Натурален логаритъм и число д. Функция: област на дефиниция и диапазон от функции
вероятносте число от 0 до 1, което отразява шансовете за настъпване на случайно събитие, където 0 е пълната липса на вероятност за настъпване на събитието, а 1 означава, че въпросното събитие определено ще се случи.
Вероятността за събитие E е число между и 1.
Сумата от вероятностите за взаимно изключващи се събития е 1.
емпирична вероятност- вероятност, която се изчислява като относителната честота на събитието в миналото, извлечена от анализа на исторически данни.
Вероятността от много редки събития не може да бъде изчислена емпирично.
субективна вероятност- вероятността, основана на лична субективна оценка на събитието, независимо от исторически данни. Инвеститорите, които вземат решения за покупка и продажба на акции, често действат въз основа на субективна вероятност.
предварителна вероятност -
Шанс 1 от... (коефициенти), че дадено събитие ще се случи чрез концепцията за вероятност. Вероятността за възникване на събитие се изразява като вероятност, както следва: P/(1-P).
Например, ако вероятността за събитие е 0,5, тогава шансът за събитие е 1 от 2, тъй като 0,5/(1-0,5).
Шансът събитието да не се случи се изчислява по формулата (1-P)/P
Непоследователна вероятност- например в цената на акциите на компания А се вземат предвид 85% от възможното събитие Е, а в цената на акциите на компания Б само 50%. Това се нарича несъответстваща вероятност. Според холандската теорема за залагане, несъответстващата вероятност създава възможности за печалба.
Безусловна вероятносте отговорът на въпроса "Каква е вероятността събитието да се случи?"
Условна вероятносте отговорът на въпроса: "Каква е вероятността за събитие А, ако събитие Б се случи." Условната вероятност се означава като P(A|B).
Съвместна вероятносте вероятността събития A и B да се случат по едно и също време. Означен като P(AB).
P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)
P(AB) = P(A|B)*P(B)
Правило за сумиране на вероятностите:
Вероятността събитие А или събитие Б да се случи е
P(A или B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)
Ако събития A и B са взаимно изключващи се, тогава
P(A или B) = P(A) + P(B)
Независими събития- събития A и B са независими ако
P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)
Тоест това е поредица от резултати, при които стойността на вероятността е постоянна от едно събитие до следващо.
Хвърлянето на монета е пример за такова събитие - резултатът от всяко следващо хвърляне не зависи от резултата от предишното.
Зависими събитияТова са събития, при които вероятността едното да се случи зависи от вероятността другото да се случи.
Правило за умножаване на вероятностите за независими събития:
Ако събития A и B са независими, тогава
P(AB) = P(A) * P(B) (3)
Правило за пълна вероятност:
P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)
S и S" са взаимно изключващи се събития
очаквана стойностслучайна променлива е средната стойност на възможните резултати от случайната променлива. За събитието X, очакването се означава като E(X).
Да предположим, че имаме 5 стойности на взаимно изключващи се събития с определена вероятност (например доходът на компанията възлиза на такава и такава сума с такава вероятност). Очакването е сумата от всички резултати, умножена по тяхната вероятност:
Дисперсията на случайна променлива е очакваната стойност на квадратните отклонения на случайна променлива от нейната очаквана стойност:
s 2 = E( 2 ) (6)
Условна очаквана стойност - очакването на случайна величина X, при условие, че събитието S вече е настъпило.
(изброени в ред на нарастване на точността)
Методи за определяне
Номер дможе да се определи по няколко начина.
- През границата: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x (\displaystyle e=\lim _(x\to \infty )\left(1+(\frac (1)(x))\right)^(x) )(втората забележителна граница). e = lim n → ∞ n n ! n (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n}}} !}(това следва от формулата на Моавър-Стърлинг).
- Като сбор от серията: e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! (\displaystyle e=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}} !}или 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n ! (\displaystyle (\frac (1)(e))=\sum _(n=2)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n}} !}.
- като едно число a (\displaystyle a), за което ∫ 1 a d x x = 1. (\displaystyle \int \limits _(1)^(a)(\frac (dx)(x))=1.)
- като единственото положително число a (\displaystyle a), за което е вярно d d x a x = a x. (\displaystyle (\frac (d)(dx))a^(x)=a^(x).)
Имоти
| Доказателство за ирационалност |
|---|
| Нека се преструваме, че e (\displaystyle e)рационално. Тогава e = p / q (\displaystyle e=p/q), Където p (\displaystyle p)- цяло и q (\displaystyle q)- естествено. Следователно p = eq (\displaystyle p=eq)Умножавайки двете страни на уравнението по (q − 1) ! (\displaystyle(q-1) !}, получаваме p (q − 1) ! = e q ! =q! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! н! = ∑ n = 0 q q ! н! + (\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _(n=0)^(\infty )(1 \over n=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} !}Ние прехвърляме ∑ n = 0 q q ! н! (\displaystyle \sum _(n=0)^(q)(q! \over n} !}от лявата страна: ∑ n = q + 1 ∞ q ! н! = p (q − 1) ! − ∑ n = 0 q q ! н! (\displaystyle \sum _(n=q+1)^(\infty )(q! \over n=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} !}Всички членове от дясната страна са цели числа, така че сумата от лявата страна също е цяло число. Но тази сума също е положителна, така че не е по-малка от 1. От друга страна, ∑ n = q + 1 ∞ q ! н! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m)! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . . . (q+m)< ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}Обобщавайки геометричната прогресия от дясната страна, получаваме: ∑ n = q + 1 ∞ q ! н!< 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}Тъй като q ≥ 1 (\displaystyle q\geq 1), ∑ n = q + 1 ∞ q ! н!< 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}Получаваме противоречие. |
- Номер e (\displaystyle e)трансцендентен. Това е доказано за първи път през 1873 г. от Чарлз Ермит. Трансцендентност на числото e (\displaystyle e)следва от теоремата на Линдеман.
- Предполага се, че e (\displaystyle e)- нормално число, тоест честотата на поява на различни цифри в неговия запис е една и съща. Към момента (2017 г.) тази хипотеза не е доказана.
- Номер де изчислимо (и следователно аритметично) число.
- e i x = cos (x) + i ⋅ sin (x) (\displaystyle e^(ix)=\cos(x)+i\cdot \sin(x)), вижте по-специално формулата на Ойлер
- Формула, свързваща числата e (\displaystyle e)И π (\displaystyle \pi ), т.нар Интеграл на Поасон или интеграл на Гаус ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π (\displaystyle \int \limits _(-\infty )^(\infty )\ e^(-x^(2))(dx)=(\sqrt (\pi )))
- За всяко комплексно число zса верни следните равенства: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n . (\displaystyle e^(z)=\sum _(n=0)^(\infty )(\frac (1)(n}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.} !}
- Номер дсе разширява в безкрайна продължителна дроб, както следва (просто доказателство за това разширение, свързано с апроксимациите на Паде, е дадено в ): e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] (\displaystyle e=), това е e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 + . .. (\displaystyle e=2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1) )( 4+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(6+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+( \cfrac (1)(8+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(10+(\cfrac (1)(1+\ldots )))) )) )))))))))))))))))))))))))
- Или негов еквивалент: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 … (\displaystyle e=2+(\cfrac (1)(1+(\cfrac (1)(2+(\cfrac (2)( 3+(\cfrac (3)(4+(\cfrac (4)(\ldots ))))))))))))
- За бързо изчисляване на голям брой знаци е по-удобно да използвате друго разширение: e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 … (\displaystyle (\frac (e+1)(e-1))=2+(\cfrac (1)(6+( \cfrac (1)(10+(\cfrac (1)(14+(\cfrac (1)(\ldots )))))))))
- e = lim n → ∞ n n ! н. (\displaystyle e=\lim _(n\to \infty )(\frac (n)(\sqrt[(n)](n}}.} !}
- Представяне на каталонски: e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 2 6 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ (\displaystyle e=2\cdot (\sqrt (\frac (4)(3)))\cdot (\sqrt[(4)](\frac (6 \cdot 8)(5\cdot 7)))\cdot (\sqrt[(8)](\frac (10\cdot 12\cdot 14\cdot 16)(9\cdot 11\cdot 13\cdot 15)) )\cdot (\sqrt[(16)](\frac (18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32)(17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\ cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31)))\cdots )
- Представяне чрез работата: e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k (\displaystyle e=(\sqrt (3))\ cdot \prod \limits _(k=1)^(\infty )(\frac (\left(2k+3\right)^(k+(\frac (1)(2)))\left(2k-1\ дясно)^(k-(\frac (1)(2))))(\ляво(2k+1\дясно)^(2k))))
- Чрез номера на Bell
E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! (\displaystyle e=(\frac (1)(B_(n)))\sum _(k=0)^(\infty )(\frac (k^(n))(k}} !}
История
Този номер понякога се нарича не-Перовв чест на шотландския учен Напиер, автор на труда „Описание на удивителната таблица на логаритмите“ (1614 г.). Това име обаче не е напълно правилно, тъй като има логаритъм на числото x (\displaystyle x)беше равен 10 7 ⋅ log 1 / e (x 10 7) (\displaystyle 10^(7)\cdot \,\log _(1/e)\left((\frac (x)(10^(7))) \точно)).
За първи път константата мълчаливо присъства в приложението към превода на английски на гореспоменатия труд на Напиер, публикуван през 1618 г. Зад кулисите, тъй като съдържа само таблица с естествени логаритми, определени от кинематични съображения, самата константа не присъства.
Същата константа е изчислена за първи път от швейцарския математик Якоб Бернули в хода на решаването на проблема за граничната стойност на лихвения доход. Той установи, че ако първоначалната сума $1 (\displaystyle\$1)и се начислява годишно веднъж в края на годината, общата сума ще бъде $2 (\displaystyle\$2). Но ако една и съща лихва се начислява два пъти годишно, тогава $1 (\displaystyle\$1)умножено по 1 , 5 (\displaystyle 1(,)5)два пъти, получаване $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)5^(2)=\$2(,)25). Тримесечни резултати от начисляване на лихва $ 1 , 00 ⋅ 1 , 25 4 = $ 2,441 40625 (\displaystyle \$1(,)00\cdot 1(,)25^(4)=\$2(,)44140625), и така нататък. Бернули показа, че ако честотата на изчисляване на лихвата се увеличава безкрайно, тогава доходът от лихви в случай на сложна лихва има ограничение: lim n → ∞ (1 + 1 n) n . (\displaystyle \lim _(n\to \infty )\left(1+(\frac (1)(n))\right)^(n).)и тази граница е равна на броя e (≈ 2,718 28) (\displaystyle e~(\приблизително 2(,)71828)).
$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613 035... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(12))\right)^( 12)=\$2(,)613035...)
$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 365) 365 = $ 2,714 568... (\displaystyle \$1(,)00\cdot \left(1+(\frac (1)(365))\right)^( 365)=\$2(,)714568...)
Така че константата e (\displaystyle e)означава максималната възможна годишна печалба при 100% (\displaystyle 100\%)годишно и максималната честота на капитализиране на лихвата.
Първата известна употреба на тази константа, където тя се обозначава с буквата b (\displaystyle b), се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс, -1691.
писмо e (\displaystyle e)започва да използва Ойлер през 1727 г., то се среща за първи път в писмо от Ойлер до немския математик Голдбах от 25 ноември 1731 г. и първата публикация с това писмо е неговият труд Механика, или науката за движението, изложено аналитично, 1736 г. съответно e (\displaystyle e)обикновено се нарича Число на Ойлер. Въпреки че по-късно някои учени използват писмото c (\displaystyle c), писмо e (\displaystyle e)използва се по-често и сега е стандартното обозначение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Номере ирационална и трансцендентална математическа константа, наречена Число на Ойлерили Номер на Напиер, което е основата на натуралния логаритъм.
Зад кулисите константа присъства в произведението "Описание на удивителната таблица на логаритмите" на шотландския математик Джон Напиер (1550-1617) (по-точно в приложението към превода на този труд, който е публикуван през 1618 г.). Първото споменаване на тази константа е в писмата на саксонския философ, логик, математик, механик, физик, адвокат, историк, дипломат, изобретател и лингвист Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) до холандския механик, физик, математик, астроном и изобретателят Кристиан Хюингенс ван Сеулихем (1629-1695) през 1690-91 г. Там се означаваше с буквата . Традиционно обозначение през 1727 г. швейцарският, немският, руският математик и механик Леонард Ойлер (1707-1783) започва да го използва; той го използва за първи път в писмото си до немския математик Кристиан Голдбах (1690-1764) през 1731 г. Първата публикация с това писмо е работата на Л. Ойлер „Механиката или науката за движението, представена аналитично“ (1736 г.). Същата константа е изчислена за първи път от швейцарския математик Якоб Бернули (1655-1705) в хода на решаването на проблема за пределния лихвен доход:
Числото играе голяма роля в различни клонове на математиката и особено в диференциалното и интегралното смятане. Трансцендентността на числото на Ойлер е доказана от френския математик Чарлз Ермит (1822-1901) едва през 1873 г.
Назначаване на номера e
1) През границата:
Показателят се означава като , или .
e номер
Основата на степента на степента е e номер. Това е ирационално число. Тя е приблизително равна
д ≈ 2,718281828459045...
Числото e се определя чрез границата на редицата. Този т.нар втора прекрасна граница:
.
Освен това числото e може да бъде представено като серия:
.
Графика на изложителите
Диаграма на експонента, y = e x.Графиката показва експонентата, ддо степента х.
г (x) = e x
Графиката показва, че експонентата нараства монотонно.
Формули
Основните формули са същите като за експоненциалната функция с основа от степен e.
;
;
;
Изразяване на експоненциална функция с произволна основа от степен a чрез показателя:
.
Частни ценности
Нека y (x) = e x. Тогава
.
Експонентни свойства
Показателят има свойствата на експоненциална функция с основа степен д > 1 .
Област на дефиниция, набор от стойности
Показател y (x) = e xопределени за всички x.
Обхватът му е:
- ∞ < x + ∞
.
Неговият набор от значения:
0
< y < + ∞
.
Крайности, увеличаване, намаляване
Показателят е монотонно нарастваща функция, така че няма екстремуми. Основните му свойства са представени в таблицата.
Обратна функция
Реципрочната стойност на степента е натурален логаритъм.
;
.
Производна на показателя
Производна ддо степента хе равно на ддо степента х
:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>
Интеграл
Комплексни числа
Операциите с комплексни числа се извършват с помощта на Формули на Ойлер:
,
къде е имагинерната единица:
.
Изрази чрез хиперболични функции
;
;
.
Изрази чрез тригонометрични функции
;
;
;
.
Разширение на степенни редове
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти от висши учебни заведения, Lan, 2009.
Описването на e като "константа, приблизително равна на 2,71828..." е все едно да наречем pi "ирационално число, приблизително равно на 3,1415...". Без съмнение е така, но същността все още ни убягва.
Числото pi е съотношението на обиколката на кръга към неговия диаметър, еднакво за всички кръгове.. Това е основна пропорция, обща за всички кръгове и следователно участва в изчисляването на обиколката, площта, обема и повърхността за кръгове, сфери, цилиндри и др. Пи показва, че всички кръгове са свързани, да не говорим тригонометрични функцииполучени от окръжности (синус, косинус, тангенс).
Числото e е основният коефициент на растеж за всички непрекъснато нарастващи процеси.Числото e ви позволява да вземете прост темп на растеж (където разликата е видима само в края на годината) и да изчислите компонентите на този показател, нормален растеж, при който всяка наносекунда (или дори по-бързо) всичко расте с малко Повече ▼.
Числото e участва както в системи с експоненциален, така и в постоянен растеж: население, радиоактивен разпад, изчисляване на лихви и много, много други. Дори стъпаловидни системи, които не растат равномерно, могат да бъдат приблизително оценени с числото e.
Точно както всяко число може да се разглежда като "мащабирана" версия на 1 (основната единица), всеки кръг може да се разглежда като "мащабирана" версия на единичната окръжност (радиус 1). И всеки растежен фактор може да се разглежда като "мащабирана" версия на e ("единичен" растежен фактор).
Така че числото e не е случайно число, взето на случаен принцип. Числото e въплъщава идеята, че всички непрекъснато нарастващи системи са мащабирани версии на една и съща метрика.
Концепцията за експоненциален растеж
Нека започнем, като разгледаме основна система, който двойкиза определен период от време. Например:
- Бактериите се делят и "удвояват" броя си на всеки 24 часа
- Получаваме двойно повече фиде, ако го разполовим
- Вашите пари се удвояват всяка година, ако получите 100% печалба (късмет!)
И изглежда нещо подобно:
Делението на две или удвояването е много проста прогресия. Разбира се, можем да утроим или учетворим, но удвояването е по-удобно за обяснение.
Математически, ако имаме x деления, получаваме 2^x пъти повече добро, отколкото сме имали в началото. Ако се направи само 1 дял, получаваме 2^1 пъти повече. Ако има 4 дяла, получаваме 2^4=16 части. Обща формулаизглежда така:
височина= 2 х
С други думи, удвояването е 100% увеличение. Можем да пренапишем тази формула така:
височина= (1+100%) x
Това е същото равенство, просто разделихме "2" на съставните му части, което по същество това число е: началната стойност (1) плюс 100%. Умен, нали?
Разбира се, можем да заменим всяко друго число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и да получим формулата за растеж за това ново съотношение. Общата формула за x периоди от времевия ред ще изглежда така:
височина = (1+растеж) х
Това просто означава, че използваме нормата на възвръщаемост, (1 + растеж), "x" пъти подред.
Нека да разгледаме по-отблизо
Нашата формула предполага, че растежът се осъществява на отделни стъпки. Нашите бактерии чакат и чакат, а след това бам!, и в последния момент броят им се удвоява. Печалбата ни от лихвата от депозита магически се появява точно след 1 година. Въз основа на формулата, написана по-горе, печалбите растат на стъпки. Зелените точки се появяват внезапно.
Но светът не винаги е такъв. Ако увеличим мащаба, можем да видим, че нашите приятели бактерии непрекъснато се делят:
Зеленото дете не възниква от нищото: то бавно израства от синия родител. След 1 период от време (24 часа в нашия случай) зеленият приятел вече е напълно узрял. След като узрее, той става пълноправен син член на стадото и може сам да създава нови зелени клетки.
Ще промени ли тази информация по някакъв начин нашето уравнение?
не При бактериите полуформираните зелени клетки все още не могат да направят нищо, докато не пораснат и напълно се отделят от сините си родители. Така че уравнението е правилно.