jel spektrális diagramja.
Ezért szokás egy adott jelre a Fourier-sor együtthatóinak grafikus ábrázolását hívni. Vannak amplitúdó- és fázisspektrális diagramok (2.1. ábra).
Itt a harmonikus frekvenciák egy meghatározott skálán vannak ábrázolva a vízszintes tengely mentén, és ezek amplitúdója és kezdeti fázisa a függőleges tengely mentén jelenik meg.
Rizs. 2.1. Néhány periodikus jel spektrális diagramja: a - amplitúdó; b - fázis
Különösen érdekli az amplitúdódiagram, amely lehetővé teszi bizonyos harmonikusok százalékos arányának megítélését egy periodikus jel spektrumában.
Nézzünk néhány konkrét példát.
2.1. példa. Négyszögletes videoimpulzusok ismert paraméterű periodikus sorozatának Fourier-sorozata, még a t = 0 ponthoz képest is.
A rádiótechnikában az arányt a sorozat munkaciklusának nevezik. A (2.6) képletekkel azt találjuk
Kényelmes a Fourier-sor végső képletét a formába írni
ábrán. A 2.2 a vizsgált sorozat amplitúdódiagramjait mutatja két szélsőséges esetben.
Fontos megjegyezni, hogy a rövid impulzusok sorozata, amelyek meglehetősen ritkán követik egymást, gazdag spektrális összetételű.
Rizs. 2.2. Négyszögletes videoimpulzusok periodikus sorozatának amplitúdóspektruma: a - nagy munkaciklussal; b - alacsony terhelhetőségű
2.2. példa. Egy szinten korlátozott alakú harmonikus jel által alkotott periodikus impulzussorozat Fourier-sora (feltételezzük, hogy ).
Bemutatjuk speciális paraméter- vágási szög, a honnan eredő arányból határozzuk meg
Ennek megfelelően az érték egyenlő egy impulzus időtartamával, szögmértékben kifejezve:
A vizsgált sorozatot generáló impulzus analitikus jelölésének van formája
Egyenáramú szekvencia
Az első harmonikus csúcstényezője
Hasonlóképpen a harmonikus komponensek amplitúdóit is kiszámítjuk
Az eredményeket általában így írják le:
hol vannak az úgynevezett Berg-függvények:
ábrán néhány Berg-függvény grafikonja látható. 2.3.
Rizs. 2.3. Számos első Berg-függvény grafikonja
A jelek spektrális sűrűsége. Direkt és inverz Fourier transzformációk.
Annak ellenőrzésére, hogy a program megfelelően működik-e, összeállítunk egy leolvasási tömböt két sin(10*2*pi*x)+0.5*sin(5*2*pi*x) szinusz összegeként, és becsúsztatjuk a program. A program a következőket rajzolta:
1. ábra A jel időfüggvényének grafikonja
2. ábra A jelspektrum grafikonja
A spektrumgrafikonon két pálca (harmonikus) található, 0,5 V és 10 Hz amplitúdójú - 1 V amplitúdójú, mindezt úgy, mint az eredeti jel képletében. Minden rendben, ügyes programozó! A program megfelelően működik.
Ez azt jelenti, hogy ha két szinuszos keverékből valós jelet viszünk az ADC bemenetére, akkor hasonló, két harmonikusból álló spektrumot kapunk.
Összesen, a miénk igazi mért jel, időtartam 5 mp, az ADC digitalizálta, azaz képviseli diszkrét számít, van diszkrét nem periodikus hatótávolság.
Matematikai szempontból hány hiba van ebben a kifejezésben?
Most a hatóságok úgy döntöttek, úgy döntöttünk, hogy az 5 másodperc túl hosszú, mérjük meg a jelet 0,5 másodpercben.
3. ábra: sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) függvény grafikonja 0,5 másodperces mérési időszakra
4. ábra Funkcióspektrum
Valami nem stimmel! A 10 Hz-es felharmonikus rendesen megrajzolódik, de az 5 Hz-es pálca helyett több érthetetlen harmonikus is megjelent. Az interneten nézzük, mit és hogyan...
Azt mondják, hogy nullákat kell hozzáadni a minta végéhez, és a spektrum normális lesz.
5. ábra Kész nullák 5 másodpercig
6. ábra Megkaptuk a spektrumot
Még mindig nem az, ami 5 másodpercnél volt. Az elmélettel kell foglalkozni. Menjünk-hoz Wikipédia- tudásforrás.
2. Folyamatos függvény és ábrázolása Fourier-sorral
Matematikailag a T másodperc időtartamú jelünk egy bizonyos f(x) függvény, amely a (0, T) intervallumon adott (X ebben az esetben az idő). Egy ilyen függvény mindig ábrázolható a következő alakú harmonikus függvények (szinusz vagy koszinusz) összegeként:
(1), ahol:
K - trigonometrikus függvény száma (harmonikus komponens száma, harmonikus szám)
T - szegmens, ahol a függvény definiálva van (jel időtartama)
Ak - a k-adik harmonikus komponens amplitúdója,
θk - a k-edik harmonikus komponens kezdeti fázisa
Mit jelent "egy függvényt sorozat összegeként ábrázolni"? Ez azt jelenti, hogy a Fourier-sor harmonikus összetevőinek értékeit minden ponton összeadva megkapjuk a függvényünk értékét ezen a ponton.
(Szigorúbban elmondható, hogy a sorozat szórása az f(x) függvénytől nullára hajlamos lesz, de a standard konvergencia ellenére a függvény Fourier-sorának általában nem kell pontszerűen konvergálnia hozzá. Lásd https: //ru.wikipedia.org/ wiki/Fourier_Series .)
Ezt a sorozatot így is írhatjuk:
(2),
ahol , k-edik komplex amplitúdó.
Az (1) és (3) együtthatók közötti kapcsolatot a következő képletekkel fejezzük ki:
Megjegyzendő, hogy a Fourier-sor mindhárom ábrázolása teljesen egyenértékű. Néha, amikor Fourier-sorokkal dolgozunk, kényelmesebb az imaginárius argumentum kitevőit használni a szinuszok és koszinuszok helyett, vagyis a Fourier-transzformációt komplex formában használni. De célszerű az (1) képletet használni, ahol a Fourier-sort koszinuszhullámok összegeként ábrázoljuk a megfelelő amplitúdókkal és fázisokkal. Mindenesetre helytelen azt állítani, hogy a valós jel Fourier-transzformációjának eredménye a harmonikusok komplex amplitúdója lesz. Ahogy a wiki helyesen mondja: "A Fourier-transzformáció (ℱ) egy olyan művelet, amely egy valós változó egyik függvényét képezi le egy másik, szintén valós változó függvényére."
Teljes:
A jelek spektrális elemzésének matematikai alapja a Fourier-transzformáció.
A Fourier-transzformáció lehetővé teszi, hogy a (0, T) szakaszon definiált folytonos f(x) (jel) függvényt bizonyos amplitúdójú trigonometrikus függvények (szinusz és/vagy koszinusz) végtelen számú (végtelen sorozatának) összegeként ábrázoljunk. és fázisok, a (0, T) szakaszon is figyelembe véve. Az ilyen sorozatot Fourier-sorozatnak nevezik.
Megjegyezzük még néhány pontot, amelyek megértése szükséges a Fourier-transzformáció helyes alkalmazásához a jelanalízishez. Ha figyelembe vesszük a Fourier-sort (a szinuszok összegét) a teljes X-tengelyen, akkor láthatjuk, hogy a (0, T) szakaszon kívül a Fourier-sor által reprezentált függvény periodikusan megismétli függvényünket.
Például a 7. ábra grafikonján az eredeti függvény a szegmensen van definiálva (-T \ 2, + T \ 2), a Fourier-sor pedig a teljes x tengelyen meghatározott periodikus függvényt reprezentál.
Ennek az az oka, hogy maguk a szinuszosok periodikus függvények, és összegük periodikus függvény lesz.
7. ábra Egy nem periodikus eredeti függvény ábrázolása Fourier-sorral
És így:
Eredeti függvényünk folytonos, nem periodikus, valamilyen T hosszúságú intervallumon definiálva.
Ennek a függvénynek a spektruma diszkrét, azaz harmonikus komponensek végtelen sorozataként - a Fourier-sorként - jelenik meg.
Valójában egy bizonyos periodikus függvényt a Fourier-sor határoz meg, amely egybeesik a miénkkel a (0, T) szakaszon, de ez a periodicitás számunkra nem lényeges.
A harmonikus komponensek periódusai annak a (0, T) szakasznak a többszörösei, amelyen az eredeti f(x) függvény definiálva van. Más szavakkal, a harmonikus periódusok a jelmérés időtartamának többszörösei. Például a Fourier-sor első harmonikusának periódusa megegyezik azzal a T intervallummal, amelyen az f(x) függvény definiálva van. A Fourier-sor második harmonikusának periódusa megegyezik a T/2 intervallummal. És így tovább (lásd 8. ábra).
8. ábra A Fourier-sor harmonikus komponenseinek periódusai (frekvenciái) (itt T=2π)
Ennek megfelelően a harmonikus komponensek frekvenciái 1/T többszörösei. Azaz az Fk harmonikus komponensek frekvenciája egyenlő Fk= k\T-vel, ahol k 0-tól ∞-ig terjed, például k=0 F0=0; k=1 F1=1\T; k=2 F2=2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (nulla frekvencián - állandó komponens).
Legyen eredeti függvényünk egy T=1 mp-ig rögzített jel. Ekkor az első harmonikus periódusa egyenlő lesz a jelünk időtartamával T1=T=1 sec, a harmonikus frekvenciája pedig 1 Hz. A második harmonikus periódusa egyenlő lesz a jel időtartamának osztva 2-vel (T2=T/2=0,5 mp), a frekvencia pedig 2 Hz. A harmadik harmonikusnál T3=T/3 sec és a frekvencia 3 Hz. Stb.
A harmonikusok közötti lépés ebben az esetben 1 Hz.
Így egy 1 mp időtartamú jel harmonikus komponensekre bontható (spektrum előállításához), 1 Hz frekvenciafelbontással.
A felbontás 2-szeres 0,5 Hz-re növeléséhez a mérés időtartamát 2-szeresére kell növelni - legfeljebb 2 másodpercig. Egy 10 másodperces jelet harmonikus komponensekre lehet bontani (spektrum előállításához), 0,1 Hz frekvenciafelbontással. Nincs más mód a frekvenciafelbontás növelésére.
Van mód a jel időtartamának mesterséges növelésére úgy, hogy nullákat adunk a minták tömbjéhez. De nem növeli a valós frekvenciafelbontást.
3. Diszkrét jelek és diszkrét Fourier transzformáció
A digitális technika fejlődésével a mérési adatok (jelek) tárolásának módjai is megváltoztak. Ha korábban a jelet magnóra lehetett rögzíteni és szalagon analóg formában tárolni, akkor most a jelek digitalizálásra kerültek, és a számítógép memóriájában lévő fájlokban, számok (számlálások) halmazaként tárolódnak.A jel mérésének és digitalizálásának szokásos sémája a következő.
9. ábra A mérőcsatorna vázlata
A mérőátalakító jele T időtartam alatt érkezik meg az ADC-hez. A T idő alatt kapott jelminták (minta) átvitelre kerülnek a számítógépre és a memóriában tárolódnak.
10. ábra Digitalizált jel - N leolvasás érkezett T időben
Milyen követelmények vonatkoznak a jeldigitalizálási paraméterekre? A bemeneti analóg jelet diszkrét kóddá (digitális jellé) alakító eszközt analóg-digitális átalakítónak (ADC, angol Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki) nevezzük.
Az ADC egyik fő paramétere a maximális mintavételezési frekvencia (vagy mintavételezési frekvencia, angolul sample rate) - a mintavételezés során időben folyamatos jelből történő mintavétel gyakorisága. Hertzben mérve. ((Wiki))
A Kotelnyikov-tétel szerint, ha egy folytonos jelnek az Fmax frekvencia által korlátozott spektruma van, akkor az időközönként vett diszkrét mintáiból teljesen és egyedileg visszaállítható. 
, azaz frekvenciával Fd ≥ 2*Fmax, ahol Fd - mintavételi frekvencia; Fmax - a jel spektrumának maximális frekvenciája. Más szavakkal, a jel mintavételezési gyakoriságának (ADC mintavételezési frekvenciának) legalább kétszerese a mérni kívánt jel maximális frekvenciájának.
És mi történik, ha a Kotelnyikov-tétel által megköveteltnél alacsonyabb frekvenciával mérünk?
Ilyenkor az "aliasing" (más néven stroboszkópos effektus, moaré effektus) hatása lép fel, mely során a digitalizálás után a nagyfrekvenciás jelből egy valójában nem létező alacsony frekvenciájú jel alakul át. ábrán. 11 magas frekvenciájú vörös szinuszhullám az igazi jel. Az alacsonyabb frekvenciájú kék szinuszhullám egy áljel, amely abból adódik, hogy egy nagyfrekvenciás jel több mint fél periódusának van ideje a mintavételezési idő alatt.
Rizs. 11. Hamis alacsony frekvenciájú jel megjelenése, ha a mintavételezési frekvencia nem elég magas
Az aliasing hatásának elkerülése érdekében az ADC - LPF (low-pass filter) elé egy speciális élsimító szűrőt helyeznek el, amely az ADC mintavételi frekvenciájának fele alatti frekvenciákat engedi át, és levágja a magasabb frekvenciákat.
Egy jel spektrumának kiszámításához a diszkrét mintákból a diszkrét Fourier transzformációt (DFT) használjuk. Még egyszer megjegyezzük, hogy a diszkrét jel spektrumát "definíció szerint" az Fmax frekvencia korlátozza, amely kevesebb, mint az Fd mintavételi frekvencia fele. Ezért egy diszkrét jel spektruma véges számú harmonikus összegével ábrázolható, ellentétben a folytonos jel Fourier-sorának végtelen összegével, amelynek spektruma korlátlan lehet. A Kotelnyikov-tétel szerint a maximális harmonikus frekvenciának olyannak kell lennie, hogy legalább két mintát vegyen figyelembe, tehát a harmonikusok száma megegyezik a diszkrét jel mintáinak felével. Vagyis ha N minta van a mintában, akkor a spektrum harmonikusainak száma N/2 lesz.
Tekintsük most a diszkrét Fourier transzformációt (DFT).
Összehasonlítás a Fourier sorozattal
Látjuk, hogy egybeesnek, kivéve, hogy a DFT-ben az idő diszkrét, és a harmonikusok száma N/2-re korlátozódik - a minták számának felére.
A DFT képleteket dimenzió nélküli k, s egész változókba írjuk, ahol k a jelminták száma, s a spektrális komponensek száma.
Az s értéke a harmonikus teljes rezgésének számát mutatja a T periódusban (a jelmérés időtartama). A diszkrét Fourier-transzformációt a harmonikusok amplitúdóinak és fázisainak numerikus megkeresésére használjuk, pl. "a számítógépen"
Visszatérve az elején elért eredményekhez. Ahogy fentebb említettük, ha egy nem periódusos függvényt (a jelünket) Fourier-sorrá bővítjük, az így kapott Fourier-sor valójában egy T periódusú periodikus függvénynek felel meg (12. ábra).
12. ábra f(x) periódusos függvény Т0 periódussal, Т>T0 mérési periódussal
Ahogy a 12. ábrán látható, az f(x) függvény periodikus Т0 periódussal. Tekintettel azonban arra, hogy a T mérési minta időtartama nem esik egybe a T0 függvény periódusával, a Fourier-sorként kapott függvény a T pontban szakadást mutat. tartalmaz nagyszámú nagyfrekvenciás harmonikusok. Ha a T mérési minta időtartama egybeesne a T0 függvény periódusával, akkor a Fourier-transzformáció után kapott spektrumban csak az első harmonikus (a minta időtartamával megegyező periódusú szinusz) lenne jelen, mivel az f függvény (x) egy szinuszos.
Vagyis a DFT program "nem tudja", hogy a jelünk egy "szinuszhullám darabja", hanem egy periodikus függvényt próbál sorozatként ábrázolni, amiben az egyes darabok inkonzisztenciája miatt rés van. a szinuszhullám.
Ennek eredményeként harmonikusok jelennek meg a spektrumban, amelyek összességében a függvény formáját kell, hogy képviseljék, beleértve ezt a megszakadást is.
Így a jel "helyes" spektrumának megszerzéséhez, amely több, különböző periódusú szinusz összege, szükséges, hogy minden szinuszos periódusok egész száma illeszkedjen a jel mérési periódusára. A gyakorlatban ez a feltétel a jelmérés kellően hosszú időtartamára teljesíthető.
13. ábra Példa a sebességváltó kinematikai hibája jelének funkciójára és spektrumára
Rövidebb időtartammal a kép "rosszabbul" fog kinézni:
14. ábra Példa a forgórész vibrációs jelének funkciójára és spektrumára
A gyakorlatban nehéz lehet megérteni, hol vannak a „valódi komponensek” és hol vannak a „műtermékek”, amelyeket a komponensek periódusainak nem sokfélesége és a jelminta időtartama vagy a jelminta „ugrásai és törései” okoznak. a hullámforma. Természetesen a „valódi komponensek” és a „termékek” szavakat nem hiába idézzük. A sok harmonikus jelenléte a spektrumgráfon nem jelenti azt, hogy a jelünk valójában ezekből „áll”. Ez olyan, mintha azt gondolnánk, hogy a 7-es szám a 3-as és a 4-es számokból áll. A 7-es szám ábrázolható a 3-as és a 4-es számok összegeként – ez így van.
Így a mi jelünk is... vagy inkább nem is „a mi jelünk”, hanem a jelünk megismétlésével összeállított periodikus függvény (mintavételezés) bizonyos amplitúdójú és fázisú harmonikusok (szinuszoidok) összegeként ábrázolható. De sok esetben, ami a gyakorlat szempontjából fontos (lásd a fenti ábrákat), valóban össze lehet kapcsolni a spektrumban kapott harmonikusokat valós folyamatok, amelyek ciklikus jellegűek, és jelentősen hozzájárulnak a jel alakjához.
Néhány eredmény
1. Az ADC által digitalizált, azaz diszkrét minták halmazával (N darab) ábrázolt valós mért, T sec időtartamú jel diszkrét nem periodikus spektrummal rendelkezik, amelyet felharmonikusok halmaza képvisel (N/2 darab). ).2. A jelet valós értékek halmaza, spektrumát pedig valós értékek halmaza képviseli. A harmonikus frekvenciák pozitívak. Az, hogy a matematikusok számára kényelmesebb a spektrumot komplex formában negatív frekvenciák segítségével ábrázolni, nem jelenti azt, hogy „ez helyes” és „mindig így kell csinálni”.
3. A T időintervallumban mért jelet csak a T időintervallum határozza meg. Hogy mi történt a jel mérésének megkezdése előtt, és mi lesz ezután - ezt a tudomány nem ismeri. És a mi esetünkben - ez nem érdekes. Az időkorlátos jel DFT-je adja meg "valódi" spektrumát, abban az értelemben, hogy bizonyos feltételek mellett lehetővé teszi összetevői amplitúdójának és frekvenciájának kiszámítását.
Használt anyagok és egyéb hasznos anyagok.
Az ábrázolás alapjául használható különböző ortogonális függvényrendszerek közül rádiójelek, kivételes helyet foglalnak el a harmonikus (szinusz és koszinusz) függvények. A harmonikus jelek fontossága a rádiótechnikában több okból is adódik.
Különösen:
1. A harmonikus jelek invariánsak a stacionárius lineáris transzformációkkal szemben elektromos áramkörök. Ha egy ilyen áramkört harmonikus rezgésforrás gerjeszt, akkor az áramkör kimenetén lévő jel azonos frekvenciával harmonikus marad, csak amplitúdójában és kezdeti fázisában tér el a bemeneti jeltől.
2. A harmonikus jelek előállításának technikája viszonylag egyszerű.
Ha egy jelet különböző frekvenciájú harmonikus rezgések összegeként adnak meg, akkor azt mondják, hogy ennek a jelnek a spektrális felbontását hajtották végre. A jel egyes harmonikus összetevői alkotják a spektrumát.
2.1. Periodikus jelek és Fourier-sorok
Az időben ismétlődő folyamat matematikai modellje egy periodikus jel, amely a következő tulajdonsággal rendelkezik:
Itt T a jel periódusa.
A feladat egy ilyen jel spektrális dekompozíciójának megtalálása.
Fourier sorozat.
Állítsuk be a fejezetben figyelembe vett időintervallumot. I ortonormális bázis, amelyet több frekvenciájú harmonikus függvények alkotnak;
Ezen az alapon bármely függvény teljesíti a (2.1) periodicitási feltételt. Ezért - miután ezen az alapon végrehajtotta a jel ortogonális kiterjesztését, azaz kiszámította az együtthatókat
megkapjuk a spektrális bontást
érvényes az időtengely végtelenségében.
A (2.4) alakú sorozatot egy adott jel Fourier-sorának nevezzük. Mutassuk be a periodikus jelet képező sorozat alapfrekvenciáját. A (2.3) képlettel kiszámítva a tágulási együtthatókat, felírjuk a Fourier-sort a periodikus jelre
együtthatókkal
(2.6)
Általános esetben tehát egy periodikus jel egy időtől független állandó komponenst és egy végtelen harmonikus rezgéshalmazt tartalmaz, az úgynevezett harmonikusokat, amelyek frekvenciája a sorozat alapfrekvenciájának többszöröse.
Minden harmonikus leírható amplitúdójával és kezdeti fázisával, ehhez a Fourier-sor együtthatóit a következőképpen kell felírni
Ezeket a kifejezéseket (2.5) behelyettesítve a Fourier-sor egy másik, ekvivalens alakját kapjuk:
ami néha kényelmesebb.
Periodikus jel spektrális diagramja.
Ezért szokás egy adott jelre a Fourier-sor együtthatóinak grafikus ábrázolását hívni. Vannak amplitúdó- és fázisspektrális diagramok (2.1. ábra).
Itt a harmonikus frekvenciák egy meghatározott skálán vannak ábrázolva a vízszintes tengely mentén, és ezek amplitúdója és kezdeti fázisa a függőleges tengely mentén jelenik meg.
Rizs. 2.1. Néhány periodikus jel spektrális diagramja: a - amplitúdó; b - fázis
Különösen érdekli az amplitúdódiagram, amely lehetővé teszi bizonyos harmonikusok százalékos arányának megítélését egy periodikus jel spektrumában.
Nézzünk néhány konkrét példát.
2.1. példa. Négyszögletes videoimpulzusok ismert paraméterű periodikus sorozatának Fourier-sorozata, még a t = 0 ponthoz képest is.
A rádiótechnikában az arányt a sorozat munkaciklusának nevezik. A (2.6) képletekkel azt találjuk
Kényelmes a Fourier-sor végső képletét a formába írni
ábrán. A 2.2 a vizsgált sorozat amplitúdódiagramjait mutatja két szélsőséges esetben.
Fontos megjegyezni, hogy a rövid impulzusok sorozata, amelyek meglehetősen ritkán követik egymást, gazdag spektrális összetételű.
Rizs. 2.2. Négyszögletes videoimpulzusok periodikus sorozatának amplitúdóspektruma: a - nagy munkaciklussal; b - alacsony terhelhetőségű
2.2. példa. Egy szinten korlátozott alakú harmonikus jel által alkotott periodikus impulzussorozat Fourier-sora (feltételezzük, hogy ).
Bevezetünk egy speciális paramétert - a vágási szöget, amelyet a relációból határozunk meg
Ennek megfelelően az érték egyenlő egy impulzus időtartamával, szögmértékben kifejezve:
A vizsgált sorozatot generáló impulzus analitikus jelölésének van formája
Egyenáramú szekvencia
Az első harmonikus csúcstényezője
Hasonlóképpen a harmonikus komponensek amplitúdóit is kiszámítjuk
Az eredményeket általában így írják le:
hol vannak az úgynevezett Berg-függvények:
ábrán néhány Berg-függvény grafikonja látható. 2.3.
Rizs. 2.3. Számos első Berg-függvény grafikonja
A Fourier-sor összetett formája.
Egy periodikus jel spektrális felbontása némileg ionosan is elvégezhető, imaginárius kitevőkkel rendelkező exponenciálisokból álló bázisfüggvény-rendszer segítségével:
Könnyen belátható, hogy ennek a rendszernek a funkciói periodikusak egy periódussal és ortonormálisak az időintervallumra, mivel
Egy tetszőleges periodikus jel Fourier-sora ebben az esetben a formát ölti
együtthatókkal
Általában használja következő űrlapot bejegyzés:
A (2.11) kifejezés egy összetett formájú Fourier-sor.
A jel spektruma a (2.11) képlet szerint a negatív frekvencia féltengelyen lévő komponenseket és . A (2.11) sorozatban például a pozitív és negatív frekvenciájú kifejezések párokba kerülnek.