Натуральный логарифм и число е. Функция: область определения и область значений функций Область определения функции

08.01.2022

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Через предел: e = lim x → ∞ (1 + 1 x) x {\displaystyle e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}} (второй замечательный предел). e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}} (это следует из формулы Муавра - Стирлинга).
Как сумма ряда : e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}} или 1 e = ∑ n = 2 ∞ (− 1) n n ! {\displaystyle {\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}} .
Как единственное число a {\displaystyle a} , для которого выполняется ∫ 1 a d x x = 1. {\displaystyle \int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.}
Как единственное положительное число a {\displaystyle a} , для которого верно d d x a x = a x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.}

Свойства

Доказательство иррациональности
Предположим, что e {\displaystyle e} рационально. Тогда e = p / q {\displaystyle e=p/q} , где p {\displaystyle p} - целое, а q {\displaystyle q} - натуральное. Следовательно p = e q {\displaystyle p=eq} Умножая обе части уравнения на (q − 1) ! {\displaystyle (q-1)!} , получаем p (q − 1) ! = e q ! = q ! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! n ! = ∑ n = 0 q q ! n ! + {\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}} Переносим ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} в левую часть: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = p (q − 1) ! − ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части - целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1. С другой стороны, ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . . . (q + m) < ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}} Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем: ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}} Поскольку q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} , ∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1} Получаем противоречие.

Доказательство иррациональности

Предположим, что e {\displaystyle e} рационально. Тогда e = p / q {\displaystyle e=p/q} , где p {\displaystyle p} - целое, а q {\displaystyle q} - натуральное.

Следовательно

p = e q {\displaystyle p=eq}

Умножая обе части уравнения на (q − 1) ! {\displaystyle (q-1)!} , получаем

p (q − 1) ! = e q ! = q ! ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = ∑ n = 0 ∞ q ! n ! = ∑ n = 0 q q ! n ! + {\displaystyle p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}}

Переносим ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}} в левую часть:

∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = p (q − 1) ! − ∑ n = 0 q q ! n ! {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}}

Все слагаемые правой части целые, следовательно, и сумма в левой части - целая. Но эта сумма и положительна, значит, она не меньше 1.

С другой стороны,

∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! = ∑ m = 1 ∞ q ! (q + m) ! = ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) . . . (q + m) < ∑ m = 1 ∞ 1 (q + 1) m {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}}

Суммируя геометрическую прогрессию в правой части, получаем:

∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 q {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}}

Поскольку q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} ,

∑ n = q + 1 ∞ q ! n ! < 1 {\displaystyle \sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1}

Получаем противоречие.

Число e {\displaystyle e} трансцендентно . Впервые это было доказано в 1873 году Шарлем Эрмитом . Трансцендентность числа e {\displaystyle e} следует из теоремы Линдемана .
Предполагается, что e {\displaystyle e} - нормальное число , то есть частота появления разных цифр в его записи одинакова. В настоящее время (2017) эта гипотеза не доказана.
Число e является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
e i x = cos ⁡ (x) + i ⋅ sin ⁡ (x) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)} , см. формула Эйлера , в частности
Формула, связывающая числа e {\displaystyle e} и π {\displaystyle \pi } , т. н. интеграл Пуассона или интеграл Гаусса ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}}
Для любого комплексного числа z верны следующие равенства: e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = lim n → ∞ (1 + z n) n . {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}
Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом (простое доказательство этого разложения, связанное с аппроксимациями Паде, приведено в ): e = [ 2 ; 1 , 2 , 1 , 1 , 4 , 1 , 1 , 6 , 1 , 1 , 8 , 1 , 1 , 10 , 1 , … ] {\displaystyle e=} , то есть e = 2 + 1 1 + 1 2 + 1 1 + 1 1 + 1 4 + 1 1 + 1 1 + 1 6 + 1 1 + 1 1 + 1 8 + 1 1 + 1 1 + 1 10 + 1 1 + … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
Или эквивалентным ему: e = 2 + 1 1 + 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 … {\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}}
Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение: e + 1 e − 1 = 2 + 1 6 + 1 10 + 1 14 + 1 … {\displaystyle {\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}}
e = lim n → ∞ n n ! n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}
Представление Каталана : e = 2 ⋅ 4 3 ⋅ 6 ⋅ 8 5 ⋅ 7 4 ⋅ 10 ⋅ 12 ⋅ 14 ⋅ 16 9 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 15 8 ⋅ 18 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 24 ⋅ 26 ⋅ 28 ⋅ 30 ⋅ 32 17 ⋅ 19 ⋅ 21 ⋅ 23 ⋅ 25 ⋅ 27 ⋅ 29 ⋅ 31 16 ⋯ {\displaystyle e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots }
Представление через произведение : e = 3 ⋅ ∏ k = 1 ∞ (2 k + 3) k + 1 2 (2 k − 1) k − 1 2 (2 k + 1) 2 k {\displaystyle e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}}
Через числа Белла

E = 1 B n ∑ k = 0 ∞ k n k ! {\displaystyle e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}}

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера , автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x {\displaystyle x} был равен 10 7 ⋅ log 1 / e ⁡ (x 10 7) {\displaystyle 10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)} .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году . Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода . Он обнаружил, что если исходная сумма $ 1 {\displaystyle \$1} и начисляется годовых один раз в конце года, то итоговая сумма будет $ 2 {\displaystyle \$2} . Но если те же самые проценты начислять два раза в год, то $ 1 {\displaystyle \$1} умножается на 1 , 5 {\displaystyle 1{,}5} дважды, получая $ 1 , 00 ⋅ 1 , 5 2 = $ 2 , 25 {\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25} . Начисления процентов раз в квартал приводит к $ 1 , 00 ⋅ 1 , 25 4 = $ 2,441 40625 {\displaystyle \$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625} , и так далее. Бернулли показал, что если частоту начисления процентов бесконечно увеличивать, то процентный доход в случае сложного процента имеет предел : lim n → ∞ (1 + 1 n) n . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.} и этот предел равен числу e (≈ 2,718 28) {\displaystyle e~(\approx 2{,}71828)} .

$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 12) 12 = $ 2,613 035... {\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035...}

$ 1 , 00 ⋅ (1 + 1 365) 365 = $ 2,714 568... {\displaystyle \$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714568...}

Таким образом, константа e {\displaystyle e} означает максимально возможную годовую прибыль при 100 % {\displaystyle 100\%} годовых и максимальной частоте капитализации процентов .

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b {\displaystyle b} , встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу , -1691 годы .

Букву e {\displaystyle e} начал использовать Эйлер в 1727 году , впервые она встречается в письме Эйлера немецкому математику Гольдбаху от 25 ноября 1731 года , а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», 1736 год . Соответственно, e {\displaystyle e} обычно называют числом Эйлера . Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c {\displaystyle c} , буква e {\displaystyle e} применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Число — иррациональная и трансцендентная математическая константа, называемая числом Эйлера или числом Непера , являющаяся основанием натурального логарифма.

Негласно константа присутствует в работе «Описание удивительной таблицы логарифмов» шотландского математика Джона Непера (1550-1617) (а точнее в приложении к переводу этой работы, который был опубликован в 1618 г.). Первые упоминания про эту константу имеются в письмах саксонского философа, логика, математика, механика, физика, юриста, историка, дипломата, изобретателя и языковеда Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) к нидерландскому механику, физику, математику, астроному и изобретателю Христиану Гюйнгенсу ван Зёйлихему (1629-1695) в 1690-91 гг. Там она обозначалась буквой . Традиционное обозначение в 1727 г. начал использовать швейцарский, немецкий, российский математик и механик Леонард Эйлер (1707-1783); впервые он употребил ее в своем письме к немецкому математику Кристиану Гольдбаху (1690-1764) в 1731 г. Первой публикацией с этой буквой была работа Л. Эйлера «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» (1736). Сама же константа впервые была вычислена швейцарским математиком Якобом Бернулли (1655-1705) в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода:

Число играет большую роль в различных разделах математики, а особенно в дифференциальном и интегральном исчислении. Трансцендентность числа Эйлера была доказана французским математиком Шарлем Эрмитом (1822-1901) только в 1873 г.

Задания числа e

1) Через предел:

y(x) = e x , производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» - это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи - это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей . Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2 x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%) x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост ) x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.