Курсовая работа по математическому анализу

Тема: Подсчет частичных сумм и спектральных характеристик ряда Фурье для явной функции

сигнал спектр фурье функция

1.Модель физического процесса

Решение задачи с теоретическими выкладками

Пример решения задачи

Пример решения задачи в среде Matlab R2009a

Список литературы

1.Модель физического процесса

Математической моделью радиотехнического сигнала может служить некоторая функция времени f (t). Эта функция может быть вещественной или комплексной, одномерной или многомерной, детерминированной или случайной (сигналы с помехами). В радиотехнике одна и та же математическая модель с равным успехом описывает ток, напряжение, напряженность электрического поля и т.п.

Рассмотрим вещественные одномерные детерминированные сигналы

Множества функций (сигналов) принято рассматривать как линейные функциональные нормированные пространства, в которых введены следующие понятия и аксиомы:

) выполнены все аксиомы линейного пространства;

) скалярное произведение двух действительных сигналов определяется следующим образом:

) два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю;

) система ортогональных сигналов образует бесконечномерный координатный базис, по которому можно разложить любой периодический сигнал, принадлежащий линейному пространству;

Среди разнообразных систем ортогональных функций, по которым можно разложить сигнал, наиболее распространенной является система гармонических (синусоидальных и косинусоидальных) функций:

Представление некоторого периодического сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами называется спектральным представлением сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. С математической точки зрения спектральное представление эквивалентно разложению периодической функции (сигнала) в ряд Фурье.

Значение спектрального разложения функций в радиотехнике обусловлено рядом причин:

) простота изучения свойств сигнала, т.к. гармонические функции хорошо изучены;

) возможность генерирования произвольного сигнала, т.к. техника генерирования гармонических сигналов достаточно проста;

) простота передачи и приема сигнала по радиоканалу, т.к. гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении через любую линейную цепь. Сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, изменяется лишь амплитуда и начальная фаза колебания;

) разложение сигнала по синусам и косинусам позволяет использовать символический метод, разработанный для анализа передачи гармонических колебаний через линейные цепи.

В качестве модели физического процесса рассмотрим электрокардиограмму работы сердца.

2.Решение задачи с теоретическими выкладками

Задача 1:

Опишем с помощью рядов Фурье, периодически повторяющийся импульс на участке электрокардиограммы, так называемый комплекс QRS.

Комплекс QRS можно задать следующей кусочно-линейной функцией

Где

Данную функцию можно продолжить периодически с периодом T=2l .

Ряд Фурье функции :

Определение 1 :Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна во всех точках этого отрезка, кроме конечного числа точек, в которых существуют ее конечные односторонние пределы.

Определение 2: Функция называется кусочно-гладкой на некотором отрезке, если она сама и ее производная кусочно-непрерывны.

Теорема 1 (Признак Дирихле) : Ряд Фурье кусочно-гладкой на отрезке функции f(x ) сходится в каждой точке непрерывности к значению функции в данной точке и к значению в каждой точке разрыва.

Наша функция удовлетворяет условиям теоремы.

Для заданной функции получаем следующие коэффициенты ряда Фурье:

Комплексная форма ряда Фурье

Для представления ряда в комплексной форме воспользуемся формулами Эйлера:

Введем обозначения:

Тогда ряд можно переписать в виде

Кроме того коэффициенты комплексного ряда Фурье можно получить и непосредственно, вычисляя их по формуле

Запишем в комплексной форме ряд Фурье заданной функции

Спектральные характеристики ряда

Выражение в ряде Фурье называется n -й гармоникой. Известно, что

где или

,

Совокупности , называется соответственно амплитудным и фазовым спектром периодическойфункции.

Графически спектры изображаются в виде отрезков длины , проведенных перпендикулярно оси, на которую наносится значение n = 1,2 … или .

Графическое изображение соответствующего спектра называется амплитудной или фазовой диаграммой. На практике чаще всего применяют амплитудный спектр.

.Пример решения задачи

Задача 2 : Рассмотрим конкретный пример задачи для выбранной модели физического процесса.

Продолжим эту функцию на всю числовую ось, получим периодическую функцию f (x ) c периодом T=2l =18 (Рис. 1.).

Рис. 1. График периодически продолженной функции

Вычислим коэффициенты Фурье заданной функции.

Запишем частичные суммы ряда:

Рис. 2. Графики частичных сумм ряда Фурье

С ростом n графики частичных сумм в точках непрерывности приближаются к графику функции f (x ) . В точках разрыва значения частичных сумм приближаются к .

Построим амплитудную и фазовую диаграммы.

с учетом четверти.

Таблица

4.Пример решения задачи в среде Matlab R2009a

Задача 3: В качестве примера рассмотрим полностью интервалы PR и QT.

Рис

Для данной функции построить графики частичных сумм, а так же амплитудную и фазовую диаграммы.

Возьмем конкретные значения параметров для нашей задачи:

Скрипт для построения требуемых графиков и диаграмм.

Скрипт позволяет решать ряд подобных задач путем выбора параметров и координат точек Q, R, S.

%ПОДСЧЕТ ЧАСТИЧНЫХ СУММ И СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЯДА ФУРЬЕ ДЛЯ ЯВНОЙ

%Спектральный анализ.L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry Sy nCase=18;=6; I2=10; Q=11; Qy= -2; R=12; Ry=17; S=13; Sy=-4; I3=15; I4=20; I5=26;=2; T=3; ExprNum=9;=250;=30;=0;flag == 0=1;(k<15)

k = menu("Перемена параметров ", ...

sprintf (" Параметр1 P = %g", P),...(" Параметр2 I1 = %g", I1),...(" Параметр3 I2 = %g", I2),...(" Параметр4 Qx = %g", Q),...(" Параметр5 Qy = %g", Qy),...(" Параметр6 Rx = %g", R),...(" Параметр7 Ry = %g", Ry),...(" Параметр8 Sx = %g", S),...(" Параметр9 Sy = %g", Sy),...(" Параметр10 I3 = %g", I3),...(" Параметр11 I4= %g", I4),...(" Параметр12 T = %g", T),...(" Параметр13 I5 = %g", I5),...(" Параметр13 Ns = %g", Ns),...

" Продолжить ");k==1,= input();

endk==2,= input();

endk==3,= input();

endk==4,= input();

endk==5,= input();

endk==6,= input();

endk==7,= input();

" Новое значение Sx= "]);

endk==9,= input();

endk==10,= input();

endk==11,= input();

endk==12,= input();

endk==13,= input()

endk==14,= input()

%Применение параметров=Qy/(Q-I2);

v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry*S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=I3*Sy/(I3-S);=2*L/N;=0:Ts:2*L;=length(t);=zeros(1,Dim);=floor(I1*N/2/L)+1;=floor((I2-I1)*N/2/L)+1;=floor((Q-I2)*N/2/L)+1;=floor((R-Q)*N/2/L)+1;= floor((S-R)*N/2/L)+1;= floor((I3-S)*N/2/L)+1;= floor((I4-I3)*N/2/L)+1;= floor((I5-I4)*N/2/L)+1;= floor((2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2(i)=0;i=(u2+u1):(u3+u2+u1)(i)=w*t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i)=a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d;i=(u5+u4+u3+u2+u1): (u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u8+u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=T*sin(pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);

title("График процесса"); xlabel("Время (с)"); ylabel("Y(t)");

%График частичной суммыn

n=0;j=1:ExprNum=j;j1=quad(@f, 0, I1);2=a0+quad(@f, I1, I2);3=a0+quad(@f, I2, Q);4=a0+quad(@f, Q, R);5=a0+quad(@f, R, S);6=a0+quad(@f, S, I3);7=a0+quad(@f, I3, I4);8=a0+quad(@f, I4, I5);9=a0+quad(@f, I5, 2*L);=a0/L;=zeros(1,Ns);=zeros(1,Ns);i=1:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=quad(@f, 0, I1);(i)=quad(@g, 0, I1);2(i)=an(i)+quad(@f, I1, I2);(i)=bn(i)+quad(@g, I1, I2);3(i)=an(i)+quad(@f, I2, Q);(i)=bn(i)+quad(@g, I2, Q);4(i)=an(i)+quad(@f, Q, R);(i)=bn(i)+quad(@g, Q, R);5(i)=an(i)+quad(@f, R, S);(i)=bn(i)+quad(@g, R, S);6(i)=an(i)+quad(@f, S, I3);(i)=bn(i)+quad(@g, S, I3);7(i)=an(i)+quad(@f, I3, I4);(i)=bn(i)+quad(@g, I3, I4);8(i)=an(i)+quad(@f, I4, I5);(i)=bn(i)+quad(@g, I4, I5);9(i)=an(i)+quad(@f, I5, 2*L);(i)=bn(i)+quad(@g, I5, 2*L);(i)= an(i)/L;(i)= bn(i)/L;=t;=zeros(1, length(x));=fn+a0/2;i=1:Ns=i;=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi*x/L);(t,y,x,fn,"LineWidth",2), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);

title("График сигнала и частичной суммы"); xlabel("Время (с)"); ylabel(sprintf("Sn(t)"));

%Построение амплитудной диаграммы=zeros(1, Ns);

wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Амплитудная диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("An");

%Построение фазовой диаграммы сигнала=zeros(1, Ns);

for i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i)<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала"); xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить работу-<3>, продолжить - ");

Список литературы

1. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т., М., 1997. 3 т.

Воднев, В. Т., Наумович, А. Ф., Наумович, Н. Ф., Основные математические формулы. Минск, 1998

Харкевич, А.А, Спектры и анализ. Москва, 1958

Лазарев, Ю. Ф., Начала программирования в среде MatLAB. Киев 2003.

Демидович, Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, М., 1988.

Сигнал называется периодическим , если его форма циклически повторяется во времени. Периодический сигнал в общем виде записывается так:

Здесь - период сигнала. Периодические сигналы могут быть как простыми, так и сложными.

Для математического представления периодических сигналов с периодом часто пользуются этим рядом, в котором как базисные функции выбираются гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) колебания кратных частот:

где . - основная угловая частота последовательности функций. При гармонических базисных функциях из этого ряда получим ряд Фурье, который в простейшем случае можно записать в следующем виде:

где коэффициенты

Из ряда Фурье видно, что в общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и набор гармонических колебаний основной частоты и ее гармоник с частотами . Каждое гармоническое колебание ряда Фурье характеризуется амплитудой и начальной фазой .

Спектральная диаграмма и спектр периодического сигнала .

Если какой - либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, то это означает, что было осуществлено спектральное разложение сигнала.

Спектральной диаграммой сигнала называется графическое изображение коэффициентов ряда Фурье этого сигнала. Существуют амплитудные и фазовые диаграммы. Для построения этих диаграмм, в некотором масштабе по горизонтальной оси откладываются значения частот гармоник, а по вертикальной оси - их амплитуды и фазы . Причем амплитуды гармоник могут принимать только положительные значения, фазы - как положительные, так и отрицательные значения в интервале .

Спектральные диаграммы периодического сигнала:

а) - амплитудная; б) - фазовая.

Спектр сигнала - это совокупность гармонических составляющих с конкретными значениями частот, амплитуд и начальных фаз, образующих в сумме сигнал. На практике спектральные диаграммы называются более кратко - амплитудный спектр , фазовый спектр . Наибольший интерес проявляют к амплитудной спектральной диаграмме. По ней можно оценить процентное содержание гармоник в спектре.

Спектральные характеристики в технике электросвязи играют большую роль. Зная спектр сигнала можно правильно рассчитать и установить полосу пропускания усилителей, фильтров, кабелей и других узлов каналов связи. Знание спектров сигналов необходимо для построения многоканальных систем с частотным разделением каналов. Без знания спектра помехи трудно принять меры для ее подавления.

Из этого можно сделать вывод, что спектр надо знать для осуществления неискаженной передачи сигнала по каналу связи, для обеспечения разделения сигналов и ослабления помех.

Для наблюдения за спектрами сигналов существует приборы, которые называются анализаторами спектра . Они позволяют наблюдать и измерять параметры отдельных составляющих спектра периодического сигнала, а также измерять спектральную плотность непрерывного сигнала.

В настоящее время известны следующие способы организации радиоканалов (радиотехнологии): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Возможны их сочетания (например, FDMA/TDMA ). Временные сроки применения этих технологий во многом совпадают с этапами развития систем подвижной связи. В оборудовании подвижной радиотелефонной связи первого поколения использовалась технология многостанционного доступа с частотным разделением каналов (FDMA). Радиотехнология FDMA до настоящего времени успешно применяется в усовершенствованном оборудовании сотовой связи первого поколения, а также в более простых системах подвижной радиотелефонной связи с не сотовой структурой. Что касается стандартов подвижной связи первого этапа, то для первых радиальных систем понятие стандартов не использовалось, и оборудование различалось по названиям систем (Алтай, Волемот, Actionet и т.д.). Системы сотовой связи стали различаться по стандартам. На технологии FDMA базируются такие стандарты систем сотовой связи первого поколения, как NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. В системах сотовой подвижной связи второго поколения был сделан переход к цифровой обработке передаваемых голосовых сообщений, для чего стала использоваться радиотехнология многостанционного доступа с временным разделением каналов (TDMA). В результате перехода к TDMA: повысилась помехоустойчивость радиотракта, стала лучше его защищенность от прослушивания и т.д. TDMA применяется в системах таких стандартов, как GSM, D-AMPS (последний в американской версии часто именуется просто TDMA). Радиотехнология многостанционного доступа с кодовым разделением каналов МДКР, или в английской версии CDMA, активно стала внедряться на сетях радиотелефонной связи общего пользования только последние пять лет. Эта радиотехнология имеет свои преимущества, т.к. в оборудовании CDMA: - эффективность использования радиочастотного спектра в 20 раз выше по сравнению с радиооборудованием стандарта AMPS (технология FDMA) и в 3 раза – по отношению GSM (технология TDMA); - значительно лучше, чем в других системах 2-ого поколения TDMA, качество, надежность и конфиденциальность связи; - имеется возможность использовать малогабаритные маломощные терминалы с длительным сроком работы; - при одинаковом расстоянии от базовой станции мощность излучения абонентских терминалов CDMA ниже более, чем в 5 раз относительно этого же показателя в сетях стандартов, базирующихся на других радиотехнологиях; - имеется возможность оптимизации топологии сетей при расчете зон покрытия. Технология CDMA впервые была реализована в оборудовании сотовой связи стандарта IS-95. По своим сервисным возможностям существующие системы CDMA относятся к системам сотовой связи второго поколения. По статистическим данным Национального института телекоммуникаций (ETRI), число абонентов сетей CDMA ежедневно возрастает на 2000 человек. По темпам роста числа абонентов эти сети превосходят сети других существующих стандартов сотовой связи, опережая развитие сетей сотовой связи даже такого популярного стандарта, как GSM. В настоящее время в сетях CDMA насчитывается не менее 30 млн. абонентов. Мировое телекоммуникационное сообщество склоняется к тому, что в будущих системах беспроводного доступа абонентских линий (системах персональной связи третьего поколения) CDMA будет занимать лидирующее положение. Такой вывод был сделан в связи с тем, что технология CDMA в наибольшей степени способна обеспечить выполнение требований, предъявляемых к оборудованию третьего поколения IMT-2000, в частности, по обеспечению обмена информацией с высокими скоростями передачи. Однако в будущих системах беспроводного доступа предполагается использовать так называемые широкополосные системы CDMA, где частотная полоса на канал будет не менее 5 МГц (в современных системах CDMA второго поколения полоса на канал составляет 1,23 МГц). В последние несколько лет стали появляться средства беспроводной связи, в основу которых положена технология расширенного спектра частот с частотными скачками (FH-CDMA). Эта технология сочетает специфику TDMA, где имеет место деление каждой частоты на несколько временных интервалов, и CDMA, где каждый передатчик использует определенную последовательность шумоподобных сигналов. Эта технология нашла свое применение в системах, предназначенных для организации фиксированной связи.

ГДЕ ИСКАТЬ ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ Я ХУЙ ЕГО ЗНАЕТ

44. Представление периодических сигналов в виде рядов Фурье

http://scask.ru/book_brts.php?id=8

Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Спектральная плотность сигналов. Прямое и обратное преобразования Фурье.

Во многих случаях задача получения (вычисления) спектра сигнала выглядит следующим образом. Имеется АЦП, который с частотой дискретизации Fd преобразует непрерывный сигнал, поступающий на его вход в течение времени Т, в цифровые отсчеты - N штук. Далее массив отсчетов подается в некую программку, которая выдает N/2 каких-то числовых значений (программист, который утянул из инета написал программку, уверяет, что она делает преобразование Фурье).

Чтобы проверить, правильно ли работает программа, сформируем массив отсчетов как сумму двух синусоид sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) и подсунем программке. Программа нарисовала следующее:

рис.1 График временной функции сигнала

рис.2 График спектра сигнала

На графике спектра имеется две палки (гармоники) 5 Гц с амплитудой 0.5 В и 10 Гц - с амплитудой 1 В, все как в формуле исходного сигнала. Все отлично, программист молодец! Программа работает правильно.

Это значит, что если мы подадим на вход АЦП реальный сигнал из смеси двух синусоид, то мы получим аналогичный спектр, состоящий из двух гармоник.

Итого, наш реальный измеренный сигнал, длительностью 5 сек , оцифрованный АЦП, то есть представленный дискретными отсчетами, имеет дискретный непериодический спектр.

С математической точки зрения - сколько ошибок в этой фразе?

Теперь начальство решило мы решили, что 5 секунд - это слишком долго, давай измерять сигнал за 0.5 сек.



рис.3 График функции sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) на периоде измерения 0.5 сек

рис.4 Спектр функции

Что-то как бы не то! Гармоника 10 Гц рисуется нормально, а вместо палки на 5 Гц появилось несколько каких-то непонятных гармоник. Смотрим в интернетах, что да как…

Во, говорят, что в конец выборки надо добавить нули и спектр будет рисоваться нормальный.

рис.5 Добили нулей до 5 сек

рис.6 Получили спектр

Все равно не то, что было на 5 секундах. Придется разбираться с теорией. Идем в Википедию - источник знаний.

2. Непрерывная функция и представление её рядом Фурье

Математически наш сигнал длительностью T секунд является некоторой функцией f(x), заданной на отрезке {0, T} (X в данном случае - время). Такую функцию всегда можно представить в виде суммы гармонических функций (синусоид или косинусоид) вида:

(1), где:

K - номер тригонометрической функции (номер гармонической составляющей, номер гармоники)
T - отрезок, где функция определена (длительность сигнала)
Ak - амплитуда k-ой гармонической составляющей,
θk- начальная фаза k-ой гармонической составляющей

Что значит «представить функцию в виде суммы ряда»? Это значит, что, сложив в каждой точке значения гармонических составляющих ряда Фурье, мы получим значение нашей функции в этой точке.

(Более строго, среднеквадратичное отклонение ряда от функции f(x) будет стремиться к нулю, но несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно. См. https://ru.wikipedia.org/wiki/Ряд_Фурье .)

Этот ряд может быть также записан в виде:

(2),
где , k-я комплексная амплитуда.

Связь между коэффициентами (1) и (3) выражается следующими формулами:

Отметим, что все эти три представления ряда Фурье совершенно равнозначны. Иногда при работе с рядами Фурье бывает удобнее использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента, то есть использовать преобразование Фурье в комплексной форме. Но нам удобно использовать формулу (1), где ряд Фурье представлен в виде суммы косинусоид с соответствующими амплитудами и фазами. В любом случае неправильно говорить, что результатом преобразования Фурье действительного сигнала будут комплексные амплитуды гармоник. Как правильно говорится в Вики «Преобразование Фурье (ℱ) - операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию, также вещественной переменной.»

Итого:
Математической основой спектрального анализа сигналов является преобразование Фурье.

Преобразование Фурье позволяет представить непрерывную функцию f(x) (сигнал), определенную на отрезке {0, T} в виде суммы бесконечного числа (бесконечного ряда) тригонометрических функций (синусоид и\или косинусоид) с определёнными амплитудами и фазами, также рассматриваемых на отрезке {0, T}. Такой ряд называется рядом Фурье.

Отметим еще некоторые моменты, понимание которых требуется для правильного применения преобразования Фурье к анализу сигналов. Если рассмотреть ряд Фурье (сумму синусоид) на всей оси Х, то можно увидеть, что вне отрезка {0, T} функция представленная рядом Фурье будет будет периодически повторять нашу функцию.

Например, на графике рис.7 исходная функция определена на отрезке {-T\2, +T\2}, а ряд Фурье представляет периодическую функцию, определенную на всей оси х.

Это происходит потому, что синусоиды сами являются периодическими функциями, соответственно и их сумма будет периодической функцией.

рис.7 Представление непериодической исходной функции рядом Фурье

Таким образом:

Наша исходная функция - непрерывная, непериодическая, определена на некотором отрезке длиной T.
Спектр этой функции - дискретный, то есть представлен в виде бесконечного ряда гармонических составляющих - ряда Фурье.
По факту, рядом Фурье определяется некоторая периодическая функция, совпадающая с нашей на отрезке {0, T}, но для нас эта периодичность не существенна.

Периоды гармонических составляющих кратны величине отрезка {0, T}, на котором определена исходная функция f(x). Другими словами, периоды гармоник кратны длительности измерения сигнала. Например, период первой гармоники ряда Фурье равен интервалу Т, на котором определена функция f(x). Период второй гармоники ряда Фурье равен интервалу Т/2. И так далее (см. рис. 8).

рис.8 Периоды (частоты) гармонических составляющих ряда Фурье (здесь Т=2π)

Соответственно, частоты гармонических составляющих кратны величине 1/Т. То есть частоты гармонических составляющих Fk равны Fk= к\Т, где к пробегает значения от 0 до ∞, например к=0 F0=0; к=1 F1=1\T; к=2 F2=2\T; к=3 F3=3\T;… Fk= к\Т (при нулевой частоте - постоянная составляющая).

Пусть наша исходная функция, представляет собой сигнал, записанный в течение Т=1 сек. Тогда период первой гармоники будет равен длительности нашего сигнала Т1=Т=1 сек и частота гармоники равна 1 Гц. Период второй гармоники будет равен длительности сигнала, деленной на 2 (Т2=Т/2=0,5 сек) и частота равна 2 Гц. Для третьей гармоники Т3=Т/3 сек и частота равна 3 Гц. И так далее.

Шаг между гармониками в этом случае равен 1 Гц.

Таким образом сигнал длительностью 1 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 1 Гц.
Чтобы увеличить разрешение в 2 раза до 0,5 Гц - надо увеличить длительность измерения в 2 раза - до 2 сек. Сигнал длительностью 10 сек можно разложить на гармонические составляющие (получить спектр) с разрешением по частоте 0,1 Гц. Других способов увеличить разрешение по частоте нет.

Существует способ искусственного увеличения длительности сигнала путем добавления нулей к массиву отсчетов. Но реальную разрешающую способность по частоте он не увеличивает.

3. Дискретные сигналы и дискретное преобразование Фурье

С развитием цифровой техники изменились и способы хранения данных измерений (сигналов). Если раньше сигнал мог записываться на магнитофон и храниться на ленте в аналоговом виде, то сейчас сигналы оцифровываются и хранятся в файлах в памяти компьютера в виде набора чисел (отсчетов).

Обычная схема измерения и оцифровки сигнала выглядит следующим образом.

рис.9 Схема измерительного канала

Сигнал с измерительного преобразователя поступает на АЦП в течение периода времени Т. Полученные за время Т отсчеты сигнала (выборка) передаются в компьютер и сохраняются в памяти.

рис.10 Оцифрованный сигнал - N отсчетов полученных за время Т

Какие требования выдвигаются к параметрам оцифровки сигнала? Устройство, преобразующее входной аналоговый сигнал в дискретный код (цифровой сигнал) называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП, англ. Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).

Одним из основных параметров АЦП является максимальная частота дискретизации (или частота семплирования, англ. sample rate) - частота взятия отсчетов непрерывного во времени сигнала при его дискретизации. Измеряется в герцах. ((Wiki))

Согласно теореме Котельникова, если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой Fмакс, то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым через интервалы времени , т.е. с частотой Fd ≥ 2*Fмакс, где Fd - частота дискретизации; Fмакс - максимальная частота спектра сигнала. Другими слова частота оцифровки сигнала (частота дискретизации АЦП) должна как минимум в 2 раза превышать максимальную частоту сигнала, который мы хотим измерить.

А что будет, если мы будем брать отсчеты с меньшей частотой, чем требуется по теореме Котельникова?

В этом случае возникает эффект «алиасинга» (он же стробоскопический эффект, муаровый эффект), при котором сигнал высокой частоты после оцифровки превращается в сигнал низкой частоты, которого на самом деле не существует. На рис. 11 красная синусоида высокой частоты - это реальный сигнал. Синяя синусоида более низкой частоты - фиктивный сигнал, возникающий вследствие того, за время взятия отсчета успевает пройти больше, чем пол-периода высокочастотного сигнала.

Рис. 11. Появление ложного сигнала низкой частоты при недостаточно высокой частоте дискретизации

Чтобы избежать эффекта алиасинга перед АЦП ставят специальный антиалиасинговый фильтр - ФНЧ (фильтр нижних частот), который пропускает частоты ниже половины частоты дискретизации АЦП, а более высокие частоты зарезает.

Для того, чтобы вычислить спектр сигнала по его дискретным отсчетам используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Отметим еще раз, что спектр дискретного сигнала «по определению» ограничен частотой Fмакс, меньшей половине частоты дискретизации Fd. Поэтому спектр дискретного сигнала может быть представлен суммой конечного числа гармоник, в отличие от бесконечной суммы для ряда Фурье непрерывного сигнала, спектр которого может быть неограничен. Согласно теореме Котельникова максимальная частота гармоники должна быть такой, чтобы на нее приходилось как минимум два отсчета, поэтому число гармоник равно половине числа отсчетов дискретного сигнала. То есть если в выборке имеется N отсчетов, то число гармоник в спектре будет равно N/2.

Рассмотрим теперь дискретное преобразование Фурье (ДПФ).

Сравнивая с рядом Фурье

Видим, что они совпадают, за исключением того, что время в ДПФ имеет дискретный характер и число гармоник ограничено величиной N/2 - половиной числа отсчетов.

Формулы ДПФ записываются в безразмерных целых переменных k, s, где k – номера отсчетов сигнала, s – номера спектральных составляющих.
Величина s показывает количество полных колебаний гармоники на периоде Т (длительности измерения сигнала). Дискретное преобразование Фурье используется для нахождения амплитуд и фаз гармоник численным методом, т.е. «на компьютере»

Возвращаясь к результатам, полученным в начале. Как уже было сказано выше, при разложении в ряд Фурье непериодической функции (нашего сигнала), полученный ряд Фурье фактически соответствует периодической функции с периодом Т. (рис.12).

рис.12 Периодическая функция f(x) с периодом Т0, с периодом измерения Т>T0

Как видно на рис.12 функция f(x) периодическая с периодом Т0. Однако из-за того, что длительность измерительной выборки Т не совпадает с периодом функции Т0, функция, получаемая как ряд Фурье, имеет разрыв в точке Т. В результате спектр данной функции будет содержать большое количество высокочастотных гармоник. Если бы длительность измерительной выборки Т совпадала с периодом функции Т0, то в полученном после преобразования Фурье спектре присутствовала бы только первая гармоника (синусоида с периодом равным длительности выборки), поскольку функция f(x) представляет собой синусоиду.

Другими словами, программа ДПФ «не знает», что наш сигнал представляет собой «кусок синусоиды», а пытается представить в виде ряда периодическую функцию, которая имеет разрыв из-за нестыковки отдельных кусков синусоиды.

В результате в спектре появляются гармоники, которые должны в сумме изобразить форму функции, включая этот разрыв.

Таким образом, чтобы получить «правильный» спектр сигнала, являющегося суммой нескольких синусоид с разными периодами, необходимо чтобы на периоде измерения сигнала укладывалось целое число периодов каждой синусоиды. На практике это условие можно выполнить при достаточно большой длительности измерения сигнала.

Рис.13 Пример функции и спектра сигнала кинематической погрешности редуктора

При меньшей длительности картина будет выглядеть «хуже»:

Рис.14 Пример функции и спектра сигнала вибрации ротора

На практике бывает сложно понять, где «реальные составляющие», а где «артефакты», вызванные некратностью периодов составляющих и длительности выборки сигнала или «скачками и разрывами» формы сигнала. Конечно слова «реальные составляющие» и «артефакты» не зря взяты в кавычки. Наличие на графике спектра множества гармоник не означает, что наш сигнал в реальности из них «состоит». Это все равно что считать, будто число 7 «состоит» из чисел 3 и 4. Число 7 можно представить в виде суммы чисел 3 и 4 - это правильно.

Так и наш сигнал… а вернее даже не «наш сигнал», а периодическую функцию, составленную путем повторения нашего сигнала (выборки) можно представить в виде суммы гармоник (синусоид) с определенными амплитудами и фазами. Но во многих важных для практики случаях (см. рисунки выше) действительно можно связать полученные в спектре гармоники и с реальными процессами, имеющими циклический характер и вносящими значительный вклад в форму сигнала.

Некоторые итоги

1. Реальный измеренный сигнал, длительностью T сек, оцифрованный АЦП, то есть представленный набором дискретных отсчетов (N штук), имеет дискретный непериодический спектр, представленный набором гармоник (N/2 штук).

2. Сигнал представлен набором действительных значений и его спектр представлен набором действительных значений. Частоты гармоник положительны. То, что математикам бывает удобнее представить спектр в комплексной форме с использованием отрицательных частот не значит, что «так правильно» и «так всегда надо делать».

3. Сигнал, измеренный на отрезке времени Т определен только на отрезке времени Т. Что было до того, как мы начали измерять сигнал, и что будет после того - науке это неизвестно. И в нашем случае - неинтересно. ДПФ ограниченного во времени сигнала дает его «настоящий» спектр, в том смысле, что при определенных условиях позволяет вычислить амплитуду и частоту его составляющих.

Использованные материалы и другие полезные материалы.

Среди разнообразных систем ортогональных функций, которые могут использоваться в качестве базисов для представления радиотехнических сигналов, исключительное место занимают гармонические (синусоидальные и косинусоидальные) функции. Значение гармонических сигналов для радиотехники обусловлено рядом причин.

В частности:

1. Гармонические сигналы инвариантны относительно преобразований, осуществляемых стационарными линейными электрическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.

2. Техника генерирования гармонических сигналов относительно проста.

Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, - что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр.

2.1. Периодические сигналы и ряды Фурье

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал со следующим свойством:

Здесь Т - период сигнала.

Ставится задача найти спектральное разложение такого сигнала.

Ряд Фурье.

Зададим на отрезке времени рассмотренный в гл. I ортонормированцый базис, образованный гармоническими функциями с кратными частотами;

Любая функция из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (2.1). Поэтому, - выполнив ортогональное разложение сигнала в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты

получим спектральное разложение

справедливое на всей бесконечности оси времени.

Ряд вида (2.4) называется рядом Фурье даннрго сигнала. Введем основную частоту последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения по формуле (2.3), запишем ряд Фурье для периодического сигнала

с коэффициентами

(2.6)

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами кратными основной частоте последовательности.

Каждую гармонику можно описать ее амплитудой и начальной фазой Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде

Подставив эти выражения в (2.5), получим другую, - эквивалентную форму ряда Фурье:

которая иногда оказывается удобнее.

Спектральная диаграмма периодического сигнала.

Так принято называть графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 2.1).

Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис. 2.1. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а - амплитудная; б - фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала.

Изучим несколько конкретных примеров.

Пример 2.1. Ряд Фурье периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов с известными параметрами , четной относительно точки t = 0.

В радиотехнике отношение называют скважностью последовательности. По формулам (2.6) находим

Окончательную формулу ряда Фурье удобно записать в виде

На рис. 2.2 представлены амплитудные диаграммы рассматриваемой последовательности в двух крайних случаях.

Важно отметить, что последовательность коротких импульсов, следующих друг за другом достаточно редко , обладает богатым спектральным составом.

Рис. 2.2. Амплитудный спектр периодической последовательности ррямоугольных видеоимпульсов: а - при большой скважности; б - при малой скважности

Пример 2.2. Ряд Фурье периодической последовательности импульсов, образованной гармоническим сигналом вида ограниченным на уровне (предполагается, что ).

Введем специальный параметр - угол отсечки , определяемый из соотношения откуда

В соотаетствии с этим величина равна длительности одного импульса, выраженной в угловой мере:

Аналитическая запись импульса, порождающего рассматриваемую последовательность, имеет вид

Постоянная составляющая последовательности

Амплитудный коэффициент первой гармоники

Аналогично вычисляют амплитуды - гармонических составляющих при

Полученные результаты обычно записывают так:

где так называемые функции Берга:

Графики некоторых функций Берга приведены на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Графики нескольких первых функций Берга

Комплексная форма ряда Фурье.

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько ионному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом ортонормированы на отрезке времени так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид

с коэффициентами

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (2.11) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме.

Спектр сигнала в соответствии с формулой (2.11) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (2.11) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например.