Fourierove rady reprezentácie periodických signálov. Použitie Fourierovho radu na analýzu spektier periodických neharmonických signálov na príklade periodickej sekvencie pravouhlých impulzov
Kurz v kalkulácii
Téma: Výpočet parciálnych súčtov a spektrálnych charakteristík Fourierovho radu pre explicitnú funkciu
signál Fourierova spektrálna funkcia
1. Model fyzikálneho procesu
Riešenie úlohy teoretickými výpočtami
Príklad riešenia problému
Príklad riešenia problému v Prostredie Matlab R2009a
Bibliografia
1. Model fyzikálneho procesu
matematický model niektorá funkcia času môže slúžiť ako rádiový signál f(t) . Táto funkcia môže byť skutočná alebo komplexná, jednorozmerná alebo viacrozmerná, deterministická alebo náhodná (šumové signály). V rádiotechnike ten istý matematický model opisuje prúd, napätie a intenzitu s rovnakým úspechom. elektrické pole a tak ďalej.
Zvážte skutočné jednorozmerné deterministické signály
Množiny funkcií (signálov) sa zvyčajne považujú za lineárne funkčné normované priestory, v ktorých sú zavedené tieto pojmy a axiómy:
) všetky lineárne priestorové axiómy sú splnené;
) skalárny súčin dvoch reálnych signálov je definovaný takto:
) dva signály sa nazývajú ortogonálne, ak je ich skalárny súčin nula;
) systém ortogonálnych signálov tvorí nekonečnerozmernú súradnicovú základňu, v ktorej je možné rozširovať akýkoľvek periodický signál patriaci do lineárneho priestoru;
Spomedzi rôznych systémov ortogonálnych funkcií, v ktorých je možné signál rozložiť, je najbežnejší systém harmonických (sínusových a kosínusových) funkcií:
Reprezentácia nejakého periodického signálu ako súčet harmonických kmitov s rôznymi frekvenciami sa nazýva spektrálna reprezentácia signálu. Jednotlivé harmonické zložky signálu tvoria jeho spektrum. Z matematického hľadiska je spektrálne znázornenie ekvivalentné rozšíreniu periodickej funkcie (signálu) do Fourierovho radu.
Význam spektrálneho rozkladu funkcií v rádiotechnike je spôsobený niekoľkými dôvodmi:
) jednoduchosť štúdia vlastností signálu, pretože harmonické funkcie sú dobre študované;
) možnosť generovania ľubovoľného signálu, pretože technika generovania harmonických signálov je pomerne jednoduchá;
) jednoduchosť prenosu a príjmu signálu cez rádiový kanál, tk. harmonické kmitanie je jedinou funkciou času, ktorá si zachováva svoj tvar pri prechode cez akýkoľvek lineárny obvod. Signál na výstupe obvodu zostáva harmonický s rovnakou frekvenciou, mení sa len amplitúda a počiatočná fáza kmitania;
) rozklad signálu na sínus a kosínus umožňuje použitie symbolickej metódy vyvinutej na analýzu prenosu harmonických kmitov lineárnymi obvodmi.
Ako model fyzikálneho procesu zvážte elektrokardiogram srdca.
2. Riešenie úlohy teoretickými výpočtami
Úloha 1:
Opíšme pomocou Fourierovho radu periodicky sa opakujúci impulz v sekcii elektrokardiogramu, takzvaný komplex QRS.
Komplex QRS možno definovať pomocou nasledujúcej lineárnej funkcie
Kde
Táto funkcia môže pokračovať periodicky s bodkou T = 2 1.
Fourierove rady funkcií:
Definícia 1: Funkcia sa volá po častiach súvislý na úsečke [a, b], ak je spojitá vo všetkých bodoch tejto úsečky, okrem konečného počtu bodov, v ktorých existujú jej konečné jednostranné limity.
Definícia 2: Funkcia sa volá po častiach hladké na nejakom intervale, ak on a jeho derivácia sú po častiach spojité.
Veta 1 (Dirichletov test): Fourierov rad hladkej funkcie po častiach na segmente f(X) konverguje v každom bode spojitosti k hodnote funkcie v tomto bode a k hodnote v každom bode nespojitosti.
Naša funkcia spĺňa podmienky vety.
Pre danú funkciu získame nasledujúce koeficienty Fourierovho radu:
Komplexná forma Fourierovho radu
Na reprezentáciu série v komplexnej forme používame Eulerove vzorce:
Predstavme si notáciu:
Potom môže byť séria prepísaná ako
Okrem toho je možné koeficienty komplexného Fourierovho radu získať aj priamo ich výpočtom pomocou vzorca
Napíšme v komplexnom tvare Fourierov rad danej funkcie
Spektrálne charakteristiky série
Výraz 
vo Fourierovom rade je tzv nharmonická. To je známe
kde alebo
, 
Agregáty, tzv amplitúdové a fázové spektrum periodická funkcia.
Graficky sú spektrá zobrazené ako segmenty dĺžky nakreslené kolmo na os, na ktorej je vynesená hodnota n= 1,2 ... alebo .
Grafické znázornenie zodpovedajúceho spektra sa nazýva amplitúdový alebo fázový diagram. V praxi sa najčastejšie používa amplitúdové spektrum.
.Príklad riešenia problémov
Úloha 2: Zvážte konkrétny príkladúlohy pre vybraný model fyzikálneho procesu.
Pokračujeme touto funkciou na celú reálnu os, dostaneme periodickú funkciu f(X)
s periódou T=2 l= 18 (obr. 1).
Ryža. 1. Graf periodicky pokračujúcej funkcie
Vypočítajme Fourierove koeficienty danej funkcie.
Čiastkové súčty radu zapíšeme:
Ryža. 2. Grafy parciálnych súčtov Fourierovho radu
S rastom n grafy čiastkových súčtov v bodoch spojitosti sa približujú ku grafu funkcie f(X)
. V bodoch diskontinuity sa približujú hodnoty čiastkových súm 
.
Zostrojme amplitúdové a fázové diagramy.
berúc do úvahy štvrtinu.
Tabuľka
4. Príklad riešenia úlohy v prostredí Matlab R2009a Úloha 3: Ako príklad zvážte úplné PR a QT intervaly. Ryža Pre túto funkciu vytvorte grafy čiastočných súčtov, ako aj amplitúdové a fázové diagramy. Zoberme si konkrétne hodnoty parametrov pre našu úlohu: Skript na vytvorenie požadovaných grafov a tabuliek. Skript umožňuje vyriešiť množstvo podobných problémov výberom parametrov a súradníc bodov Q, R, S. %VÝPOČET ČIASTOČNÝCH SÚČTOV A SPEKTRÁLNYCH CHARAKTERISTICKÝCH VLASTNOSTÍ SÉRIE ŠTVORY PRE EXPLICIT %Spektrálna analýza.L I1 I2 Q R S I3 I4 I5 P T w v a b c d q r Qy Ry SynCase=18;=6; I2 = 10; Q = 11; Qy= -2; R = 12; Ry = 17; S = 13; Sy = -4; I3=15; I4 = 20; I5 = 26; = 2; T = 3; ExprNum=9;=250;=30;=0;príznak == 0=1;(k<15) k = menu("Zmeniť parametre", ... sprintf (" Parameter1 P = %g", P),...(" Parameter2 I1 = %g", I1),...(" Parameter3 I2 = %g", I2),...(" Parameter4 Qx = %g", Q),...(" Parameter5 Qy = %g", Qy),...(" Parameter6 Rx = %g", R),...(" Parameter 7" S, S),...(" Parameter 7" S, S),... y = %g", Sy),...(" Parameter10 I3 = %g", I3),...(" Parameter11 I4= %g", I4),...(" Parameter12 T = %g", T),...(" Parameter13 I5 = %g", I5),...(" Parameter13 Ns = %g", Ns),... " Pokračovať ");k==1,= input(); endk==2,= input(); endk==3,= vstup(); endk==4,= input(); endk==5,= vstup(); endk==6,= input(); endk==7,= input(); " Nová hodnota Sx= "]); endk==9,= vstup(); endk==10,= input(); endk==11,= input(); endk==12,= input(); endk==13,= input() endk==14,= input() %Použiť parametre=Qy/(Q-I2); v=Qy*I2/(I2-Q);=(Ry-Qy)/(R-Q);=(Qy*R-Q*Ry)/(R-Q);=(Sy-Ry)/(S-R);=(Ry*S-R*Sy)/(S-R);=Sy/(S-I3);=I3-L0Sy/:2; );=nuly(1,Dim);=poschodie(I1*N/2/L)+1;=poschodie((I2-I1)*N/2/L)+1;=poschodie((Q-I2)*N/2/L)+1;=poschodie((R-Q)*N/2/L)+1;= poschodie(N/2/S)+1*N/2/L)+1*N/2/L)+1 ; = poschodie((I4-I3)*N/2/L)+1;= poschodie ((I5-I4)*N/2/L)+1;= poschodie ((2*L-I4)*N/2/L)+1;i=1:u1(i)=P*sin(pi*t(i)/I1);i=u1:u2u+u=1=u1:u2+u=1(u1:u2)+u=+1:u)i2) w *t(i)+v;i= (u3+u2+u1): (u4+u3+u2+u1)(i)=a*t(i)+b;i=(u4+u3+u2+u1): (u5+u4+u3+u2+u1)(i)=c*t(i)+d;u4+u3+u5+d;u4+3+u5+u4):u6=u3+u5+u1 2 +u1)(i)=q*t(i)+r;i=(u6+u5+u4+u3+u2+u1): (u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)(i)=0;i=(u7+u6+u5+u4+u3+u2+u1)+u3+u2+u1+u3)+4+4+u1=u6+u5u1= in (pi*(t(i)-I4)/(I5-I4));(t,y,"LineWidth",2), grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16); title("Graf procesu"); xlabel("Čas (y)"); ylabel("Y(t)"); Graf čiastočného súčtu n=0;j=1:ExprNum=j;j1=štvorica (@f, 0, I1);2=a0+štvorica (@f, I1, I2);3=a0+štvorica (@f, I2, Q);4=a0+štvorica (@f,Q,R);5=a0+štvorica (@f, R, S; d, S; d, d, 6=a, If+ a 3, I4);8=a0+štvorica (@f, I4, I5);9=a0+štvorica (@f, I5, 2*L);=a0/L;=nuly(1,Ns);=nuly(1,Ns);i=l:Ns=i;j=1:ExprNum=j;j1(i)=1g,If=i)=1g, If); ) = an(i) + quad (@f, I1, I2); (i) = bn (i) + quad (@g, I1, I2); 3 (i) = an(i) + quad (@f, I2, Q); (i) = bn (i) + quad (@g, I2, Q); 4(i) = an(i) + quad); 5(i)=an(i)+quad(@f,R,S);(i)=bn(i)+quad(@g,R,S);6(i)=an(i)+quad(@f,S,I3);(i)=bn(i)+quad(@g,S,I3);7(i)=an(i)+quad,Ig)+ quad,(i)+id,I3+ I4);8(i)=an(i)+quad(@f,I4,I5);(i)=bn(i)+quad(@g, I4, I5);9(i)=an(i)+quad(@f, I5, 2*L);(i)=bn(i)+quad(@g, I5))= 2/i)= n(i);(i); nuly (1, dĺžka(x));=fn+a0/2;i=1:Ns=i;=fn+an(i)*cos(n*pi*x/L)+bn(i)*sin(n*pi*x/L);(t,y,x,fn,"Šírka riadku",2), mriežka, množina (gca,"ArialFontName,"16FontS," title("Graf signálu a čiastočného súčtu"); xlabel("Čas (y)"); ylabel(sprintf("Sn(t)")); %Plot Amplitude Plot=nuly(1, Ns); wn=pi/L;=wn:wn:wn*Ns;i=1:Ns(i)=sqrt(an(i).^2+bn(i).^2);(Gn,A,"."), mriežka, množina (gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Diagram amplitúdy signálu"); xlabel("n"); ylabel("An"); %Vykresliť fázový diagram signálu=nuly(1, Ns); pre i=1:Ns(an(i)>0)(i)=atan(bn(i)/an(i));((an(i)<0)&&(bn(i))>0)(i)=atan(bn(i)/an(i))+pi;((an(i)<0)&&(bn(i))<0)(i)=pi-atan(bn(i)/an(i));((an(i)==0)&&(bn(i))>0)(i)=pi/2;((an(i)==0)&&(bn(i))<0)(i)=-pi/2;(Gn,Fi,"."),
grid, set(gca,"FontName","Arial Cyr","FontSize",16);("Фазовая диаграмма сигнала");
xlabel("n"); ylabel("Fi");Figure 1;Figure 2;Figure 3;Figure 4;=0;=input("Закончить
работу-<3>, ďalej - 1. Fikhtengolts, G.M. Priebeh diferenciálneho a integrálneho počtu: v 3 zväzkoch, M., 1997. 3 zväzky. Vodnev, V. T., Naumovich, A. F., Naumovich, N. F., Základné matematické vzorce. Minsk, 1998 Charkevich, A.A., Spektra a analýza. Moskva, 1958 Lazarev, Yu.F., Začiatky programovania v prostredí MatLAB. Kyjev 2003. Demidovič, B.P. Zbierka úloh a cvičení z matematickej analýzy, M., 1988.
Zoznamliteratúre
Signál je tzv periodikum, ak sa jeho forma v čase cyklicky opakuje. Periodický signál sa vo všeobecnosti zapisuje takto:
Tu je perióda signálu. Periodické signály môžu byť jednoduché aj zložité.
Na matematickú reprezentáciu periodických signálov s periódou sa často používa tento rad, v ktorom sú ako základné funkcie zvolené harmonické (sínusové a kosínusové) kmity viacerých frekvencií:
Kde . - základná uhlová frekvencia sledu funkcií. Pomocou harmonických bázových funkcií z tohto radu získame Fourierov rad, ktorý možno v najjednoduchšom prípade zapísať v nasledujúcom tvare:
kde koeficienty
Z Fourierovho radu je zrejmé, že vo všeobecnom prípade periodický signál obsahuje konštantnú zložku a súbor harmonických kmitov základnej frekvencie a jej harmonických s frekvenciami . Každá harmonická oscilácia Fourierovho radu je charakterizovaná amplitúdou a počiatočnou fázou.
Spektrálny diagram a spektrum periodického signálu.
Ak je akýkoľvek signál prezentovaný ako súčet harmonických kmitov s rôznymi frekvenciami, znamená to spektrálny rozklad signál.
Spektrálny diagram signál sa nazýva grafické znázornenie koeficientov Fourierovho radu tohto signálu. Existujú amplitúdové a fázové diagramy. Na zostavenie týchto diagramov sa v určitej mierke vykresľujú harmonické frekvencie pozdĺž horizontálnej osi a ich amplitúdy a fázy sú vykreslené pozdĺž vertikálnej osi. Navyše amplitúdy harmonických môžu nadobúdať iba kladné hodnoty, fázy - kladné aj záporné hodnoty v intervale.
Spektrálne diagramy periodického signálu:
a) - amplitúda; b) - fáza.
Spektrum signálu- je to súbor harmonických zložiek so špecifickými hodnotami frekvencií, amplitúd a počiatočných fáz, ktoré spolu tvoria signál. V praxi sa spektrálne diagramy nazývajú stručnejšie - amplitúdové spektrum, fázové spektrum. Najväčší záujem je o amplitúdový spektrálny diagram. Môže sa použiť na odhad percent harmonických v spektre.
Spektrálne charakteristiky v telekomunikačnej technike zohrávajú dôležitú úlohu. Keď poznáte spektrum signálu, môžete správne vypočítať a nastaviť šírku pásma zosilňovačov, filtrov, káblov a iných uzlov komunikačných kanálov. Znalosť spektier signálu je nevyhnutná pre budovanie viackanálových systémov s frekvenčným delením kanálov. Bez znalosti spektra rušenia je ťažké prijať opatrenia na jeho potlačenie.
Z toho môžeme vyvodiť záver, že spektrum musí byť známe pre realizáciu prenosu neskresleného signálu cez komunikačný kanál, aby sa zabezpečilo oddelenie signálu a zmiernenie rušenia.
Na pozorovanie spektier signálov existujú prístroje tzv spektrálne analyzátory. Umožňujú pozorovať a merať parametre jednotlivých zložiek spektra periodického signálu, ako aj merať spektrálnu hustotu spojitého signálu.
V súčasnosti sú známe nasledujúce metódy organizácie rádiových kanálov (rádiové technológie): FDMA, TDMA, CDMA, FH-CDMA. Sú možné kombinácie (napr. FDMA/TDMA). Načasovanie aplikácie týchto technológií sa do značnej miery zhoduje s fázami vývoja mobilných komunikačných systémov. Prvá generácia mobilných rádiotelefónnych zariadení využívala technológiu viacnásobného prístupu s frekvenčným delením (FDMA). Rádiová technológia FDMA bola doteraz úspešne aplikovaná v pokročilých mobilných komunikačných zariadeniach prvej generácie, ako aj v jednoduchších nebunkových mobilných rádiotelefónnych komunikačných systémoch. Pokiaľ ide o štandardy mobilnej komunikácie prvého stupňa, pre prvé radiálne systémy sa koncept štandardov nepoužíval a zariadenia sa líšili názvami systémov (Altai, Volemot, Actionet atď.). Bunkové komunikačné systémy sa začali líšiť v štandardoch. Technológia FDMA je založená na takých štandardoch prvej generácie bunkových komunikačných systémov, ako sú NMT-450, NMT-900, AMPS, TACS. Bunkové mobilné komunikačné systémy druhej generácie prešli na digitálne spracovanie prenášaných hlasových správ, na ktoré sa použila rádiová technológia s viacnásobným prístupom s časovým delením (TDMA). V dôsledku prechodu na TDMA: zvýšila sa odolnosť rádiovej cesty voči šumu, zlepšila sa jej ochrana pred počúvaním atď. TDMA sa používa v systémoch noriem ako napr GSM, D-AMPS (ten sa v americkej verzii často označuje jednoducho ako TDMA). Rádiová technológia s viacnásobným prístupom s kódovým delením CDMA, alebo v anglickej verzii CDMA, sa vo verejných rádiotelefónnych sieťach aktívne zaviedla až v posledných piatich rokoch. Táto rádiová technológia má svoje výhody, pretože. v zariadeniach CDMA: - účinnosť využívania rádiového frekvenčného spektra je 20-krát vyššia v porovnaní so štandardnými rádiovými zariadeniami AMPS (technológia FDMA) a 3-krát vyššia ako GSM (technológia TDMA); - oveľa lepšia ako v iných systémoch TDMA 2. generácie, kvalita, spoľahlivosť a dôvernosť komunikácie; - je možné použiť malorozmerové nízkoenergetické koncovky s dlhou životnosťou; - v rovnakej vzdialenosti od základnej stanice je vyžarovací výkon účastníckych terminálov CDMA viac ako 5-krát nižší v porovnaní s rovnakým ukazovateľom v sieťach štandardov založených na iných rádiových technológiách; - pri výpočte oblastí pokrytia je možné optimalizovať topológiu sietí. Technológia CDMA bola prvýkrát implementovaná v mobilnom komunikačnom zariadení IS-95. Z hľadiska ich servisných schopností sú existujúce CDMA systémy klasifikované ako bunkové komunikačné systémy druhej generácie. Podľa štatistík Národného telekomunikačného inštitútu (ETRI) sa počet predplatiteľov CDMA denne zvyšuje o 2000 ľudí. Čo sa týka rastu počtu účastníkov, tieto siete prekonávajú siete iných existujúcich štandardov bunkovej komunikácie, čím predbiehajú vývoj mobilných sietí dokonca aj takých populárnych štandardov, ako je GSM. V súčasnosti je v sieťach CDMA najmenej 30 miliónov predplatiteľov. Globálna telekomunikačná komunita sa prikláňa k presvedčeniu, že v budúcich systémoch bezdrôtového prístupu na účastníckej linke (osobné komunikačné systémy tretej generácie) zaujme CDMA vedúcu pozíciu. K tomuto záveru sa dospelo vzhľadom na skutočnosť, že technológia CDMA je najschopnejšia splniť požiadavky na zariadenia IMT-2000 tretej generácie, najmä na zabezpečenie výmeny informácií pri vysokých prenosových rýchlostiach. Očakáva sa však, že budúce bezdrôtové prístupové systémy budú používať takzvané širokopásmové CDMA systémy, kde bude frekvenčná šírka pásma na kanál aspoň 5 MHz (v súčasných systémoch CDMA druhej generácie je šírka pásma na kanál 1,23 MHz). V posledných rokoch sa začala objavovať bezdrôtová komunikácia založená na technológii preskakovania frekvencie rozprestretého spektra (FH-CDMA). Táto technológia spája špecifiká TDMA, kde je každá frekvencia rozdelená do niekoľkých časových intervalov, a CDMA, kde každý vysielač využíva špecifickú sekvenciu signálov podobných šumu. Táto technológia našla svoje uplatnenie v systémoch určených na organizáciu pevnej komunikácie.
KDE HĽADAŤ ICH CHARAKTERISTIKY JA SÚ HO POZNÁM
44. Reprezentácia periodických signálov vo forme Fourierových radov
http://scask.ru/book_brts.php?id=8
Periodické signály a Fourierove rady
Matematický model procesu, ktorý sa v čase opakuje, je periodický signál s nasledujúcou vlastnosťou:
Tu je T perióda signálu.
Úlohou je nájsť spektrálny rozklad takéhoto signálu.
Fourierov rad.
Stanovme časový interval uvedený v kap. I ortonormálny základ tvorený harmonickými funkciami s viacerými frekvenciami;
Akákoľvek funkcia z tohto základu spĺňa podmienku periodicity (2.1). Preto - po vykonaní ortogonálnej expanzie signálu na tomto základe, t.j. po vypočítaní koeficientov
dostaneme spektrálny rozklad
platí v nekonečne časovej osi.
Rad tvaru (2.4) sa nazýva Fourierov rad daného signálu. Uveďme základnú frekvenciu postupnosti tvoriacej periodický signál. Výpočtom expanzných koeficientov podľa vzorca (2.3) napíšeme Fourierov rad pre periodický signál
s koeficientmi
(2.6)
Vo všeobecnom prípade teda periodický signál obsahuje časovo nezávislú konštantnú zložku a nekonečný súbor harmonických kmitov, takzvané harmonické s frekvenciami, ktoré sú násobkami základnej frekvencie sekvencie.
Každá harmonická môže byť opísaná jej amplitúdou a počiatočnou fázou. Na tento účel by sa koeficienty Fourierovho radu mali zapísať ako
Nahradením týchto výrazov do (2.5) dostaneme inú, ekvivalentnú formu Fourierovho radu:
čo je niekedy pohodlnejšie.
Spektrálny diagram periodického signálu.
Preto je zvykom nazývať grafické znázornenie koeficientov Fourierovho radu pre konkrétny signál. Existujú amplitúdové a fázové spektrálne diagramy (obr. 2.1).
Tu sú harmonické frekvencie vynesené v určitej mierke pozdĺž horizontálnej osi a ich amplitúdy a počiatočné fázy sú prezentované pozdĺž vertikálnej osi.
Ryža. 2.1. Spektrálne diagramy niektorého periodického signálu: a - amplitúda; b - fáza
Obzvlášť sa zaujíma o diagram amplitúdy, ktorý vám umožňuje posúdiť percento určitých harmonických v spektre periodického signálu.
Pozrime sa na niekoľko konkrétnych príkladov.
Príklad 2.1. Fourierov rad periodickej sekvencie pravouhlých obrazových impulzov so známymi parametrami, dokonca aj vzhľadom na bod t = 0.
V rádiotechnike sa pomer nazýva pracovný cyklus sekvencie. Vzorcami (2.6) nájdeme
Konečný vzorec Fourierovho radu je vhodné zapísať do formulára
Na obr. 2.2 sú znázornené amplitúdové diagramy uvažovanej postupnosti v dvoch extrémnych prípadoch.
Je dôležité poznamenať, že sekvencia krátkych impulzov, ktoré nasledujú za sebou pomerne zriedkavo, má bohaté spektrálne zloženie.
Ryža. 2.2. Amplitúdové spektrum periodickej sekvencie pravouhlých video impulzov: a - s veľkým pracovným cyklom; b - s nízkym pracovným cyklom
Príklad 2.2. Fourierov rad periodickej sekvencie impulzov tvorených harmonickým signálom vo forme obmedzenej na úrovni (predpokladá sa, že ).
Poďme sa predstaviť špeciálny parameter- medzný uhol , určený z pomeru odkiaľ
V súlade s tým sa hodnota rovná trvaniu jedného impulzu, vyjadrenej v uhlovej miere:
Analytický zápis impulzu, ktorý generuje uvažovanú sekvenciu, má tvar
Sekvencia DC
Činitel výkyvu prvej harmonickej
Podobne sa vypočítajú amplitúdy harmonických zložiek pri
Výsledky sa zvyčajne zapisujú takto:
kde sú takzvané Bergove funkcie:
Grafy niektorých Berg funkcií sú znázornené na obr. 2.3.
Ryža. 2.3. Grafy niekoľkých prvých Bergových funkcií
Spektrálna hustota signálov. Priama a inverzná Fourierova transformácia.
Aby sme skontrolovali, či program funguje správne, vytvoríme pole hodnôt ako súčet dvoch sínusoidov sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) a vložíme ho do programu. Program nakreslil nasledovné:
obr.1 Graf časovej funkcie signálu
obr.2 Graf spektra signálu
Na grafe spektra sú dve paličky (harmonické) 5 Hz s amplitúdou 0,5 V a 10 Hz - s amplitúdou 1 V, všetko ako vo vzorci pôvodného signálu. Všetko je v poriadku, dobrý programátor! Program funguje správne.
To znamená, že ak na vstup ADC privedieme reálny signál zo zmesi dvoch sínusoidov, potom dostaneme podobné spektrum pozostávajúce z dvoch harmonických.
Celkom, náš reálny meraný signál, trvanie 5 sek, digitalizované ADC, teda zastúpené diskrétne počíta, má diskrétne neperiodické rozsah.
Z matematického hľadiska, koľko chýb je v tomto slovnom spojení?
Teraz úrady rozhodli, že sme sa rozhodli, že 5 sekúnd je príliš dlho, zmerajte signál za 0,5 sekundy.
obr.3 Graf funkcie sin(10*2*pi*x)+0,5*sin(5*2*pi*x) pre dobu merania 0,5 sek.
obr.4 Funkčné spektrum
Niečo nie je v poriadku! 10 Hz harmonická sa kreslí normálne, ale namiesto 5 Hz paličky sa objavilo niekoľko nepochopiteľných harmonických. Pozeráme na internete, čo a ako ...
Hovorí sa, že na koniec vzorky treba pridať nuly a spektrum sa vykreslí normálne.
obr.5 Hotové nuly do 5 sekúnd
obr.6 Získali sme spektrum
Stále to nie je to, čo bolo za 5 sekúnd. Musíte sa vyrovnať s teóriou. Poďme do Wikipedia- zdroj poznania.
2. Spojitá funkcia a jej znázornenie Fourierovým radom
Matematicky je náš signál s trvaním T sekúnd určitou funkciou f(x) danou na intervale (0, T) (X je v tomto prípade čas). Takáto funkcia môže byť vždy reprezentovaná ako súčet harmonických funkcií (sínus alebo kosínus) tvaru:
(1), kde:
K - číslo goniometrickej funkcie (počet harmonickej zložky, harmonické číslo)
T - segment, kde je funkcia definovaná (trvanie signálu)
Ak - amplitúda k-tej harmonickej zložky,
θk - počiatočná fáza k-tej harmonickej zložky
Čo znamená „reprezentovať funkciu ako súčet radu“? To znamená, že sčítaním hodnôt harmonických zložiek Fourierovho radu v každom bode dostaneme hodnotu našej funkcie v tomto bode.
(Presnejšie povedané, štandardná odchýlka radu od funkcie f(x) bude mať tendenciu k nule, ale napriek konvergencii odmocnina, Fourierov rad funkcie k nej vo všeobecnosti nemusí bodovo konvergovať. Pozri https://ru.wikipedia.org/wiki/Fourier_Series .)
Táto séria môže byť tiež napísaná ako:
(2),
kde , k-tá komplexná amplitúda.
Vzťah medzi koeficientmi (1) a (3) je vyjadrený nasledujúcimi vzorcami:
Všimnite si, že všetky tieto tri reprezentácie Fourierovho radu sú úplne ekvivalentné. Niekedy je pri práci s Fourierovými radmi vhodnejšie použiť exponenty imaginárneho argumentu namiesto sínusov a kosínusov, teda použiť Fourierovu transformáciu v komplexnej forme. Pre nás je však vhodné použiť vzorec (1), kde Fourierov rad je reprezentovaný ako súčet kosínusových vĺn s príslušnými amplitúdami a fázami. V každom prípade je nesprávne tvrdiť, že výsledkom Fourierovej transformácie reálneho signálu budú komplexné amplitúdy harmonických. Ako správne hovorí wiki, "Fourierova transformácia (ℱ) je operácia, ktorá mapuje jednu funkciu reálnej premennej na inú funkciu, tiež reálnej premennej."
Celkom:
Matematickým základom spektrálnej analýzy signálov je Fourierova transformácia.
Fourierova transformácia nám umožňuje reprezentovať spojitú funkciu f(x) (signál) definovanú na segmente (0, T) ako súčet nekonečného počtu (nekonečného radu) goniometrických funkcií (sínus a/alebo kosínus) s určitými amplitúdami a fázami, uvažovanými aj na segmente (0, T). Takáto séria sa nazýva Fourierova séria.
Zaznamenali sme niekoľko ďalších bodov, ktorých pochopenie je potrebné pre správnu aplikáciu Fourierovej transformácie na analýzu signálu. Ak vezmeme do úvahy Fourierov rad (súčet sínusoidov) na celej osi X, potom môžeme vidieť, že mimo segmentu (0, T) bude funkcia reprezentovaná Fourierovým radom periodicky opakovať našu funkciu.
Napríklad v grafe na obr. 7 je pôvodná funkcia definovaná na segmente (-T\2, +T\2) a Fourierov rad predstavuje periodickú funkciu definovanú na celej osi x.
Je to preto, že samotné sínusoidy sú periodické funkcie a ich súčet bude periodickou funkciou.
obr.7 Znázornenie neperiodickej pôvodnej funkcie Fourierovým radom
Takto:
Naša pôvodná funkcia je spojitá, neperiodická, definovaná na nejakom intervale dĺžky T.
Spektrum tejto funkcie je diskrétne, to znamená, že je prezentované ako nekonečný rad harmonických zložiek - Fourierov rad.
V skutočnosti je určitá periodická funkcia definovaná Fourierovým radom, ktorý sa zhoduje s našou na segmente (0, T), ale táto periodicita nie je pre nás podstatná.
Periódy harmonických zložiek sú násobky segmentu (0, T), na ktorom je definovaná pôvodná funkcia f(x). Inými slovami, harmonické periódy sú násobky trvania merania signálu. Napríklad perióda prvej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T, na ktorom je definovaná funkcia f(x). Perióda druhej harmonickej Fourierovho radu sa rovná intervalu T/2. A tak ďalej (pozri obr. 8).
obr.8 Periódy (frekvencie) harmonických zložiek Fourierovho radu (tu T=2π)
V súlade s tým sú frekvencie harmonických zložiek násobky 1/T. To znamená, že frekvencie harmonických zložiek Fk sa rovnajú Fk= k\T, kde k je v rozsahu od 0 do ∞, napríklad k=0 F0=0; k = 1 F1 = 1\T; k = 2 F2 = 2\T; k=3 F3=3\T;… Fk= k\T (pri nulovej frekvencii - konštantná zložka).
Nech je našou pôvodnou funkciou signál zaznamenaný pre T=1 sek. Potom sa perióda prvej harmonickej bude rovnať trvaniu nášho signálu T1=T=1 sec a frekvencia harmonickej je 1 Hz. Perióda druhej harmonickej sa bude rovnať trvaniu signálu vydelenému 2 (T2=T/2=0,5 s) a frekvencia je 2 Hz. Pre tretiu harmonickú T3=T/3s a frekvencia je 3Hz. A tak ďalej.
Krok medzi harmonickými je v tomto prípade 1 Hz.
Signál s trvaním 1 sek je teda možné rozložiť na harmonické zložky (získať spektrum) s frekvenčným rozlíšením 1 Hz.
Na zvýšenie rozlíšenia 2-krát na 0,5 Hz je potrebné predĺžiť trvanie merania 2-krát - až 2 sekundy. Signál s trvaním 10 sekúnd je možné rozložiť na harmonické zložky (na získanie spektra) s frekvenčným rozlíšením 0,1 Hz. Neexistujú žiadne iné spôsoby, ako zvýšiť frekvenčné rozlíšenie.
Existuje spôsob, ako umelo zvýšiť trvanie signálu pridaním núl do poľa vzoriek. Ale nezvyšuje skutočné frekvenčné rozlíšenie.
3. Diskrétne signály a diskrétna Fourierova transformácia
S rozvojom digitálnej techniky sa zmenili aj spôsoby ukladania nameraných dát (signálov). Ak predtým bolo možné signál zaznamenať na magnetofón a uložiť na pásku v analógovej forme, teraz sú signály digitalizované a uložené v súboroch v pamäti počítača ako množina čísel (počet).Obvyklá schéma merania a digitalizácie signálu je nasledovná.
obr.9 Schéma meracieho kanála
Signál z meracieho prevodníka prichádza do ADC počas časového úseku T. Vzorky signálu (vzorky) získané počas času T sú prenesené do počítača a uložené v pamäti.
obr.10 Digitalizovaný signál - N odčítaní prijatých v čase T
Aké sú požiadavky na parametre digitalizácie signálu? Zariadenie, ktoré konvertuje vstupný analógový signál na diskrétny kód (digitálny signál), sa nazýva analógovo-digitálny prevodník (ADC, anglicky Analog-to-digital converter, ADC) (Wiki).
Jedným z hlavných parametrov ADC je maximálna vzorkovacia frekvencia (alebo vzorkovacia frekvencia, anglicky sample rate) – frekvencia odoberania vzoriek signálu nepretržite v čase pri jeho vzorkovaní. Merané v hertzoch. ((Wiki))
Podľa Kotelnikovovej vety, ak má spojitý signál spektrum obmedzené frekvenciou Fmax, potom ho možno úplne a jednoznačne obnoviť z jeho diskrétnych vzoriek odoberaných v časových intervaloch. 
, t.j. s frekvenciou Fd ≥ 2*Fmax, kde Fd - vzorkovacia frekvencia; Fmax - maximálna frekvencia spektra signálu. Inými slovami, vzorkovacia frekvencia signálu (vzorkovacia frekvencia ADC) musí byť aspoň 2-násobkom maximálnej frekvencie signálu, ktorý chceme merať.
A čo sa stane, ak budeme čítať s nižšou frekvenciou, ako vyžaduje Kotelnikovova veta?
V tomto prípade nastáva efekt „aliasingu“ (alias stroboskopický efekt, moaré efekt), pri ktorom sa vysokofrekvenčný signál po digitalizácii zmení na nízkofrekvenčný signál, ktorý v skutočnosti neexistuje. Na obr. 11 vysokofrekvenčná červená sínusoida je skutočný signál. Modrá sínusová vlna s nižšou frekvenciou je fiktívny signál vyplývajúci zo skutočnosti, že počas vzorkovacieho času uplynie viac ako polovica periódy vysokofrekvenčného signálu.
Ryža. 11. Výskyt falošného nízkofrekvenčného signálu, keď vzorkovacia frekvencia nie je dostatočne vysoká
Aby sa predišlo efektu aliasingu, je pred ADC - LPF (dolnopriepustný filter) umiestnený špeciálny antialiasing filter, ktorý prepúšťa frekvencie pod polovicou vzorkovacej frekvencie ADC a odrezáva vyššie frekvencie.
Na výpočet spektra signálu z jeho diskrétnych vzoriek sa používa diskrétna Fourierova transformácia (DFT). Ešte raz poznamenávame, že spektrum diskrétneho signálu je "podľa definície" obmedzené frekvenciou Fmax, ktorá je menšia ako polovica vzorkovacej frekvencie Fd. Preto môže byť spektrum diskrétneho signálu reprezentované súčtom konečného počtu harmonických, na rozdiel od nekonečného súčtu pre Fourierov rad spojitého signálu, ktorého spektrum môže byť neobmedzené. Podľa Kotelnikovovej vety musí byť maximálna harmonická frekvencia taká, aby predstavovala aspoň dve vzorky, takže počet harmonických sa rovná polovici počtu vzoriek diskrétneho signálu. To znamená, že ak je vo vzorke N vzoriek, potom sa počet harmonických v spektre bude rovnať N/2.
Uvažujme teraz o diskrétnej Fourierovej transformácii (DFT).
Porovnanie s Fourierovou sériou
Vidíme, že sa zhodujú, až na to, že čas v DFT je diskrétny a počet harmonických je obmedzený na N/2 – polovicu počtu vzoriek.
Vzorce DFT sú zapísané v bezrozmerných celočíselných premenných k, s, kde k sú počty vzoriek signálu, s sú počty spektrálnych zložiek.
Hodnota s udáva počet úplných kmitov harmonickej v perióde T (doba trvania merania signálu). Diskrétna Fourierova transformácia sa používa na zistenie amplitúd a fáz harmonických číselne, t.j. "na počítači"
Vráťme sa k výsledkom získaným na začiatku. Ako bolo uvedené vyššie, pri rozširovaní neperiodickej funkcie (náš signál) do Fourierovho radu, výsledný Fourierov rad vlastne zodpovedá periodickej funkcii s periódou T. (obr. 12).
obr.12 Periodická funkcia f(x) s periódou Т0, s periódou merania Т>T0
Ako vidno na obr. 12, funkcia f(x) je periodická s periódou Т0. Avšak vzhľadom na to, že trvanie meranej vzorky T sa nezhoduje s periódou funkcie T0, funkcia získaná ako Fourierov rad má v bode T diskontinuitu. V dôsledku toho bude spektrum tejto funkcie obsahovať veľké množstvo vysokofrekvenčné harmonické. Ak by sa trvanie meranej vzorky T zhodovalo s periódou funkcie T0, potom by v spektre získanom po Fourierovej transformácii bola prítomná iba prvá harmonická (sínusoida s periódou rovnou dĺžke trvania vzorky), pretože funkcia f(x) je sínusoida.
Inými slovami, program DFT "nevie", že náš signál je "kúsok sínusoidy", ale snaží sa reprezentovať periodickú funkciu ako sériu, ktorá má medzeru v dôsledku nekonzistentnosti jednotlivých častí sínusovej vlny.
V dôsledku toho sa v spektre objavujú harmonické, ktoré by celkovo mali predstavovať formu funkcie vrátane tejto diskontinuity.
Aby sa teda získalo „správne“ spektrum signálu, ktoré je súčtom niekoľkých sínusoidov s rôznymi periódami, je potrebné, aby sa na periódu merania signálu zmestilo celé číslo periód každej sínusoidy. V praxi je možné túto podmienku splniť na dostatočne dlhú dobu trvania merania signálu.
Obr.13 Príklad funkcie a spektra signálu kinematickej chyby prevodovky
Pri kratšom trvaní bude obrázok vyzerať „horšie“:
Obr.14 Príklad funkcie a spektra vibračného signálu rotora
V praxi môže byť ťažké pochopiť, kde sú „skutočné komponenty“ a kde sú „artefakty“ spôsobené nenásobnosťou periód komponentov a trvaním vzorky signálu alebo „skokmi a zlommi“ tvaru vlny. Samozrejme, slová „skutočné komponenty“ a „artefakty“ nie sú nadarmo citované. Prítomnosť mnohých harmonických na grafe spektra neznamená, že náš signál z nich skutočne „pozostáva“. Je to ako myslieť si, že číslo 7 "pozostáva" z čísel 3 a 4. Číslo 7 možno znázorniť ako súčet čísel 3 a 4 - to je správne.
Taký je aj náš signál... alebo skôr ani nie „náš signál“, ale periodická funkcia zostavená opakovaním nášho signálu (vzorkovanie) môže byť reprezentovaná ako súčet harmonických (sínusoidy) s určitými amplitúdami a fázami. Ale v mnohých prípadoch dôležitých pre prax (pozri obrázky vyššie) je skutočne možné spojiť harmonické získané v spektre reálne procesy, ktoré majú cyklický charakter a výrazne prispievajú k tvaru signálu.
Niektoré výsledky
1. Skutočný meraný signál, trvanie T sec, digitalizovaný ADC, tj reprezentovaný súborom diskrétnych vzoriek (N kusov), má diskrétne neperiodické spektrum, reprezentované súborom harmonických (N/2 kusov).2. Signál je reprezentovaný množinou reálnych hodnôt a jeho spektrum je reprezentované množinou reálnych hodnôt. Harmonické frekvencie sú kladné. To, že pre matematikov je pohodlnejšie reprezentovať spektrum v komplexnej forme pomocou záporných frekvencií, neznamená, že „je to správne“ a „takto by sa to malo robiť vždy“.
3. Signál meraný v časovom intervale T je určený iba v časovom intervale T. Čo sa stalo predtým, ako sme začali merať signál, a čo sa stane potom - to veda nie je známa. A v našom prípade - to nie je zaujímavé. DFT časovo obmedzeného signálu dáva svoje "skutočné" spektrum v tom zmysle, že za určitých podmienok umožňuje vypočítať amplitúdu a frekvenciu jeho zložiek.
Použité materiály a iné užitočné materiály.
Medzi rôznymi systémami ortogonálnych funkcií, ktoré možno použiť ako základ pre reprezentáciu rádiové signály, výnimočné miesto zaujímajú harmonické (sínusové a kosínusové) funkcie. Význam harmonických signálov pre rádiotechniku je spôsobený niekoľkými dôvodmi.
Konkrétne:
1. Harmonické signály sú invariantné vzhľadom na transformácie uskutočňované stacionárnou lineárnou sústavou elektrické obvody. Ak je takýto obvod vybudený zdrojom harmonických kmitov, potom signál na výstupe obvodu zostáva harmonický s rovnakou frekvenciou, pričom sa od vstupného signálu líši len amplitúdou a počiatočnou fázou.
2. Technika generovania harmonických signálov je relatívne jednoduchá.
Ak je signál prezentovaný ako súčet harmonických oscilácií s rôznymi frekvenciami, potom hovoria, že spektrálny rozklad tohto signálu bol vykonaný. Jednotlivé harmonické zložky signálu tvoria jeho spektrum.
2.1. Periodické signály a Fourierove rady
Matematický model procesu, ktorý sa v čase opakuje, je periodický signál s nasledujúcou vlastnosťou:
Tu je T perióda signálu.
Úlohou je nájsť spektrálny rozklad takéhoto signálu.
Fourierov rad.
Stanovme časový interval uvedený v kap. I ortonormálny základ tvorený harmonickými funkciami s viacerými frekvenciami;
Akákoľvek funkcia z tohto základu spĺňa podmienku periodicity (2.1). Preto - po vykonaní ortogonálnej expanzie signálu na tomto základe, t.j. po vypočítaní koeficientov
dostaneme spektrálny rozklad
platí v nekonečne časovej osi.
Rad tvaru (2.4) sa nazýva Fourierov rad daného signálu. Uveďme základnú frekvenciu postupnosti tvoriacej periodický signál. Výpočtom expanzných koeficientov podľa vzorca (2.3) napíšeme Fourierov rad pre periodický signál
s koeficientmi
(2.6)
Vo všeobecnom prípade teda periodický signál obsahuje časovo nezávislú konštantnú zložku a nekonečný súbor harmonických kmitov, takzvané harmonické s frekvenciami, ktoré sú násobkami základnej frekvencie sekvencie.
Každá harmonická môže byť opísaná jej amplitúdou a počiatočnou fázou. Na tento účel by sa koeficienty Fourierovho radu mali zapísať ako
Nahradením týchto výrazov do (2.5) dostaneme inú, ekvivalentnú formu Fourierovho radu:
čo je niekedy pohodlnejšie.
Spektrálny diagram periodického signálu.
Preto je zvykom nazývať grafické znázornenie koeficientov Fourierovho radu pre konkrétny signál. Existujú amplitúdové a fázové spektrálne diagramy (obr. 2.1).
Tu sú harmonické frekvencie vynesené v určitej mierke pozdĺž horizontálnej osi a ich amplitúdy a počiatočné fázy sú prezentované pozdĺž vertikálnej osi.
Ryža. 2.1. Spektrálne diagramy niektorého periodického signálu: a - amplitúda; b - fáza
Obzvlášť sa zaujíma o diagram amplitúdy, ktorý vám umožňuje posúdiť percento určitých harmonických v spektre periodického signálu.
Pozrime sa na niekoľko konkrétnych príkladov.
Príklad 2.1. Fourierov rad periodickej sekvencie pravouhlých obrazových impulzov so známymi parametrami, dokonca aj vzhľadom na bod t = 0.
V rádiotechnike sa pomer nazýva pracovný cyklus sekvencie. Vzorcami (2.6) nájdeme
Konečný vzorec Fourierovho radu je vhodné zapísať do formulára
Na obr. 2.2 sú znázornené amplitúdové diagramy uvažovanej postupnosti v dvoch extrémnych prípadoch.
Je dôležité poznamenať, že sekvencia krátkych impulzov, ktoré nasledujú za sebou pomerne zriedkavo, má bohaté spektrálne zloženie.
Ryža. 2.2. Amplitúdové spektrum periodickej sekvencie pravouhlých video impulzov: a - s veľkým pracovným cyklom; b - s nízkym pracovným cyklom
Príklad 2.2. Fourierov rad periodickej sekvencie impulzov tvorených harmonickým signálom vo forme obmedzenej na úrovni (predpokladá sa, že ).
Zavádzame špeciálny parameter - medzný uhol , určený zo vzťahu odkiaľ
V súlade s tým sa hodnota rovná trvaniu jedného impulzu, vyjadrenej v uhlovej miere:
Analytický zápis impulzu, ktorý generuje uvažovanú sekvenciu, má tvar
Sekvencia DC
Činitel výkyvu prvej harmonickej
Podobne sa vypočítajú amplitúdy harmonických zložiek pri
Výsledky sa zvyčajne zapisujú takto:
kde sú takzvané Bergove funkcie:
Grafy niektorých Berg funkcií sú znázornené na obr. 2.3.
Ryža. 2.3. Grafy niekoľkých prvých Bergových funkcií
Komplexná forma Fourierovho radu.
Spektrálny rozklad periodického signálu môže byť tiež vykonaný trochu iónovo, pomocou systému základných funkcií pozostávajúcich z exponenciál s imaginárnymi exponentmi:
Je ľahké vidieť, že funkcie tohto systému sú periodické s periódou a sú ortonormálne v časovom intervale, pretože
Fourierov rad ľubovoľného periodického signálu má v tomto prípade tvar
s koeficientmi
Zvyčajne používajte nasledujúci formulár položky:
Výraz (2.11) je Fourierov rad v komplexnej forme.
Spektrum signálu podľa vzorca (2.11) obsahuje zložky na zápornej frekvenčnej poloosi a . V sérii (2.11) sa napríklad členy s kladnými a zápornými frekvenciami kombinujú do párov.