Повна похідна складної фнп. Теоретичний матеріал

Розглянемо функцію від двох змінних:

Оскільки змінні $x$ і $y$ є незалежними, для такої функції можна запровадити поняття приватної похідної:

Приватна похідна функції $f$ у точці $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ за змінною $x$ - це межа

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Аналогічно можна визначити приватну похідну за змінною $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Іншими словами, щоб знайти приватну похідну функції кількох змінних, потрібно зафіксувати решту змінних, крім шуканої, а потім знайти звичайну похідну за цією шуканою змінною.

Звідси випливає основний прийом для обчислення таких похідних: просто вважайте, що всі змінні, крім цієї, є константою, після чого диференціюйте функцію так, як диференціювали б "звичайну" - з однією змінною. Наприклад:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Очевидно, що приватні похідні з різних змінних дають різні відповіді — це нормально. Куди важливіше розуміти, чому, скажімо, у першому випадку ми спокійно винесли $10y$ з-під похідної знака, а в другому — зовсім обнулили перший доданок. Все це відбувається через те, що всі літери, крім змінної, за якою йде диференціювання, вважаються константами: їх можна виносити, спалювати і т.д.

Що таке "приватна похідна"?

Сьогодні ми поговоримо про функції кількох змінних та про приватні похідні від них. По-перше, що таке функція кількох змінних? Досі ми звикли вважати функцію як $y\left(x \right)$ або $t\left(x \right)$, або будь-яку змінну та одну-єдину функцію від неї. Тепер функція в нас буде одна, а змінних кілька. У разі зміни $y$ та $x$ значення функції змінюватиметься. Наприклад, якщо $x$ збільшиться вдвічі, значення функції зміниться, при цьому якщо $x$ зміниться, а $y$ не зміниться, значення функції так само зміниться.

Зрозуміло, функцію від кількох змінних, так само як і від однієї змінної, можна диференціювати. Однак оскільки змінних кілька, то й диференціювати можна з різних змінних. При цьому виникають специфічні правила, яких не було під час диференціювання однієї змінної.

Перш за все, коли ми вважаємо похідну функції від будь-якої змінної, то повинні вказувати, за якою саме змінною ми вважаємо похідну - це і називається приватною похідною. Наприклад, у нас функція від двох змінних, і ми можемо порахувати її як $x$, так і $y$ — дві приватні похідні у кожної зі змінних.

По-друге, як тільки ми зафіксували одну зі змінних і починаємо вважати приватну похідну саме по ній, то всі інші, що входять до цієї функції, вважаються константами. Наприклад, $z\left(xy \right)$, якщо ми вважаємо приватну похідну по $x$, то скрізь, де ми зустрічаємо $y$, ми вважаємо її константою і звертаємося з нею саме як з константою. Зокрема при обчисленні похідної твори ми можемо виносити $y$ за дужку (у нас же константа), а при обчисленні похідної суми, якщо у нас десь виходить похідна від виразу, що містить $y$ і не містить $x$, то похідна цього виразу дорівнюватиме «нулю» як похідна константи.

На перший погляд може здатися, що я розповідаю про щось складне, і багато учнів спочатку плутаються. Проте нічого надприродного у приватних похідних немає, і ми переконаємося у цьому з прикладу конкретних завдань.

Завдання з радикалами та багаточленами

Завдання №1

Щоб не гаяти часу, з самого початку почнемо з серйозних прикладів.

Для початку нагадаю таку формулу:

Це стандартне табличне значення, яке ми знаємо із стандартного курсу.

У цьому випадку похідна $z$ вважається так:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Давайте ще раз, оскільки під коренем стоїть не $x$, а якийсь інший вираз, в даному випадку $\frac(y)(x)$, то спочатку ми скористаємося стандартним табличним значенням, а потім, оскільки під коренем стоїть не $x$, а інший вираз, нам необхідно примножити нашу похідну ще одну з цього виразу по тій же змінній. Давайте для початку порахуємо наступне:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Повертаємося до нашого виразу та записуємо:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

У принципі це все. Однак залишати її в такому вигляді неправильно: таку конструкцію незручно використовувати для подальших обчислень, тому давайте її трохи перетворимо:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2))))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Відповідь знайдено. Тепер займемося $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Випишемо окремо:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Тепер записуємо:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Все зроблено.

Завдання № 2

Цей приклад одночасно і простіше і складніше, ніж попередній. Складніше, тому що тут більше дій, а простіше, тому що немає кореня і, крім того, функція симетрична щодо $x$ і $y$, тобто. якщо ми змінимо $x$ і $y$ місцями, формула від цього зміниться. Це зауваження надалі спростить обчислення приватної похідної, тобто. Достатньо порахувати одну з них, а в другій просто поміняти місцями $x$ і $y$.

Приступаємо до справи:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy))(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Давайте порахуємо:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Однак багатьом учням такий запис незрозумілий, тому запишемо ось так:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Таким чином, ми ще раз переконуємося в універсальності алгоритму приватних похідних: яким би ми чином їх не вважали, якщо всі правила застосовуються правильно, відповідь буде та сама.

Тепер давайте розберемося ще з однією приватною похідною з нашої великої формули:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Підставимо отримані вирази в нашу формулу і отримаємо:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

$x$ пораховано. А щоб порахувати $y$ від того самого виразу, давайте не будемо виконувати всю ту ж послідовність дій, а скористаємося симетрією нашого вихідного виразу - ми просто замінимо в нашому вихідному виразі всі $y$ на $x$ і навпаки:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))(((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

За рахунок симетрії ми порахували цей вираз набагато швидше.

Нюанси рішення

Для приватних похідних працюють усі стандартні формули, які ми використовуємо для звичайних, а саме похідна приватного. При цьому, однак, виникають свої специфічні особливості: якщо ми вважаємо приватну похідну $x$, то коли ми отримуємо її по $x$, то розглядаємо її як константу, і тому її похідна дорівнюватиме «нулю».

Як і у випадку зі звичайними похідними, приватну (одну і ту ж) можна вважати кількома у різний спосіб. Наприклад, ту саму конструкцію, яку ми щойно порахували, можна переписати так:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Разом про те, з іншого боку, можна використовувати формулу від похідної суми. Як ми знаємо, вона дорівнює сумі похідних. Наприклад, запишемо таке:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Тепер, знаючи все це, давайте спробуємо попрацювати з більш серйозними висловлюваннями, оскільки справжні приватні похідні не обмежуються одними лише багаточленами та корінням: там зустрічаються і тригонометрія, і логарифми, і показова функція. Нині цим і займемося.

Завдання з тригонометричними функціями та логарифмами

Завдання №1

Запишемо такі стандартні формули:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Озброївшись цими знаннями, спробуємо вирішити:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Окремо випишемо одну змінну:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Повертаємося до нашої конструкції:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Все, по $x$ ми знайшли, тепер давайте займемося обчисленнями за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Знову ж порахуємо один вираз:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

Повертаємося до вихідного виразу та продовжуємо рішення:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Все зроблено.

Завдання № 2

Запишемо необхідну нам формулу:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Тепер порахуємо за $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

За $x$ знайдено. Вважаємо за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Завдання вирішено.

Нюанси рішення

Отже, від якої функції ми не брали приватну похідну, правила залишаються одними і тими ж, незалежно від того, чи працюємо ми з тригонометрією, з корінням або з логарифмами.

Незмінними залишаються класичні правила роботи зі стандартними похідними, а саме, похідна суми та різниці, приватного та складної функції.

Остання формула найчастіше зустрічається під час вирішення завдань із приватними похідними. Ми зустрічаємося з ними практично скрізь. Жодного завдання ще не було, щоб там нам воно не траплялося. Але якою б формулою ми не скористалися, нам все одно додається ще одна вимога, а саме, особливість роботи з приватними похідними. Щойно ми фіксуємо одну змінну, решта виявляються константами. Зокрема, якщо ми вважаємо приватну похідну виразу $\cos \frac(x)(y)$ $y$, то саме $y$ і є змінною, а $x$ скрізь залишається константою. Те саме працює і навпаки. Її можна виносити за знак похідної, а похідна від самої константи дорівнюватиме «нулю».

Все це призводить до того, що приватні похідні від одного й того ж виразу, але з різних змінних можуть виглядати по-різному. Наприклад, подивимося такі вирази:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Завдання з показовими функціями та логарифмами

Завдання №1

Для початку запишемо таку формулу:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Знаючи цей факт, а також похідну складної функції, спробуємо порахувати. Я зараз вирішу двома різними способами. Перший і найочевидніший — це похідна робота:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Давайте вирішимо окремо такий вираз:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .(((((y)"))_(x)))((((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)((((y)^(2))) =\frac(y)((((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Повертаємося до нашої вихідної конструкції та продовжуємо вирішення:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y) \right)\]

Все, по $x$ пораховано.

Однак, як я і обіцяв, зараз постараємося порахувати цю ж приватну похідну іншим способом. Для цього зауважимо таке:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))]

У цьому запишемо так:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

В результаті ми отримали таку саму відповідь, проте обсяг обчислень виявився меншим. Для цього досить було помітити, що при добутку показники можна складати.

Тепер порахуємо за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Давайте вирішимо один вираз окремо:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot (((((y)"))_(y)))((((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)((((y)^(2))) =-\frac(1)((((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Продовжимо вирішення нашої вихідної конструкції:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Зрозуміло, цю ж похідну можна було б порахувати другим способом, відповідь вийшла б такою самою.

Завдання № 2

Порахуємо по $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Давайте порахуємо один вираз окремо:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)(((( x)^(2))+y)\]

Продовжимо вирішення вихідної конструкції: $$

Ось така відповідь.

Залишилось за аналогією знайти по $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Один вираз порахуємо як завжди окремо:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Продовжуємо вирішення основної конструкції:

Все пораховано. Як бачите, залежно від цього, яка змінна береться для диференціювання, відповіді виходять зовсім різні.

Нюанси рішення

Ось яскравий приклад того, як похідну однієї й тієї функції можна порахувати двома різними способами. Ось дивіться:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y)))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

При виборі різних шляхів обсяг обчислень може бути різний, але відповідь, якщо все виконано правильно, вийде одним і тим же. Це стосується як класичних, і приватних похідних. У цьому вкотре нагадую: залежно від цього, якою змінної йде взяття похідної, тобто. диференціювання, відповідь може вийти зовсім різна. Подивіться:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Насамкінець для закріплення всього цього матеріалу давайте спробуємо порахувати ще два приклади.

Завдання з тригонометричною функцією та функцією з трьома змінними

Завдання №1

Давайте запишемо такі формули:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Давайте тепер вирішувати наш вираз:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Окремо порахуємо таку конструкцію:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Продовжуємо вирішувати вихідний вираз:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Це остаточна відповідь приватної змінної $x$. Тепер порахуємо за $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Вирішимо один вираз окремо:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Вирішуємо до кінця нашу конструкцію:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Завдання № 2

На перший погляд, цей приклад може здатися досить складним, тому що тут три змінні. Насправді це одне з найпростіших завдань у сьогоднішньому відеоуроці.

Знаходимо по $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Тепер розберемося з $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Ми знайшли відповідь.

Тепер залишається знайти $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Ми порахували третю похідну, на чому вирішення другого завдання повністю завершене.

Нюанси рішення

Як бачите, нічого складного у цих двох прикладах немає. Єдине, у чому ми переконалися, то це в тому, що похідна складної функції застосовується часто і залежно від того, яку приватну похідну ми вважаємо, ми отримуємо різні відповіді.

В останній задачі нам було запропоновано розібратися з функцією відразу від трьох змінних. Нічого страшного в цьому немає, проте в самому кінці ми переконалися, що вони один від одного істотно відрізняються.

Ключові моменти

Остаточні висновки із сьогоднішнього відеоуроку такі:

1. Приватні похідні вважаються так само, як і звичайні, при цьому, щоб вважати приватну похідну по одній змінній, решта змінних, що входять в цю функцію, ми приймаємо за константи.
2. Працюючи з приватними похідними ми використовуємо ті самі стандартні формули, як і з звичайними похідними: суму, різницю, похідну твори і частки і, зрозуміло, похідну складної функції.

Звичайно, перегляду одного цього відеоуроку недостатньо, щоб повністю розібратися в цій темі, тому прямо зараз на моєму сайті саме до цього відео є комплект завдань, присвячених саме сьогоднішній темі – заходьте, завантажуйте, вирішуйте ці завдання та звіряйтеся з відповіддю. І після цього жодних проблем із приватними похідними ні на іспитах, ні на самостійних роботаху вас не буде. Звичайно, це далеко не останній урок з вищої математики, тому заходьте на наш сайт, додавайте ВКонтакте, підписуйтесь на YouTube, ставте лайки і залишайтеся з нами!

приклад. Знайти, якщо, де.

Рішення. За формулою (1) маємо:

приклад. Знайти приватну похідну та повну похідну , якщо .

Рішення. .

На підставі формули (2) отримуємо .

2°. Випадок кількох незалежних змінних.

Нехай z = f(x; y) -функція двох змінних хі у,кожна з яких є функцією

незалежної змінної t: x = x(t), у = y(t).У цьому випадку функція z = f (x (t); y (t))є

складною функцією однієї незалежної змінної t;змінні х та у - проміжні змінні.

Теорема. Якщо z == f(x; у) -диференційована в точці М(х;у) Dфункція

і х = x(t)і у =y(t) -функції, що диференціюються незалежною змінною t,

то похідна складної функції z(t) == f(x(t); y(t))обчислюється за формулою

(3)

Окремий випадок: z = f(x; у),де у = у(х),тобто. z = f(x; y(x)) -складна функція однієї

незалежної змінної х.Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної

tграє х.Відповідно до формули (3) маємо:

.

Остання формула зветься формули повної похідної

Загальний випадок: z = f(x;y),де x = x(u;v), y=y(u;v).Тоді z = f(x(u;v); y(u;v)) -складна

функція незалежних змінних іі v.Її приватні похідні і можна знайти,

використовуючи формулу (3) в такий спосіб. Зафіксувавши v,замінюємо в ній,

відповідними приватними похідними

Таким чином, похідна складної функції (z) по кожній незалежній змінній (іі v)

дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжним

змінним (x та у)на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).

У всіх розглянутих випадках справедлива формула

(Властивість інваріантності повного диференціалу).

приклад. Знайти і якщо z = f(x, y), де x = uv, .

1°. Випадок однієї незалежної змінної. Якщо z=f(x,y) є функція, що диференціюється, аргументів х і у, які в свою чергу є диференційованими функціями незалежної змінної t: , то похідна складної функції може бути обчислена за формулою

приклад. Знайти, якщо, де.

Рішення. За формулою (1) маємо:

Приклад. Знайти приватну похідну та повну похідну , якщо .

Рішення. .

На підставі формули (2) отримуємо .

2°. Випадок кількох незалежних змінних.

Нехай z =f (x;y) -функція двох змінних хі у,кожна з яких є функцією незалежної змінної t: х =x (t), у =y (t).У цьому випадку функція z =f (x (t);y (t))є складною функцією однієї незалежної змінної t;змінні х та у - проміжні змінні.

Теорема. Якщо z == f(x; у) -диференційована в точці М(х;у)Dфункція та х =x (t)і у =y (t) -функції, що диференціюються незалежною змінною t,то похідна складної функції z (t) == f(x (t);y (t))обчислюється за формулою

Окремий випадок:z = f (x; у),де у = у(х),тобто. z = f (x;y (x)) -складна функція однієї незалежної змінної х.Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної tграє х.Відповідно до формули (3) маємо:

.

Остання формула зветься формули повної похідної

Загальний випадок:z = f (x;y),де х =x (u;v),y =y (u;v).Тоді z = f (x (u;v);y (u;v)) -складна функція незалежних змінних іі v.Її приватні похідні можна знайти, використовуючи формулу (3) наступним чином. Зафіксувавши v,замінюємо в ній , відповідними приватними похідними

Таким чином, похідна складної функції (z ) по кожній незалежній змінній (іі v)дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) за її проміжними змінними (x та у)на їх похідні за відповідною незалежною змінною (u та v).

У всіх розглянутих випадках справедлива формула

(Властивість інваріантності повного диференціалу).

приклад. Знайти і якщо z = f(x, y), де x = uv,.

Рішення. Застосовуючи формули (4) та (5), отримаємо:

приклад. Показати, що функція задовольняє рівняння .

Рішення. Функція залежить від х і у через проміжний аргумент, тому

Підставивши приватні похідні до лівої частини рівняння, матимемо:

Т. е. функція z задовольняє даному рівнянню.

Похідна в даному напрямку та градієнт функції

1°. Похідна функції у цьому напрямку. Похіднийфункції z = f(x, y) у цьому напрямкуназивається де і - значення функції в точках і . Якщо функція z диференційована, справедлива формула

де - кути між напрямком lта відповідними координатними осями. Похідна у цьому напрямі характеризує швидкість зміни функції у цьому напрямі.

приклад. Знайти похідну функції z = 2х2 - Зу 2 у точці P (1; 0) у напрямку, що становить з віссю ОХ кут в 120 °.

Рішення. Знайдемо приватні похідні цієї функції та їх значення у точці P .

Теорема.Нехай u = f (х, у)задана в області D та нехай х = х(t)і у = у(t)визначено в області , причому, коли , то х і у належать області D. Нехай функція u диференційована у точці M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), а функції х(t) і у(t) диференційовані у відповідній точці t 0 , то складна функція u = f[x(t),y(t)]=F (t)диференційована в точці t 0 і має місце рівність:

.

Доведення.Так як u диференційована за умовою в точці ( x 0 , y 0), то її повне збільшення представляється у вигляді

Розділивши це співвідношення на , отримаємо:

Перейдемо до межі і отримаємо формулу

.

Зауваження 1.Якщо u= u(x, y) та x= x, y= y(x), то повна похідна функції uпо змінній х

або .

Остання рівність можна використовувати для доказу правила диференціювання функції однієї змінної, заданої неявно у вигляді F(x, y) = 0, де y= y(x) (див. тему № 3 та приклад 14).

Маємо: . Звідси . (6.1)

Повернемося до прикладу 14 теми № 3:

;

.

Як бачимо, відповіді збіглися.

Примітка 2.Нехай u = f (х, у), де х= х(t , v), у= у(t , v). Тоді u є в кінцевому рахунку складна функція двох змінних tі v. Якщо тепер функція u диференційована у точці M 0 (x 0 , y 0), а функції хі удиференційовані у відповідній точці ( t 0 , v 0), то можна говорити про приватні похідні по tі vвід складної функції у точці ( t 0 , v 0). Але якщо ми говоримо про приватну похідну по t у зазначеній точці, то друга змінна v вважається постійною та рівною v 0 . Отже, йдеться про похідну тільки від складної функції t і, отже, ми можемо скористатися виведеною формулою. Отже, отримаємо.

Нехай функція z - / (х, у) визначена в деякій ділянці D на площині хОу. Візьмемо внутрішню точку (х, у) з області D і дамо х збільшення Ах таке, щоб точка (х + Ах, у) 6 D (рис.9). Величину назвемо приватним збільшенням функції z по х. Складемо ставлення Для даної точки (х, у) це відношення є функцією від визначення. Якщо при Ах -* 0 відношення має кінцеву межу, то ця межа називається приватною похідною функції z = /(х, у) по незалежній змінній х в точці (х, у) і позначається символом jfc (або /i(x, jj ), або z"x(x, Та ним чином, за визначенням або, що теж саме, Аналогічно Якщо і - функція п незалежних змінних, то Помітивши, що Arz обчислюється при незмінному значенні змінної у, a Atz - при незмінному значенні змінної х, визначення приватних похідних можна сформулювати так: Приватні похідні Геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції декількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференційності функцій декількох змінних ) називається звичайна похідна цієї функції по х, обчислена в припущенні, що у - постійна; Звідси випливає, що правила обчислення похідних приватних збігаються з правилами, доведеними для функції однієї змінної. приклад. Знайти окремі похідні функції 4 Маємо Замінами*. З існування функції г = /(х, у) у цій точці приватних похідних за всіма аргументами не витімає безперервності функції у цій точці. Так, функція не є безперервною у точці 0(0,0). Однак у цій точці вказана функціямає приватні похідні з х та у. Це випливає з того, що /(х, 0) = 0 і /(0, у) = 0 і тому Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних Нехай у тривимірному просторі поверхня S задана рівнянням де f(x, у) - функція, безперервна в деякій області D і має там приватні похідні х і у. З'ясуємо геометричний зміст цих похідних у точці Мо(хо,уо) 6 D, якій поверхні z = f(x)y) відповідає точка f(x0)yo)). При знаходженні приватної похідної точки М0 ми вважаємо, що z є тільки функцією аргументу х, тоді як аргумент у зберігає постійне значення у = уо, тобто. Функція fi(x) геометрично зображується кривою L, по якій поверхня S перетинається площиною у = у о. В силу геометричного сенсу похідної функції однієї змінної f (xo) = tg а, де а - кут, утворений дотичної до лінії L в точці JV0 з віссю Ох (рис. 10). Але так що Таким чином, приватна похідна ($ |) дорівнює тангенсуугла а між віссю Ох і дотичною в точці N0 до кривої, отриманої в перерізі поверхні z = / (х, у) площиною у Аналогічно отримуємо, що §6. Диференційність функції кількох змінних Нехай функцію z = /(х, у) визначено в деякій ділянці D на площині хОу. Візьмемо точку (х, у) € D і вибраним значенням х і дамо будь-які прирощення Ах і Ду, але такі, щоб точка. Визначення. Функція г = /(х, у) називається диференційованої * точці (ж, у) € 2Е, якщо повне вирішення цієї функції, що відповідає приростам Дх, Ду аргументів, можна уявити у вигляді де Л і В не залежать від Дх і Д у ( але взагалі залежать від х і у), а (Дх, Ду) і /? (Дх, Ду) прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. . Якщо функція z = /(х, у) диференційована в точці (х, у), то частина А Дх 4- ВД прирощення функції, лінійна щодо Дх і Ду, називається повним диференціалом цієї функції в точці (х, у) і позначається символом dz: Танім чином, Приклад. Нехай г = х2 + у2. У будь-якій точці (г,у) і для будь-яких Дх і Ду маємо Тут. Так що а і / 3 прагнуть до нуля при прагненні до нуля Дх і Ду. Згідно з визначенням, дана функція диференційована в будь-якій точці площини хоу. При цьому зауважимо, що в наших міркуваннях не був формально виключений той випадок, коли збільшення Дх, Ду порізно або навіть обидва відразу дорівнюють нулю. Формулу (1) можна записати більш компактно, якщо ввести вираз (відстань між точками (Користуючись ним, можемо написати Позначивши вираз, що стоїть у скобнах, через е, будемо мати де з залежить від Дж, Ду і прагне до нуля, якщо Дж 0 і Ду 0, або, коротше, якщо р 0. Формулу (1), що виражає умову диференційності функції z = f(xt у) у точці (ж, у), можна тепер записати у вигляді Так, у наведеному вище прикладі 6.1. 4. Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в деякій точці, то вона в цій точці безперервна 4 Якщо в точці (ж, у) функція г = /(ж, у) диференційована, то повне приріст функції я в цій точ», що відповідає приростам Дж і Ду аргументів, можна представити у вигляді (величини Л, В для даної точки постійні; звідки слідує, що Останнє означає, що в точці (ж, у) функція г б) Якщо функція г = /(ж, у) диференційована в даній точці, mo око ы.иеет у цій точці приватні похідні $§ і.Нехай функція z = /(х, у ) диференціюється від точки (х, у). .Тоді приріше ^ Дг цієї функції, що відповідає приросту Дх, Ау аргументів, можна представити у вигляді (1). Взявши в рівності (1) Дх Ф 0, Ду = 0, отримаємо звідки Так як у правій частині останньої рівності величина А не залежить від, Це означає, що в точці (х, у) існує приватна похідна функції г = / (х, у) по х, причому Подібними ж міркуваннями переконуємось (х, існує приватна похідна функції zу, причому З теореми випливає, що Підкреслимо, що теорема 5 стверджує існування приватних похідних тільки в точці (х, у), але нічого не говорить про безперервність їх у цій точці, а також про їхню поведінку в околиці точки (х, у) 6.2 Достатні умови функцій кількох змінних, що диференціюються™ Як відомо, необхідною і достатньою умовою диференційованості функції у = /(х) однією змінною в точці хо єсучення кінцевої похідної /"(х) у точці х0. У разі, коли функція залежить від декількох змінних, справа значно складніша: необхідних і достатніх умов диференційності немає вже для функції z = /(х, у) двох незалежних змінних х, у; є лише окремо необхідні умови (див. вище) та окремо - достатні. Ці достатні умови диференційності функцій кількох змінних виражаються наступною теоремою. Теорема ст. Якщо функція має приватні похідні /£ і f"v деякій околиці тонкі (хо, Уо) і якщо ці похідні безперервні в самій точці (хо,Уо), то функція z = f(x, у) диференційована в точці (х- Пример. Рассмотрим функцию Частные производные Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных Необходимые условия дифференцируемости функции Достаточные условия дифференцируемсти функций нескольких переменных Полный дифференциал. Частные дифференциалы Производные сложной функции Она определена всюду. Исходя из определения частных производных, имеем Для наощдрлм* дифференцируемое ™ даної функції в точці 0(0,0) знайдемо і збільшення цієї точить 0 і Ду 0. Покладемо Д0. Тоді з формули (1) матимемо Тому функції /(х,у) = не диференційована в точці 0(0,0), хоча і має в цій точці виробляємо fa і f"r Отриманий результат пояснюється тим, що похідні fz і ft розривні точці §7. Повний диференціал. Приватні диференціали Якщо функція г - f(z> у) диференційована, то її стислий диференціал dz дорівнює Зауважуючи, що А = В = щ, запишемо формулу (1) в наступному вигляді Поширимо поняття диференціала функції на незалежні змінні, поклавши диференціали їх збільшенням: Після цього формула повного диференціала функції примітка Приклад. Нехай i - 1л (х + у2). Тоді Аналогічно, якщо u =) є функція, що диференціюється n незалежних змінних, то Вираз називається пісним диференціалом функції z = f(x, у) по змінній х; вираз називається приватним диференціалом функції z = / (ж, у) поперемінною у. З формул (3), (4) і (5) випливає, що повний диференціал функції є сумою її приватних диференціалів: Зазначимо, що повне збільшення Az функції z = / (ж, у), взагалі кажучи, не дорівнює сумі приватних прирощень. Якщо в точці (я, у) фунмцияг = /(ж, у) диференційована і диференціал dz ФО в цій точці, то її повне приріст відрізняється від своєї лінійної частини тільки на суму останніх доданків аАх 4- /?ДУ, які при Аж 0 і Ау --» Про є нескінченно малими вищого порядку, ніж складові лінійної частини. Тому при dz Ф 0 лінійну частину збільшення диференційованої функції називають головною частиною збільшення функції і користуються наближеною формулою яка буде тим більш точною, чим меншими за абсолютною величиною будуть збільшення аргументів. §8. Похідні складної функції 1. Нехай функція визначена в деякій ділянці D на площині хОу, причому кожна зі змінних ж, у свою чергу є функцією аргументу t: Припускатимемо, що при зміні t в інтервалі (відповідні точки (ж, у) не виходять за межі області D. Якщо підставити значення в функцію z = / (ж, у), то отримаємо складну функцію однієї змінної t. M Дамо t приріст Дt.Тоді x і у отримають деякі прирощення Ах і Ду. В результаті цього при (Дж)2 + (Ду)2 Ф 0 функція z також отримає деяке прирощення Дг, яке в силу диференційованості функції z = /(ж , у) у точці (х, у) може бути представлене у вигляді де а) прагнуть нуля при прагненні нуля Ах і Ду. Довизначимо а і /3 при Ах = Ау = 0, поклавши а Тоді а (будуть безперервні при Дж = Ду = 0. Розглянемо відношення Маємо У кожному доданку ^ в Правій частині (2) обидва співмножники мають межі при приватних похідних і ^ для цієї є постійними, за умовою існують межі з існування похідних ^ і в точці £ слід безперервність в цій точці функцій х = y(t) і у = тому при At 0 прагнуть до нуля і Дж і Ду, що в свою чергу тягне за собою прагнення до нуля а(Дх, Ду) і Р(Ах, Ау) Таким чином, права частина рівності (2) при 0 має межу, рівну Значить, існує при At 0 і межа лівої частини (2) Існує рівний Переходячи в рівності (2) до межі при At -» 0, отримуємо необхідну формулу У окремому випадку, коли, отже, z є складною функцією від ж, отримуємо У формулі (5) є приватна похідна фунадііг = /(ж, у) по ж, при обчисленні якої у виразі/(ж, у) аргумент у приймається за постійну. постійну, а вважається своєю чергою функцією від ж: у = tp(x)t і тому залежність z від ж враховується повністю. приклад. Знайти і jg, якщо 2. Розглянемо тепер диференціювання складної функції кількох змінних. Нехай де своєю чергою отже Припустимо, що у точці (() існують безперервні приватні похідні щ, 3?» а відповідній точці (ж,у), де Функція /(ж, у) диференційована. складна функція z = z(() у) у точці t7) має похідні і щ, і знайдемо вирази для цих похідних. Зауважимо, що цей випадок від вже вивченого суттєво не відрізняється. Дійсно, при диференціюванні z по £ друга незалежна змінна rj приймається за постійну, внаслідок чого ж і у при цій операції стають функціями однієї змінної ж" = с), у = с) і питання про похідну Ц вирішується так само, як питання про Вихідною при виведенні формули (3) Використовуючи формулу (3) і формально замінюючи в ній похідні § і ^ на похідні щ і відповідно, отримаємо Аналогічно знаходимо Приклад. Якщо складна функція « Задана формулами так що то при виконанні відповідних умов маємо У окремому випадку, коли І = де Приватні похідні Геометричний зміст приватних похідних функції двох змінних Диференційність функції кількох змінних Необхідні умови диференційності функції Достатні умови диференціювання функцій кількох змінних Повний диференціал. Похідні складної функції маємо тут т-повна. приватна похідна функції і по незалежній змінній х, що враховує повну залежність і від х, в тому числі і через z = z (x, y), a ^ -приватна. у, г) по х, при обчисленні до