6. Трептения

6.1.Основни понятия и закони

равновесно положение), ω 0 - кръгова честота на хармоничните трептения, ω 0 t + α - фаза, α - начална фаза (при t = 0).

Система, която извършва хармонични трептения, се нарича

класически хармоничен осцилатор или вибрационен

откъдето следва, че при хармонични трептения ускорението е правопропорционално на изместването на точката от равновесното положение и е насочено противоположно на изместването.

От уравнения (6.6), (6.7) получаваме

Уравнение (6.8) се наричадиференциално уравнение на хармоничните трептения , а (6.4) е неговото решение. Заместване

(6.7) във втория закон на Нютон F = ma r , получаваме силата, под влиянието на която възникват хармонични трептения

Тази сила, право пропорционална на изместването на точката от равновесното положение и насочена противоположно на изместването, се нарича възстановяваща сила, k се нарича коефициент на възстановителна сила. Еластичната сила има това свойство. Сили с различна физическа природа, подчинени на закона (6.11),

се наричат ​​квазиеластични.

Трептения, възникващи под въздействието на сили, имащи

За хармоничните трептения, според закона (6.4), времевите зависимости на кинетичната и потенциалната енергия имат формата

Общата енергия в процеса на хармоничните трептения се запазва

представляват като проекция върху координатните оси на вектор, чиято големина е равна на амплитудата A, въртяща се около началото на координатите с ъглова скорост ω 0. Методът се основава на тази идея

Уравнение на траекторията точки, участващи в двевзаимно перпендикулярни вибрации

x = A 1 sin ((ω t + ϕ 1 ) ), (6.20) y = A 2 sin ω t + ϕ 2

изглежда като

Основното уравнение за динамиката на въртеливото движение има формата (виж формула (4.18))

M = I ε , (6.23)

където I е инерционният момент на махалото спрямо оста, минаваща през точка O, ε е ъгловото ускорение.

От (6.23), (6.22) получаваме диференциалното уравнение на хармоничните трептения на физическо махало

От (6.3) получаваме формулата за периода на трептене на физическо махало

където ϕ е ъгловото изместване от равновесното положение, ϕ 0 е амплитудата

колебание.

Сравнявайки уравнения (6.8) и (6.32), получаваме стойностите на ъгловата честота и периода на торсионни трептения

Свободните вибрации се гасят поради наличието на съпротивителни сили. Например, когато материална точка вибрира във вискозна среда, при ниски скорости върху нея действа сила

Ъгловата честота се изразява в радиани в секунда, нейната размерност е обратна на измерението на времето (радианите са безразмерни). Ъгловата честота е времевата производна на фазата на трептене:

Ъгловата честота в радиани за секунда се изразява като честота f(изразено в обороти в секунда или вибрации в секунда), като

Ако използваме градуси в секунда като единица за ъглова честота, връзката с обикновената честота е следната:

И накрая, когато се използват обороти в секунда, ъгловата честота е същата като скоростта на въртене:

Въвеждането на цикличната честота (в нейното основно измерение - радиани в секунда) ни позволява да опростим много формули в теоретичната физика и електроника. По този начин резонансната циклична честота на осцилаторна LC верига е равна на докато обичайната резонансна честота е . В същото време редица други формули стават по-сложни. Решаващото съображение в полза на цикличната честота е, че факторите и , които се появяват в много формули, когато се използват радиани за измерване на ъгли и фази, изчезват, когато се въведе циклична честота.

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• Циклитирас Константинос
• Циклична последователност

Вижте какво е „циклична честота“ в други речници:

циклична честота- kampinis dažnis statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. ъглова честота циклична честота радианова честота vok. Kreisfrequenz, f; Winkelfrequenz, е рус. кръгова честота, f; ъглова честота, f; циклична честота, f пранц. fréquence… … Fizikos terminų žodynas

ЦИКЛИЧНА ЧЕСТОТА- същото като ъгловата честота... Голям енциклопедичен политехнически речник

Честота на партидата

Честота на ядрото- Честотата е физична величина, характеристика на периодичен процес, равна на броя на пълните цикли, завършени за единица време. Стандартна нотация във формули, или. Единицата за честота в Международната система единици (SI) като цяло... ... Wikipedia

Честота- Този термин има други значения, вижте Честота (значения). Честота SI единици Hz Физическа честота в ... Wikipedia

ЧЕСТОТА- (1) броя на повторенията на периодично явление за единица време; (2) Ch.странична честота, по-голяма или по-малка от носещата честота на високочестотния генератор, възникваща, когато (виж); (3) Броят обороти е стойност, равна на съотношението на броя обороти... ... Голяма политехническа енциклопедия

брой цикли Ръководство за технически преводач

Честота- колебания, броят на пълните периоди (цикли) на колебателния процес, възникващи за единица време. Единицата за честота е херц (Hz), съответстваща на един пълен цикъл за 1 s. Честота f=1/T, където T е периодът на трептене, колкото и често... ... Илюстрован енциклопедичен речник

Циклични инвентаризации (CYCLE COUNT)- Метод за точен одит на наличните складови наличности, когато наличностите се инвентаризират периодично по цикличен график, а не веднъж годишно. Цикличните инвентаризации на складови наличности обикновено се извършват редовно (обикновено по-често за... ... Речник на термините в управленското счетоводство

Ъглова честота- Размерност T −1 Мерни единици ... Wikipedia

Осцилациите са процес на промяна на състоянията на системата около точката на равновесие, който се повтаря в различна степен във времето.

Хармонични трептения - трептения, при които физическа (или друга) величина се променя във времето според синусоидален или косинусов закон. Кинематичното уравнение на хармоничните трептения има формата

където x е преместването (отклонението) на осцилиращата точка от равновесното положение в момент t; А е амплитудата на трептенията, това е стойността, която определя максималното отклонение на осцилиращата точка от равновесното положение; ω - циклична честота, стойност, показваща броя на пълните трептения, възникващи в рамките на 2π секунди - пълната фаза на трептенията, 0 - началната фаза на трептенията.

Амплитудата е максималната стойност на изместване или промяна на променлива от средната стойност по време на колебателно или вълново движение.

Амплитудата и началната фаза на трептенията се определят от началните условия на движение, т.е. положение и скорост на материалната точка в момента t=0.

Обобщено хармонично трептене в диференциална форма

амплитудата на звуковите вълни и аудио сигналите обикновено се отнася до амплитудата на въздушното налягане във вълната, но понякога се описва като амплитудата на изместването спрямо равновесието (въздуха или диафрагмата на високоговорителя)

Честотата е физична величина, характеристика на периодичен процес, равна на броя на пълните цикли на процеса, завършени за единица време. Честотата на вибрациите в звуковите вълни се определя от честотата на вибрациите на източника. Високочестотните трептения затихват по-бързо от нискочестотните.

Реципрочната стойност на честотата на трептене се нарича период T.

Периодът на трептене е продължителността на един пълен цикъл на трептене.

В координатната система от точка 0 изчертаваме вектор A̅, чиято проекция върху оста OX е равна на Аcosϕ. Ако векторът A̅ се върти равномерно с ъглова скорост ω˳ обратно на часовниковата стрелка, тогава ϕ=ω˳t +ϕ˳, където ϕ˳ е началната стойност на ϕ (фаза на трептене), тогава амплитудата на трептенията е модулът на равномерно въртящ се вектор A̅, фазата на трептене (ϕ ) е ъгълът между вектора A̅ и оста OX, началната фаза (ϕ˳) е началната стойност на този ъгъл, ъгловата честота на трептенията (ω) е ъгловата скорост на въртене на вектора A̅..

2. Характеристики на вълновите процеси: вълнов фронт, лъч, скорост на вълната, дължина на вълната. Надлъжни и напречни вълни; примери.

Повърхността, разделяща в даден момент от време вече покритата и още необхваната среда от трептения, се нарича вълнов фронт. Във всички точки на такава повърхност, след напускане на вълновия фронт, се установяват еднакви по фаза трептения.

Лъчът е перпендикулярен на фронта на вълната. Акустичните лъчи, подобно на светлинните, са праволинейни в хомогенна среда. Те се отразяват и пречупват на границата между 2 среди.

Дължината на вълната е разстоянието между две най-близки точки една до друга, осцилиращи в еднакви фази, обикновено дължината на вълната се обозначава с гръцката буква. По аналогия с вълните, създадени във вода от хвърлен камък, дължината на вълната е разстоянието между два съседни гребена на вълната. Една от основните характеристики на вибрациите. Измерва се в единици за разстояние (метри, сантиметри и т.н.)

• надлъжновълни (вълни на компресия, P-вълни) - частиците на средата вибрират паралелен(по) посоката на разпространение на вълната (както например в случая на разпространение на звука);
• напреченвълни (срязващи вълни, S-вълни) - частиците на средата вибрират перпендикуляренпосока на разпространение на вълната (електромагнитни вълни, вълни върху разделителните повърхности);

Ъгловата честота на трептенията (ω) е ъгловата скорост на въртене на вектора A̅(V), преместването x на осцилиращата точка е проекцията на вектора A върху оста OX.

V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳), където Vm=Аω˳ е максималната скорост (амплитуда на скоростта)

3. Свободни и принудени вибрации. Собствена честота на трептенията на системата. Феноменът на резонанса. Примери .

Свободни (естествени) вибрации се наричат ​​тези, които възникват без външни влияния поради енергията, получена първоначално от топлина. Характерни модели на такива механични трептения са материална точка върху пружина (пружинно махало) и материална точка върху неразтеглива нишка (математическо махало).

В тези примери трептенията възникват или поради първоначална енергия (отклонение на материална точка от положението на равновесие и движение без начална скорост), или поради кинетика (на тялото се придава скорост в първоначалното равновесно положение), или поради и двете енергия (придаване на скорост на тялото, отклонено от равновесно положение).

Помислете за пружинно махало. В равновесно положение еластичната сила F1

балансира силата на гравитацията mg. Ако издърпате пружината на разстояние x, тогава върху материалната точка ще действа голяма еластична сила. Изменението на стойността на еластичната сила (F), според закона на Хук, е пропорционално на изменението на дължината на пружината или преместването x на точката: F= - rx

Друг пример. Математическото махало на отклонение от равновесното положение е толкова малък ъгъл α, че траекторията на материална точка може да се счита за права линия, съвпадаща с оста OX. В този случай е изпълнено приблизителното равенство: α ≈sin α≈ tanα ≈x/L

Незатихващи трептения. Нека разгледаме модел, в който съпротивителната сила е пренебрегната.
Амплитудата и началната фаза на трептенията се определят от началните условия на движение, т.е. положение и скорост на момента на материалната точка t=0.
Сред различните видове вибрации, хармоничната вибрация е най-простата форма.

По този начин материална точка, окачена на пружина или нишка, извършва хармонични трептения, ако не се вземат предвид силите на съпротивление.

Периодът на трептене се намира по формулата: T=1/v=2П/ω0

Затихващи трептения. В реалния случай върху трептящо тяло действат сили на съпротивление (триене), характерът на движението се променя и трептенето се затихва.

Във връзка с едномерното движение, даваме на последната формула следната форма: Fc = - r * dx/dt

Скоростта, с която намалява амплитудата на трептенията, се определя от коефициента на затихване: колкото по-силен е спирачният ефект на средата, толкова по-голямо е ß и толкова по-бързо намалява амплитудата. На практика обаче степента на затихване често се характеризира с логаритмичен декремент на затихване, което означава стойност, равна на естествения логаритъм от отношението на две последователни амплитуди, разделени от интервал от време, равен на периода на трептене; следователно затихването коефициентът и логаритмичният декремент на затихване са свързани с доста проста зависимост: λ=ßT

При силно затихване от формулата става ясно, че периодът на трептене е въображаема величина. Движението в този случай вече няма да бъде периодично и се нарича апериодично.

Принудителни вибрации. Принудените колебания се наричат ​​колебания, които възникват в система с участието на външна сила, която се променя според периодичен закон.

Да приемем, че върху материалната точка, в допълнение към еластичната сила и силата на триене, действа външна движеща сила F=F0 cos ωt

Амплитудата на принудителното трептене е правопропорционална на амплитудата на движещата сила и има сложна зависимост от коефициента на затихване на средата и кръговите честоти на собствените и принудените трептения. Ако за системата са дадени ω0 и ß, тогава амплитудата на принудените трептения има максимална стойност при някаква специфична честота на движещата сила, т.нар. резонансен Самото явление - постигането на максимална амплитуда на принудените трептения за дадени ω0 и ß - се нарича резонанс.

Резонансната кръгова честота може да се намери от условието за минималния знаменател в: ωres=√ωₒ- 2ß

Механичният резонанс може да бъде както полезен, така и вреден. Вредните ефекти се дължат главно на разрушаването, което може да причини. По този начин в технологията, като се вземат предвид различни вибрации, е необходимо да се предвиди възможното възникване на резонансни условия, в противен случай може да има разрушения и бедствия. Телата обикновено имат няколко собствени честоти на трептене и съответно няколко резонансни честоти.

Във вътрешните органи възникват резонансни явления под действието на външни механични вибрации. Това очевидно е една от причините за негативното въздействие на инфразвуковите трептения и вибрации върху човешкия организъм.

6. Методи за изследване на звука в медицината: перкусия, аускултация. Фонокардиография.

Звукът може да бъде източник на информация за състоянието на вътрешните органи на човек, поради което в медицината широко се използват методи за изследване на състоянието на пациента като аускултация, перкусия и фонокардиография.

Аускултация

За аускултация се използва стетоскоп или фонендоскоп. Фонендоскопът се състои от куха капсула със звукопредаваща мембрана, която се поставя върху тялото на пациента, от която гумените тръби отиват към ухото на лекаря. Възниква резонанс на въздушния стълб в капсулата, което води до повишен звук и подобрена аускултация. При аускултация на белите дробове се чуват дихателни звуци и различни хрипове, характерни за заболявания. Можете също така да слушате сърцето, червата и стомаха.

Перкусии

При този метод се прослушва звукът на отделни части на тялото чрез потупване по тях. Нека си представим затворена кухина в някакво тяло, изпълнена с въздух. Ако предизвикате звукови вибрации в това тяло, тогава при определена честота на звука въздухът в кухината ще започне да резонира, освобождавайки и усилвайки тон, съответстващ на размера и положението на кухината. Човешкото тяло може да бъде представено като колекция от пълни с газ (бели дробове), течни (вътрешни органи) и твърди (кости) обеми. При удар върху повърхността на тялото възникват вибрации, чиито честоти имат широк диапазон. От този диапазон някои вибрации ще изчезнат доста бързо, докато други, съвпадащи с естествените вибрации на кухините, ще се засилят и поради резонанса ще бъдат чути.

Фонокардиография

Използва се за диагностициране на сърдечни заболявания. Методът се състои в графично записване на сърдечни тонове и шумове и тяхната диагностична интерпретация. Фонокардиографът се състои от микрофон, усилвател, система от честотни филтри и записващо устройство.

9. Ултразвукови методи на изследване (ултразвук) в медицинската диагностика.

1) Методи за диагностика и изследване

Те включват методи за локализиране, използващи главно импулсно лъчение. Това е ехоенцефалография - откриване на тумори и оток на мозъка. Ултразвукова кардиография - измерване на размера на сърцето в динамика; в офталмологията - ултразвукова локация за определяне размера на очната среда.

2)Методи на въздействие

Ултразвукова физиотерапия – механично и топлинно въздействие върху тъканите.

11. Ударна вълна. Производство и използване на ударни вълни в медицината.
Ударна вълна – повърхност на прекъсване, която се движи спрямо газа и при пресичането на която налягането, плътността, температурата и скоростта изпитват скок.
При големи смущения (експлозия, свръхзвуково движение на тела, мощен електрически разряд и др.) Скоростта на осцилиращите частици на средата може да стане сравнима със скоростта на звука , възниква ударна вълна.

Ударната вълна може да има значителна енергияТака по време на ядрен взрив около 50% от енергията на взрива се изразходва за образуването на ударна вълна в околната среда. Следователно ударна вълна, достигайки биологични и технически обекти, може да причини смърт, нараняване и разрушение.

Ударните вълни се използват в медицинската техника, представляващ изключително кратък, мощен импулс на налягане с високи амплитуди на налягането и малък компонент на разтягане. Те се генерират извън тялото на пациента и се предават дълбоко в тялото, предизвиквайки терапевтичен ефект, предвиден от специализацията на модела на оборудването: раздробяване на пикочни камъни, третиране на болкови зони и последствия от наранявания на опорно-двигателния апарат, стимулиране на възстановяването на сърдечния мускул след миокарден инфаркт, изглаждане на целулитни образувания и др.

Всичко на планетата има своя собствена честота. Според една версия той дори е в основата на нашия свят. Уви, теорията е твърде сложна, за да бъде представена в една публикация, така че ще разглеждаме изключително честотата на трептенията като независимо действие. В рамките на статията ще бъдат дадени дефиниции на този физически процес, неговите мерни единици и метрологичен компонент. И накрая, ще бъде разгледан пример за важността на обикновения звук в ежедневието. Научаваме какъв е той и каква е природата му.

Какво се нарича честота на трептене?

С това имаме предвид физическа величина, която се използва за характеризиране на периодичен процес, който е равен на броя на повторенията или появата на определени събития в една единица време. Този показател се изчислява като съотношение на броя на тези инциденти към периода от време, през който са се случили. Всеки елемент от света има своя собствена честота на вибрация. Тяло, атом, пътен мост, влак, самолет - всички те извършват определени движения, които се наричат ​​така. Дори тези процеси да не са видими за окото, те съществуват. Мерните единици, в които се изчислява честотата на трептене, са херци. Те са получили името си в чест на физика от немски произход Хайнрих Херц.

Моментна честота

Периодичният сигнал може да се характеризира с моментна честота, която с точност до коефициент е скоростта на промяна на фазата. Може да се представи като сума от хармонични спектрални компоненти, които имат свои собствени постоянни трептения.

Циклична честота

Удобно е да се използва в теоретичната физика, особено в раздела за електромагнетизма. Цикличната честота (наричана още радиална, кръгова, ъглова) е физическа величина, която се използва за указване на интензитета на произхода на осцилаторно или ротационно движение. Първият се изразява в обороти или трептения в секунда. При въртеливо движение честотата е равна на големината на вектора на ъгловата скорост.

Този показател се изразява в радиани в секунда. Измерението на цикличната честота е реципрочната на времето. Числено изразено, то е равно на броя на трептенията или оборотите, настъпили за броя на секундите 2π. Въвеждането му в употреба дава възможност значително да се опрости разнообразната гама от формули в електрониката и теоретичната физика. Най-популярният пример за използване е изчисляването на резонансната циклична честота на осцилаторна LC верига. Други формули могат да станат значително по-сложни.

Скорост на дискретно събитие

Тази стойност означава стойност, която е равна на броя дискретни събития, които се случват в една единица време. На теория обикновено използваният индикатор е втората минус първата степен. На практика херц обикновено се използва за изразяване на честотата на импулса.

Честота на въртене

Разбира се като физическо количество, което е равно на броя на пълните обороти, които се извършват за една единица време. Индикаторът, използван тук, също е втората минус първата степен. За обозначаване на извършената работа могат да се използват фрази като обороти в минута, час, ден, месец, година и други.

Единици

Как се измерва честотата на трептене? Ако вземем предвид системата SI, тогава мерната единица тук е херц. Първоначално е въведен от Международната електротехническа комисия през 1930 г. А 11-та Генерална конференция по мерки и теглилки през 1960 г. консолидира използването на този показател като единица SI. Какво беше предложено като „идеал“? Това беше честотата, когато един цикъл завършва за една секунда.

Но какво да кажем за производството? Бяха им присвоени произволни стойности: килоцикъл, мегацикъл в секунда и т.н. Следователно, когато вземете устройство, което работи на GHz (като компютърен процесор), можете грубо да си представите колко действия изпълнява. Изглежда колко бавно минава времето за човек. Но технологията успява да извърши милиони и дори милиарди операции в секунда през същия период. За един час компютърът вече извършва толкова много действия, че повечето хора дори не могат да си ги представят в цифрово изражение.

Метрологични аспекти

Честотата на трептене е намерила своето приложение дори в метрологията. Различните устройства имат много функции:

1. Измерва се честотата на импулса. Те са представени от видове електронно броене и кондензатори.
2. Определя се честотата на спектралните компоненти. Има хетеродинен и резонансен тип.
3. Извършва се спектрален анализ.
4. Възпроизвеждане на необходимата честота с определена точност. В този случай могат да се използват различни мерки: стандарти, синтезатори, генератори на сигнали и други техники в тази посока.
5. Сравняват се показателите на получените трептения, като за целта се използва компаратор или осцилоскоп.

Пример за работа: звук

Всичко написано по-горе може да бъде доста трудно за разбиране, тъй като използвахме сухия език на физиката. За да разберете предоставената информация, можете да дадете пример. Всичко ще бъде описано подробно, на базата на анализ на случаи от съвременния живот. За да направите това, помислете за най-известния пример за вибрации - звук. Неговите свойства, както и характеристиките на изпълнението на механични еластични вибрации в средата, са в пряка зависимост от честотата.

Човешките слухови органи могат да открият вибрации, които варират от 20 Hz до 20 kHz. Освен това с възрастта горната граница постепенно ще намалява. Ако честотата на звуковите вибрации падне под 20 Hz (което съответства на mi subcontractive), тогава ще се създаде инфразвук. Този тип, който в повечето случаи не се чува от нас, хората все още могат да усетят тактилно. При превишаване на границата от 20 килохерца се генерират трептения, които се наричат ​​ултразвук. Ако честотата надвишава 1 GHz, тогава в този случай ще имаме работа с хиперзвук. Ако разгледаме музикален инструмент като пиано, той може да създава вибрации в диапазона от 27,5 Hz до 4186 Hz. Трябва да се има предвид, че музикалният звук не се състои само от основната честота - в него се смесват и обертонове и хармоници. Всичко това заедно определя тембъра.

Заключение

Както сте имали възможността да научите, вибрационната честота е изключително важен компонент, който позволява на нашия свят да функционира. Благодарение на нея, чуваме, с нейна помощ работят компютрите и се правят много други полезни неща. Но ако честотата на трептенията надхвърли оптималната граница, тогава може да започне определено унищожение. Така че, ако повлияете на процесора, така че неговият кристал да работи с два пъти по-висока производителност, той бързо ще се провали.

Подобно нещо може да се каже и за човешкия живот, когато при високи честоти му се спукат тъпанчетата. Ще настъпят и други негативни промени в тялото, което ще доведе до определени проблеми, дори смърт. Освен това, поради особеностите на физическата природа, този процес ще се простира за доста дълъг период от време. Между другото, като се има предвид този фактор, военните обмислят нови възможности за разработване на оръжия на бъдещето.

Определение

Мярката за осцилаторно движение е циклично (или ъглово, или кръгово) честота на вибрация.

Това е скаларна физическа величина.

Циклична честота за хармонични трептения

Нека материална точка извършва трептения. В този случай материалната точка преминава през една и съща позиция на равни интервали от време.

Най-простите вибрации са хармоничните вибрации. Разгледайте следния кинематичен модел. Точка M с постоянна абсолютна скорост ($v$) се движи по окръжност с радиус A. В този случай нейната ъглова скорост ще бъде означена с $(\omega )_0$, тази скорост е постоянна (фиг. 1).

Проекцията на точка $M$ върху диаметъра на окръжността (точка $N$), върху оста X, осцилира от $N_1$ до $N_2\ $и обратно. Такова трептене N ще бъде хармонично. За да се опише трептенето на точка N, е необходимо да се запише координатата на точка N като функция на времето ($t$). Нека при $t=0$ радиусът OM образува ъгъл $(\varphi )_0$ с оста X. След определен период от време този ъгъл ще се промени с $(\omega )_0t$ и ще бъде равен на $(\omega )_0t+(\varphi )_0$, тогава:

Израз (1) е аналитична форма за запис на хармоничната вибрация на точка N по диаметъра $N_1N_2$.

Нека се обърнем към израза (1). Стойността $A$ е максималното отклонение на осцилиращата точка от равновесното положение (точка O - центърът на окръжността), наречено амплитуда на трептенията.

Параметър $(\omega )_0$ е цикличната честота на трептене. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - фаза на трептене; $(\varphi )_0$ е началната фаза на трептенията.

Цикличната честота на хармоничните трептения може да се дефинира като частна производна на фазата на трептене по отношение на времето:

\[(\omega )_0=\frac(?\varphi )(\partial t)=\dot(\varphi )\left(2\right).\]

Когато $(\varphi )_0=0$, уравнението на трептене (1) се преобразува във формата:

Ако началната фаза на трептенията е равна на $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ , тогава получаваме уравнението на трептенията във формата:

Изрази (3) и (4) показват, че за хармонични трептения, абсцисата $x$ е синусова или косинусова функция на времето. При графично начертаване на хармоничните трептения резултатът е косинусова или синусоидална вълна. Формата на кривата се определя от амплитудата на трептенията и големината на цикличната честота. Положението на кривата зависи от началната фаза.

Цикличната честота на трептенията може да бъде изразена чрез периода (T) на трептенията:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\left(5\right).\]

Свързваме цикличната честота с честотата $?$$?$ чрез израза:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \left(6\right).\]

Единицата за циклична честота на Международната система единици (SI) е радиан, разделен на секунда:

\[\left[(\omega )_0\right]=\frac(rad)(s).\]

Измерение на цикличната честота:

\[(\dim \left((\omega )_0\right)=\frac(1)(t),\ )\]

където $t$ е времето.

Специални случаи на формули за изчисляване на циклична честота

Товар върху пружина (идеален модел е пружинно махало) извършва хармонични трептения с кръгова честота, равна на:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))\left(7\right),\]

$k$ - коефициент на еластичност на пружината; $m$ е масата на товара върху пружината.

Малките трептения на физическо махало ще бъдат приблизително хармонични трептения с циклична честота, равна на:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(8\right),\]

където $J$ е инерционният момент на махалото спрямо оста на въртене; $a$ е разстоянието между центъра на масата на махалото и точката на окачване; $m$ е масата на махалото.

Пример за физическо махало е математическото махало. Кръговата честота на неговите трептения е равна на:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\left(9\right),\]

където $l$ е дължината на окачването.

Ъгловата честота на затихналите трептения се намира като:

\[\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\delta )^2)\left(10\right),\]

където $\delta $ е коефициентът на затихване; в случай на затихнали трептения, $(\omega )_0$ се нарича естествена ъглова честота на трептенията.

Примери за задачи с решения

Пример 1

Упражнение:Каква е цикличната честота на хармоничните трептения, ако максималната скорост на материална точка е $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$, а максималното й ускорение е $(\ ddot(x)) _(max)=100\ \frac(cm)(s^2)$?

Решение:Основата за решаване на проблема ще бъде уравнението на хармоничните трептения на точка, тъй като от условията е очевидно, че те се случват по оста X:

Ще намерим скоростта на трептене, използвайки уравнение (1.1) и кинематичната връзка между $x$ координатата и съответния компонент на скоростта:

Максималната стойност на скоростта (амплитуда на скоростта) е равна на:

Изчисляваме ускорението на точката като:

От формула (1.3) изразяваме амплитудата, заместваме я в (1.5) и получаваме цикличната честота:

\[(\dot(x))_(max)=A(\omega )_0\до A=\frac((\dot(x))_(max))((\omega )_0);;\ ( \ddot(x))_(max)=A(sch_0)^2=\frac((\dot(x))_(max))(sch_0)(sch_0)^2\to sch_0=\frac((\ ddot(x))_(max))((\dot(x))_(max)).\]

Нека изчислим цикличната честота:

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

Отговор:$ш_0=10\frac((\rm rad))((\rm s))$

Пример 2

Упражнение:Две тежести с еднаква маса са прикрепени към дълъг безтегловен прът. Едната тежест е в средата на пръта, другата е в края му (фиг. 2). Системата осцилира около хоризонтална ос, минаваща през свободния край на пръта. Каква е цикличната честота на трептене? Дължината на пръта е $l$.

Решение:Основата за решаване на проблема е формулата за намиране на честотата на трептене на физическо махало:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\left(2.1\right),\]

където $J$ е инерционният момент на махалото спрямо оста на въртене; $a$ е разстоянието между центъра на масата на махалото и точката на окачване; $m$ е масата на махалото. Според задачата масата на махалото се състои от масите на две еднакви топки (масата на една топка е $\frac(m)(2)$). В нашия случай разстоянието $a$ е равно на разстоянието между точките O и C (виж фиг. 2):

Нека намерим инерционния момент на система от две точкови маси. Спрямо центъра на масата (ако оста на въртене е прекарана през точка С), инерционният момент на системата ($J_0$) е равен на:

Ще намерим инерционния момент на нашата система спрямо оста, минаваща през точка O, като използваме теоремата на Щайнер:

Нека заместим десните части на изразите (2.2) и (2.4) в (2.1) вместо съответните количества:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5л)).\]

Отговор:$(\omega )_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$