Egy komplex fnp teljes deriváltja. Elméleti anyag

Tekintsünk két változó függvényét:

Mivel a $x$ és $y$ változók függetlenek, bevezethetjük a parciális derivált fogalmát egy ilyen függvényre:

A $f$ függvény parciális deriváltja a $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ pontban a $x$ változóhoz képest: a határ

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \jobbra))(\Delta x)\]

Hasonlóképpen definiálhatjuk a részleges deriváltot a $y$ változóval kapcsolatban:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \jobbra))(\Delta y)\]

Más szóval, több változó függvényének parciális deriváltjának megtalálásához rögzíteni kell az összes többi változót, kivéve a kívánt változót, majd meg kell találni a szokásos deriváltot ehhez a kívánt változóhoz.

Ebből következik az ilyen származékok kiszámításának fő technikája: egyszerűen vegyük figyelembe, hogy az adott változón kívül minden változó állandó, majd különböztesse meg a függvényt úgy, ahogy a "közönséges" -t - egy változóval. Például:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \jobbra))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \jobbra))^(\ prím ))_(y)+10x\cdot ((\bal(y \jobb))^(\prím ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Nyilvánvaló, hogy a különböző változókra vonatkozó parciális deriváltak eltérő választ adnak – ez normális. Sokkal fontosabb megérteni, hogy mondjuk az első esetben miért húztuk ki nyugodtan a 10y$-t a derivált jele alól, a második esetben pedig teljesen lenulláztuk az első tagot. Mindez annak a ténynek köszönhető, hogy minden betű, kivéve azt a változót, amellyel a differenciálás történik, állandónak számít: kivehető, "elégethető" stb.

Mi az a "részleges származékos"?

Ma több változó függvényeiről és azok parciális deriváltjairól lesz szó. Először is, mi a függvénye több változónak? Mostanáig megszoktuk, hogy egy függvényt $y\left(x \right)$ vagy $t\left(x \right)$-nak, vagy tetszőleges változónak és abból egyetlen függvénynek gondoljunk. Most egy függvényünk és több változónk lesz. Amikor $y$ és $x$ változik, a függvény értéke megváltozik. Például, ha $x$ megduplázódik, akkor a függvény értéke megváltozik, míg ha $x$ változik és $y$ nem változik, akkor a függvény értéke ugyanúgy változik.

Természetesen több változó függvénye, akárcsak egy változó függvénye, megkülönböztethető. Mivel azonban több változó létezik, lehetséges a különböző változók szerinti megkülönböztetés. Ebben az esetben olyan sajátos szabályok merülnek fel, amelyek nem léteztek egy változó megkülönböztetésekor.

Először is, amikor egy változó függvényének deriváltját tekintjük, meg kell jelölnünk, hogy melyik változót tekintjük deriváltjának - ezt nevezzük parciális deriváltnak. Például van egy függvényünk két változóból, és ezt mind $x$-ban, mind $y$-ban kiszámíthatjuk – minden változó két parciális deriváltja.

Másodszor, amint rögzítettük az egyik változót, és elkezdjük kiszámítani a parciális deriváltot, akkor a függvényben szereplő összes többit állandónak tekintjük. Például a $z\left(xy \right)$-ban, ha figyelembe vesszük a parciális deriváltot $x$-hoz képest, akkor bárhol találkozunk $y$-val, konstansnak tekintjük és pontosan konstansként kezeljük. Konkrétan egy szorzat deriváltjának számításakor a zárójelből kivehetjük $y$-t (van egy állandónk), az összeg deriváltjának számításakor pedig ha valahol megkapjuk egy $y$-t tartalmazó kifejezés deriváltját. és nem tartalmaz $x$-t, akkor ennek a kifejezésnek a deriváltja "nulla" lesz, mint az állandó deriváltja.

Első pillantásra úgy tűnhet, hogy valami összetettről beszélek, és sok diák először összezavarodik. A részleges származékokban azonban nincs semmi természetfeletti, és most ezt konkrét problémák példáján fogjuk látni.

Problémák gyökökkel és polinomokkal

1. feladat

Hogy ne vesztegessük hiába az időt, a kezdetektől fogva komoly példákkal kezdjük.

Hadd kezdjem a következő képlettel:

Ez a standard táblaérték, amelyet a standard kurzusból ismerünk.

Ebben az esetben a $z$ derivált a következőképpen számítható ki:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Ismételjük meg, mivel a gyökér nem $x$, hanem valami más kifejezés, jelen esetben $\frac(y)(x)$, akkor először a szabványt használjuk táblázat értéke, majd mivel a gyökér nem $x$, hanem egy másik kifejezés, meg kell szoroznunk a deriváltunkat még egy ilyen kifejezéssel ugyanarra a változóra vonatkozóan. Kezdjük a következővel:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Visszatérünk kifejezésünkhöz, és ezt írjuk:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \jobbra)\]

Lényegében ennyi. Viszont helytelen ebben a formában hagyni: egy ilyen konstrukció kényelmetlen a további számításokhoz, ezért alakítsuk át egy kicsit:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

A válasz megtalálható. Most foglalkozzunk $y$-val:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Írjuk külön:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Most ezt írjuk:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Kész.

2. feladat

Ez a példa egyszerűbb és összetettebb is, mint az előző. Nehezebb, mert több a cselekvés, de könnyebb, mert nincs gyökér, ráadásul a függvény szimmetrikus $x$ és $y$ vonatkozásában, azaz. ha $x$-t és $y$-t felcserélünk, a képlet nem változik. Ez a megjegyzés tovább egyszerűsíti a parciális derivált számítását, azaz. elég kiszámolni az egyiket, és a másodikban csak felcserélni $x$ és $y$.

Lássunk munkához:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \jobb ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \jobbra)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ) )_(x))(((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\]

Számoljunk:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right)))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Sok diák azonban nem érti az ilyen rekordot, ezért így írjuk:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Így ismét meggyõzõdtünk a parciális derivált algoritmus univerzalitásáról: akárhogyan is vesszük õket, ha minden szabályt helyesen alkalmazunk, a válasz ugyanaz lesz.

Most foglalkozzunk még egy parciális származékkal a nagy képletből:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=((\left(((()) x)^(2)) \jobbra))^(\prímszám ))_(x)+((\bal(((y)^(2)) \jobbra))^(\prím ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Az eredményül kapott kifejezéseket behelyettesítjük a képletünkbe, és megkapjuk:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ jobb)-xy((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobb))^(\prím ))_(x))(((\bal (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra)-xy\cdot 2x)(((\left(((()) x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \jobbra))(((\ balra(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \jobbra))(((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2 )))\]

$x$ számolva. És hogy ugyanabból a kifejezésből számítsuk ki a $y$-t, ne végezzük el ugyanazt a műveletsort, hanem használjuk az eredeti kifejezésünk szimmetriáját - egyszerűen lecseréljük az összes $y$-t az eredeti kifejezésben a $x$-ra és fordítva:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \jobbra))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(2)))\]

A szimmetria miatt ezt a kifejezést sokkal gyorsabban számoltuk ki.

A megoldás árnyalatai

A parciális deriváltoknál az összes szabványos képlet működik, amit a közönségesekre használunk, nevezetesen a privát deriváltja. Ebben az esetben azonban felmerülnek saját sajátosságai: ha figyelembe vesszük $x$ parciális deriváltját, akkor amikor $x$-ból kapjuk, akkor konstansnak tekintjük, és ezért a deriváltja egyenlő lesz " nulla".

A közönséges származékokhoz hasonlóan a hányados (egy és ugyanaz) több különböző utak. Például ugyanazt a konstrukciót, amelyet az imént számoltunk, a következőképpen írhatjuk át:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Másrészt azonban használhatja a származékos összeg képletét. Mint tudjuk, egyenlő a származékok összegével. Például írjuk a következőket:

\[((\bal(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \jobbra))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Most mindezek ismeretében próbáljunk meg komolyabb kifejezésekkel dolgozni, mivel a valódi parciális deriváltak nem korlátozódnak csak a polinomokra és a gyökekre: van trigonometria, logaritmus és exponenciális függvény. Most tegyük ezt.

Problémák trigonometrikus függvényekkel és logaritmusokkal

1. feladat

A következő szabványos képleteket írjuk le:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Ezzel a tudással felvértezve próbáljuk meg megoldani:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Írjunk egy változót külön:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vissza a tervezésünkhöz:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Mindent megtaláltunk $x$-ra, most végezzük el a számításokat $y$-ra:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Ismét vegyünk egy kifejezést:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \jobbra)\]

Visszatérünk az eredeti kifejezéshez, és folytatjuk a megoldást:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Kész.

2. feladat

Írjuk fel a szükséges képletet:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Most számoljunk $x$-al:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$ találta. $y$-al számolva:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prím ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Probléma megoldódott.

A megoldás árnyalatai

Tehát függetlenül attól, hogy melyik függvény részleges deriváltját vesszük, a szabályok ugyanazok maradnak, függetlenül attól, hogy trigonometriával, gyökökkel vagy logaritmusokkal dolgozunk.

A standard deriváltokkal való munka klasszikus szabályai változatlanok maradnak, nevezetesen az összeg és a különbség deriváltja, a hányados és összetett funkció.

Az utolsó képlet leggyakrabban a parciális deriváltokkal kapcsolatos problémák megoldásában található. Szinte mindenhol találkozunk velük. Még nem volt olyan feladat, amivel ott ne találkoztunk volna. De nem számít, milyen képletet használunk, még egy követelményt adunk hozzá, nevezetesen a parciális deriváltokkal való munka jellemzőjét. Amint javítunk egy változót, az összes többi állandó. Konkrétan, ha figyelembe vesszük a $\cos \frac(x)(y)$ kifejezés részleges deriváltját $y$-hoz képest, akkor $y$ a változó, és $x$ mindenhol állandó marad. Ugyanez fordítva is működik. Kivehető a derivált előjeléből, és magának az állandónak a deriváltja "nulla" lesz.

Mindez oda vezet, hogy ugyanannak a kifejezésnek a parciális deriváltjai, de különböző változókhoz képest, teljesen eltérően nézhetnek ki. Vegyük például a következő kifejezéseket:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problémák az exponenciális függvényekkel és logaritmusokkal

1. feladat

Kezdjük a következő képlet felírásával:

\[((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=((e)^(x))\]

Ennek a ténynek, valamint egy komplex függvény deriváltjának ismeretében próbáljuk meg kiszámítani. Most két különböző módon fogom megoldani. Az első és legnyilvánvalóbb a termék származéka:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Oldjuk meg külön a következő kifejezést:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Visszatérünk eredeti tervünkhöz, és folytatjuk a megoldást:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\jobbra)\]

Minden, $x$ számítva.

Azonban, ahogy ígértem, most megpróbáljuk ugyanazt a parciális deriváltot más módon kiszámítani. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Írjuk így:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Ennek eredményeként pontosan ugyanazt a választ kaptuk, de a számítások mennyisége kisebbnek bizonyult. Ehhez elég volt észrevenni, hogy a szorzat szorzásakor a kitevők összeadhatók.

Most számoljunk $y$-al:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Oldjunk meg egy kifejezést külön:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Folytassuk az eredeti konstrukciónk megoldását:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Természetesen ugyanazt a deriváltot ki lehet számítani a második módon is, a válasz ugyanaz lenne.

2. feladat

Számoljunk $x$-al:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \jobb )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Számoljunk egy kifejezést külön:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Folytassuk az eredeti konstrukció megoldását: $$

Itt a válasz.

Továbbra is meg kell találni a $y$ analógiájával:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \jobbra)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \jobbra) \jobbra))^(\prime ))_(y)=\]

Számoljunk egy kifejezést külön, mint mindig:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prímszám ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \jobb) )^(\prím ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Folytatjuk a főstruktúra megoldását:

Minden meg van számolva. Amint látható, attól függően, hogy melyik változót veszik a megkülönböztetéshez, a válaszok teljesen eltérőek.

A megoldás árnyalatai

Íme egy szemléletes példa arra, hogy ugyanannak a függvénynek a deriváltja kétféle módon számítható ki. Nézz ide:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ balra(1+\frac(1)(y)\jobbra)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \jobbra)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Különböző utak kiválasztásakor a számítások mennyisége eltérő lehet, de a válasz, ha minden helyesen történik, ugyanaz lesz. Ez vonatkozik mind a klasszikus, mind a részleges származékokra. Ugyanakkor még egyszer emlékeztetem: attól függően, hogy melyik változóból veszik a származékot, pl. megkülönböztetés, a válasz teljesen más lehet. Néz:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \jobbra) \jobbra))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \jobbra))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Végezetül, hogy megszilárdítsuk ezt az anyagot, próbáljunk meg még két példát számolni.

Feladatok egy trigonometrikus függvénnyel és egy három változós függvénnyel

1. feladat

Írjuk fel ezeket a képleteket:

\[((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \jobbra))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Most oldjuk meg a kifejezésünket:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prím ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Külön vegye figyelembe a következő konstrukciót:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Folytatjuk az eredeti kifejezés megoldását:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Ez az utolsó privát változó válasz a $x$-on. Most számoljunk $y$-al:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prím ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Oldjunk meg egy kifejezést külön:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

A kivitelezésünket a végére megoldjuk:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

2. feladat

Első pillantásra ez a példa meglehetősen bonyolultnak tűnhet, mivel három változó van. Valójában ez az egyik legegyszerűbb feladat a mai oktatóvideóban.

Keresés $x$ szerint:

\[(((t)")_(x))=((\bal(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \jobbra))^(\prím ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \jobbra))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Most foglalkozzunk $y$-val:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \jobbra))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \jobbra))^(\prímszám ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \jobbra))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \jobbra))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Megtaláltuk a választ.

Most meg kell keresni $z$ szerint:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \jobbra))^(\prím ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \jobbra))^(\prím ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \jobbra))^(\prímszám ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \jobbra))^(\prímszám )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Kiszámoltuk a harmadik deriváltot, amelyen a második feladat megoldása teljesen kész.

A megoldás árnyalatai

Mint látható, ebben a két példában nincs semmi bonyolult. Csak annyit láttunk, hogy gyakran használják egy komplex függvény deriváltját, és attól függően, hogy melyik parciális deriváltot vesszük figyelembe, különböző válaszokat kapunk.

Az utolsó feladatban egyszerre három változó egy függvényével kellett foglalkoznunk. Nincs ezzel semmi gond, de a legvégén megbizonyosodtunk arról, hogy mindegyik jelentősen eltér egymástól.

Főbb pontok

A mai oktatóvideó végső következtetései a következők:

1. A parciális deriváltokat ugyanúgy tekintjük, mint a közönségeseket, míg ahhoz, hogy egy változóhoz viszonyítva a parciális deriváltot vegyük figyelembe, a függvényben szereplő összes többi változót konstansnak vesszük.
2. A parciális deriváltokkal végzett munka során ugyanazokat a standard formulákat használjuk, mint a közönséges deriváltoknál: az összeget, a különbséget, a szorzat és a hányados deriváltját, és természetesen egy komplex függvény deriváltját.

Természetesen ennek az oktatóvideónak a megtekintése önmagában nem elegendő a téma teljes megértéséhez, ezért most a webhelyemen ehhez a videóhoz van egy sor feladatsor, amelyet a mai témának szenteltek - menjen, töltse le, oldja meg ezeket a feladatokat, és ellenőrizze a választ. És ezt követően nincs probléma a részleges származékokkal sem a vizsgákon, sem a későbbiekben önálló munkavégzés nem fogsz. Természetesen ez messze nem a felsőbb matematika utolsó órája, ezért látogassa meg webhelyünket, vegye fel a VKontakte-ot, iratkozzon fel a YouTube-ra, lájkoljon, és maradjon velünk!

Példa. Keresse meg , ha , hol .

Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk:

Példa. Keresse meg a parciális derivált és a teljes derivált, ha .

Megoldás. .

A (2) képlet alapján megkapjuk .

2°. Több független változó esete.

Hadd z = f(x;y) - két változó függvénye xÉs y, amelyek mindegyike egy függvény

független változó t: x = x(t), y = y(t). Ebben az esetben a függvény z=f(x(t);y(t)) van

egy független változó komplex függvénye t; változók x és y köztes változók.

Tétel. Ha z == f(x; y) - egy ponton differenciálható M(x; y) D funkció

És x = x(t)És nál nél =y(t) - a független változó differenciálható függvényei t,

akkor a komplex függvény deriváltja z(t) == f(x(t);y(t)) képlettel számítjuk ki

(3)

Különleges eset: z = f(x; y), ahol y = y(x), azok. z= f(x;y(x)) - komplex funkciója

független változó X. Ez az eset az előzőre redukálódik, és a változó szerepe

t játszik X. A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:

.

Az utolsó képlet az ún képletek a teljes származékhoz.

Általános eset: z = f(x;y), Ahol x = x(u;v), y=y(u;v). Ekkor z = f(x(u;v);y(u;v)) -összetett

független változók függvénye ÉsÉs v. Részleges származékai megtalálhatók

a (3) képlet segítségével az alábbiak szerint. Rögzítő v, cserélje ki benne

megfelelő parciális származékai

Tehát a (z) összetett függvény deriváltja az egyes független változókra vonatkozóan (ÉsÉs v)

egyenlő ezen függvény (z) parciális deriváltjainak szorzatainak összegével a közbenső termékére vonatkozóan

változók (x és y) származékaikhoz a megfelelő független változó tekintetében (u és v).

Minden figyelembe vett esetben a képlet

(a teljes differenciál invarianciájának tulajdonsága).

Példa. Keresse meg és ha z= f(x,y), ahol x=uv, .

1°. Egy független változó esete. Ha z=f(x,y) az x és y argumentumok differenciálható függvénye, amelyek viszont a független változó differenciálható függvényei t: , akkor a komplex függvény deriváltja képlettel lehet kiszámítani

Példa. Keresse meg , ha , hol .

Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk:

Példa. Keresse meg a parciális derivált és a teljes derivált, ha .

Megoldás. .

A (2) képlet alapján megkapjuk .

2°. Több független változó esete.

Hadd z=f(x;y ) - két változó függvénye xÉs y, amelyek mindegyike a független változó függvénye t : x =x (t ), y =y (t). Ebben az esetben a függvény z=f(x (t);y (t)) egy független változó komplex függvénye t; változók x és y köztes változók.

Tétel. Ha z == f(x; y) - egy ponton differenciálható M(x; y)D funkció és x =x (t)És nál nél =y (t) - a független változó differenciálható függvényei t, akkor a komplex függvény deriváltja z(t) == f(x (t);y (t)) képlettel számítjuk ki

Különleges eset:z = f(x; y), ahol y = y(x), azok. z= f(x;y (x)) - egy független változó komplex függvénye X. Ez az eset az előzőre redukálódik, és a változó szerepe t játszik X. A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:

.

Az utolsó képlet az ún képletek a teljes származékhoz.

Általános eset:z = f(x;y ), Ahol x =x (u ;v),y=y (u ;v ). Ekkor z = f(x (u ;v);y (u ;v))- független változók komplex függvénye ÉsÉs v. Ennek részleges származékai és a (3) képlet segítségével az alábbiak szerint kereshetők. Rögzítő v, kicseréljük benne a megfelelő parciális származékokkal

Tehát a (z) összetett függvény deriváltja az egyes független változókra vonatkozóan (ÉsÉs v) egyenlő a (z) függvény parciális deriváltjainak szorzataival a közbenső változóihoz képest (x és y) származékaikhoz a megfelelő független változó tekintetében (u és v).

Minden figyelembe vett esetben a képlet

(a teljes differenciál invarianciájának tulajdonsága).

Példa. Keresse meg és ha z = f(x ,y ), ahol x =uv , .

Megoldás. A (4) és (5) képlet alkalmazásával kapjuk:

Példa. Mutassuk meg, hogy a függvény kielégíti az egyenletet .

Megoldás. A függvény egy köztes argumentumon keresztül függ x-től és y-tól, tehát

A parciális deriváltokat behelyettesítve az egyenlet bal oldalába, a következőt kapjuk:

Vagyis a z függvény kielégíti az adott egyenletet.

Egy függvény adott irányú és gradiensének deriváltja

1°. Egy függvény származéka adott irányban. derivált függvények z= f(x,y) ebben az irányban hívott , ahol és a függvény értékei a és pontokban. Ha a z függvény differenciálható, akkor a képlet

hol vannak az irányok közötti szögek lés a megfelelő koordinátatengelyek. Az adott irányú derivált a függvény ilyen irányú változási sebességét jellemzi.

Példa. Keresse meg a z \u003d 2x 2 - Zu 2 függvény deriváltját a P (1; 0) pontban abban az irányban, amely 120°-os szöget zár be az OX tengellyel.

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait és azok értékét a P pontban.

Tétel.Hadd u = f(x, y) a D és let tartományban van megadva x = x(t)És y = y(t) a területen meghatározott , és mikor , akkor x és y a D területhez tartozik. Legyen egy u függvény differenciálható egy M pontban 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), és x függvények(t) és at(t) a megfelelő t pontban differenciálhatók 0 , akkor az u = f komplex függvény[x(t),y(t)]=F (t)differenciálható a t 0 és a következő egyenlőség áll fenn:

.

Bizonyíték. Mivel u feltételesen differenciálható a pontban ( x 0 , y 0), akkor a teljes növekményét a következőképpen ábrázoljuk

Ezt az arányt elosztva -vel, a következőt kapjuk:

Térjünk át a határértékre és kapjuk meg a képletet

.

Megjegyzés 1. Ha u= u(x, y) És x= x, y= y(x), akkor a függvény teljes deriváltja u változó szerint x

vagy .

Az utolsó egyenlőség felhasználható az alakban implicit módon adott változó függvényének megkülönböztetésére vonatkozó szabály bizonyítására. F(x, y) = 0, ahol y= y(x) (lásd a 3. témakört és a 14. példát).

Nekünk van: . Innen . (6.1)

Térjünk vissza a 3. témakör 14. példájához:

;

.

Amint látja, a válaszok ugyanazok.

2. megjegyzés. Hadd u = f (x, y), Ahol x= x(t , v), nál nél= nál nél(t , v). Ekkor u végső soron két változó komplex függvénye tÉs v. Ha most az u függvény egy pontban differenciálható M 0 (x 0 , y 0), és a függvények xÉs nál nél differenciálhatók a megfelelő ponton ( t 0 , v 0), akkor a vonatkozásban parciális deriváltokról beszélhetünk tÉs v komplex függvényből egy pontban ( t 0 , v 0). De ha a t-re vonatkozó parciális deriváltról beszélünk egy meghatározott pontban, akkor a második v változót állandónak tekintjük és egyenlőnek v 0 . Ezért csak egy komplex függvény deriváltjáról beszélünk t vonatkozásában, ezért használhatjuk a származtatott formulát. Így kapunk.

Legyen definiálva a z - f(x, y) függvény valamelyik D tartományban az xOy síkon. Vegyünk egy belső pontot (x, y) a D tartományból, és adjunk x-nek olyan Ax növekményt, hogy az (x + Ax, y) pont 6 D legyen (9. ábra). Nevezzük az értéket a z függvény x-hez viszonyított részleges növekményének. Az arány összeállítása Adott (x, y) pont esetén ez az arány a Definíció függvénye. Ha Ax -* 0 esetén a ^ relációnak véges határa van, akkor ezt a határértéket a z = /(x, y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az x független változóhoz képest az (x, y) pontban, és a jfc (vagy /i(x, jj ), vagy z "x (x, Ugyanígy, definíció szerint, vagy ami ugyanaz, Analóg módon Ha és n független változó függvénye, akkor /i(x, jj ), vagy z "x (x, azonos módon) szimbólummal jelölve, akkor megjegyezve hogy Arz-t az y változó értékével változatlan, Atz-t pedig az x változó értékével számoljuk, a parciális deriváltak definíciói a következőképpen fogalmazhatók meg: Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése. több változó függvénye Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Elegendő feltételek több változó függvényének differenciálhatóságához Teljes differenciál. ) ennek a függvénynek a szokásos deriváltja x-re vonatkoztatva, azzal a feltételezéssel számolva, hogy y konstans; a z - /(x, y) függvény y-ra vonatkozó parciális deriváltja a deriváltja y-hoz képest, azzal a feltételezéssel számolva, hogy x konstans. Ebből következik, hogy a parciális deriváltak számítási szabályai egybeesnek az egy változó függvényére bizonyított szabályokkal. Példa. Határozzuk meg egy függvény parciális deriváltjait 4 Vannak helyettesítések*. Egy y = /(x, y) függvény létezése a parciális deriváltak adott pontjában az összes argumentumhoz képest nem jelenti a függvény folytonosságát ezen a ponton. Tehát a függvény nem folytonos a 0(0,0) pontban. Azonban ezen a ponton meghatározott funkciót parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Ez abból következik, hogy /(x, 0) = 0 és /(0, y) = 0, tehát két változó függvény parciális deriváltjainak geometriai jelentése Legyen az S felület a háromdimenziós térben az egyenlet adja meg, ahol f(x, y) egy függvény, folytonos valamilyen D tartományban, és ott parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Nézzük meg ezeknek a deriváltaknak a geometriai jelentését abban a Mo(x0, y0) 6 D pontban, amelyre az f(x0)yo) pont felel meg a z = f(x)y felületen). Amikor az M0 pontban megtaláljuk a parciális deriváltot, feltételezzük, hogy z csak az x argumentum függvénye, míg az y argumentum y \u003d yo állandó értéket tart, azaz az fi (x) függvényt geometriailag az L görbe ábrázolja. , amely mentén az S felületet az y sík \u003d kb. Az egyik változó függvénye deriváltjának geometriai jelentése miatt f \ (xo) = tg a, ahol a az a szög, amelyet az L egyenes érintője a JV0 pontban az Ox tengellyel zár be (10. ábra). . De így Tehát a parciális derivált ($|) egyenlő az Ox tengely és az N0 pontban lévő érintő a szög érintőjével a z \u003d / (x, y) felület metszetében kapott görbére. az y sík által.. Hasonlóképpen azt is megkapjuk, hogy §6. Több változóból álló függvény differenciálhatósága Legyen a z = /(x, y) függvény az xOy síkon valamilyen D tartományban definiálva. Vegyünk egy (x, y) € D pontot, és adjuk meg a választott x és y értékeket tetszőleges Ax és Dy növekményekkel, de úgy, hogy a pont legyen. Meghatározás. Az r = /(x, y) függvényt differenciálható * pontnak (x, y) € 2E nevezzük, ha ennek a függvénynek a teljes növekménye, amely megfelel az argumentumok Dx, Dy növekményeinek, úgy ábrázolható, mint ahol A és B nem függenek Dx-től és D y-tól (de általában függenek x-től és y-tól), míg a(Ax, Dy) és f(Ax, Dy) nullára hajlamosak, míg Ax és Dy nullára hajlamosak. . Ha a z = /(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban, akkor a függvény Dx-hez és Dy-hez képest lineáris növekményének A Dx 4 - VDy részét teljes differenciálnak nevezzük. ennek a függvénynek az (x, y) pontjában, és dz szimbólummal jelöljük: Tanim mód, példa. Legyen r = x2 + y2. Bármely ponton (r, y) és bármely Dx és Dy esetén itt van. ebből következik, hogy a és /3 nullára hajlamos, ahogy az Ax és Dy nullára. Definíció szerint, adott funkciót az xOy sík bármely pontján differenciálható. Itt jegyezzük meg, hogy indoklásunkban formálisan nem zártuk ki azt az esetet, amikor a Dx, Dy növekmény külön-külön vagy akár mindkettő egyszerre nulla. Az (1) képletet tömörebben írhatjuk fel, ha bevezetjük a kifejezést (a pontok közötti távolságot (Használatával írhatjuk Ha a kifejezést zárójelben e-vel jelöljük, akkor ott lesz, ahol c függ J-től, Du-tól és nullára hajlik, ha J 0 és Dy 0, vagy röviden, ha p 0. Az (1) képlet, amely azt a feltételt fejezi ki, hogy a z = f(xt y) függvény differenciálható legyen az (x, y) pontban, most felírható. 4. Tétel. Ha az r = f(x, y) függvény egy ponton differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.4 Ha az r = f(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban, akkor az i függvény növekményének összege ebben a pontban""e, amely megfelel az argumentumok j és dy növekményeinek, a b Tétel alakban ábrázolható. Ha a függvény z = f(x, y) egy adott pontban differenciálható, mo o o u. ) egy (x, y) pontig differenciálható. Ekkor ennek a függvénynek a Dx növekménye, amely megfelel az argumentumok Dx, Ay növekményeinek, az (1) formában ábrázolható. Az (1) Dx F 0, Dn = 0 egyenlőségbe véve azt kapjuk, hogy honnan Mivel az utolsó egyenlőség jobb oldalán az A érték nem függ, Ez azt jelenti, hogy az (x, y) pontban van egy részleges az r \u003d / (x, y) függvény deriváltja x-re vonatkoztatva, és hasonló érveléssel láthatjuk, hogy (x, van a zу függvény parciális deriváltja, és a tételből következik, hogy Hangsúlyozzuk, hogy a Tétel Az 5. ábra csak az (x, y) pontban állítja a parciális deriváltak létezését, de nem mond semmit a folytonosságukról 6.2 Elégséges feltételek több változó függvényének differenciálhatóságához Mint ismeretes, egy függvény differenciálhatóságának szükséges és elégséges feltétele Egy változó y = f(x) xo pontjában a /"(x) derivált véges létezése az x0 pontban. Abban az esetben, ha a függvény több változótól függ, sokkal bonyolultabb a helyzet: ott nincs szükség és elégséges feltétele a differenciálhatóságnak két független x, y változó z = /(x, y) függvényében; csak külön-külön szükséges feltételek vannak (vö. fent) és külön - elegendő. A több változó függvényének differenciálhatóságának ezeket az elégséges feltételeit a következő tétel fejezi ki. Tétel c. Ha egy függvénynek vannak /£ és f"v parciális deriváltjai a vékony vonal (xo, y0) valamelyik szomszédságában, és ha ezek a deriváltok magán a ponton (xo, y0) folytonosak, akkor a függvény z = f(x, y) ) pontban differenciálható (x- Példa Tekintsünk függvényt Parciális deriváltok Két változó függvény parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változós függvény differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei A függvények differenciálhatóságának elégséges feltételei több változóból Összes differenciál Parciális differenciálok Komplex függvény deriváltjai Mindenhol definiálva A parciális deriváltak definíciója alapján a 0(0, 0) pontban ennek a függvénynek a ™-jét találjuk, és ennek a növekménye élesedik. Du 0. Feltesszük D0-t, majd az (1) képletből megkapjuk Ezért az / (x, y) \u003d függvények nem differenciálhatók a 0 (0, 0) pontban, bár ezen a ponton fa-t állítunk elő és f "r A kapott eredményt az magyarázza, hogy az f"z és f"t deriváltak a 7. § pontjában nem folytonosak. teljes differenciálmű. Parciális differenciálok Ha az r - f(z> y) függvény differenciálható, akkor az utolsó dz különbsége egyenlő Figyelembe véve, hogy A \u003d B \u003d w, az (1) képletet a következő formában írjuk. Függvény differenciálása független változókra, független változók differenciáljának egyenlő értékű beállítása a növekményükkel: Ezt követően a függvény teljes differenciájának képlete veszi a példát. Legyen i - 1l(x + y2). Majd Hasonlóképpen, ha u =) n független változó differenciálható függvénye, akkor a kifejezést a z = f(x, y) függvény x változóhoz viszonyított sovány differenciáljának nevezzük; a kifejezést az y változó z = /(x, y) függvényének parciális differenciáljának nevezzük. A (3), (4) és (5) képletekből következik, hogy egy függvény teljes differenciája a részdifferenciálok összege: Vegye figyelembe, hogy a z = /(x, y) függvény teljes Az növekménye általában véve , nem egyenlő a részleges növekedések összegével. Ha egy (x, y) pontban az y = /(x, y) függvény differenciálható, és a dz Φ 0 differenciál ebben a pontban, akkor teljes növekménye csak az aAx 4 utolsó tagok összegével tér el a lineáris részétől. - /? 0 és Ay --> O a lineáris rész tagjainál magasabb rendű végtelen kicsinyek. Ezért, ha dz Ф 0, a differenciálható függvény növekményének lineáris részét a függvény növekményének fő részének nevezzük, és egy közelítő képletet használunk, amely minél pontosabb, minél kisebb a függvény növekményének abszolút értéke. az érveket. §8. Egy komplex függvény deriváltjai 1. Legyen a függvény definiálva az xOy síkon valamilyen D tartományban, és az x, y változók mindegyike a t argumentum függvénye: Feltesszük, hogy amikor t változik a intervallum (a megfelelő pontok (x, y) nem mennek ki a D tartományon kívül. Ha az értékeket behelyettesítjük a z = / (x, y) függvénybe, akkor egy t változó komplex függvényét kapjuk. a megfelelő értékekre a / (x, y) függvény differenciálható, akkor a t pontban lévő komplex függvénynek deriváltja van és M Adjunk t-nek egy Dt növekményt. Ekkor x és y kap néhány Ax és Dy növekményt. eredményként (J)2 + (Dy)2 ∩ 0 esetén a z függvény is kap némi Dt növekményt, ami a z = f , y) függvény differenciálhatósága miatt az (x, y) pontban úgy kell ábrázolni, mint ahol a) nullára hajlamos, mivel az Ax és a Du nullára irányul. Határozzuk meg a-t és /3-at Ax = Ay = 0-ra úgy, hogy a beállítást a(z) akkor a( folytonos lesz J = Dy = 0 esetén. Tekintsük az összefüggést állandónak az adott esetén, feltétel szerint vannak határok a deriváltak létezésének ^ és a £ pontban ebből az következik, hogy az x = y(t) és y = függvények ebben a pontban folytonosak, ezért 0-nál J és Dy egyaránt nullára irányul, ami viszont a(Ax, Dy) és P-t vonja maga után Az (Ax, Ay) nullára hajlamos. Így a (2) egyenlőség 0-nál lévő jobb oldalának határa egyenlő tehát a (2) bal oldalának határértéke 0-ban létezik, azaz létezik egyenlő Ha a (2) egyenlőségben az At -» 0 határértéket átadjuk, megkapjuk a szükséges képletet Abban az esetben, ha ebből következően z x komplex függvénye, y)-t kapunk x felett, amelynek kiszámításakor az f(x, y) kifejezést az y argumentumot konstansnak vesszük, és az x függvényének tekintjük: y = tp(x)t, így z x-től való függése teljes mértékben felvett figyelembe. Példa. Keresse meg és jg, ha 2. Tekintsük most egy több változóból álló komplex függvény differenciálását. Tegyük fel, hogy a (() pontban folytonos parciális deriváltak vannak u, 3? és a megfelelő pontban (x, y), ahol az /(x, y) függvény differenciálható. ilyen feltételek mellett a t7) pontban lévő z = z(() y) komplex függvénynek deriváltjai és u vannak, és ezekre a deriváltokra találunk kifejezéseket. Megjegyzendő, hogy ez az eset nem különbözik jelentősen a már vizsgált esettől. Valóban, ha z-t £-hoz képest differenciáljuk, akkor a második független rj változót vesszük állandónak, aminek eredményeként x és y ugyanannak az x" = c), y = c) változónak a függvényei lesznek ebben a műveletben, a Φ derivált kérdése pedig pontosan ugyanúgy megoldódik, mint a derivált kérdése a (3) képlet származtatásánál. A (3) képlet felhasználásával és a benne szereplő g és ^ származékokat formálisan az u, illetőleg származékokkal helyettesítve azt kapjuk, ha egy komplex függvényt „Képletekkel határozzuk meg úgy, hogy akkor a megfelelő feltételek mellett meglegyen Abban az esetben, ha And = ahol Részleges deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága A szükséges feltételek függvény differenciálhatósága Elegendő feltétel több változó függvényének differenciálhatóságához Teljes differenciál Részleges differenciálok Egy komplex függvény deriváltjai vannak y, d) x-ben, k számításánál